research
这是 从带权图到流形测地线 的第 3 篇。
最简单的分支是三星图。边长都是 \(L=1\)，图距离 \(d_G(a_i,a_j)=2\)。嵌进平面成 \(120^\circ\) 的三条射线。欧氏弦长是 \(\sqrt{3}\approx 1.732\)。
角平分线上，到图的距离等于 \(\delta\) 的点记为 \(P\)，\(|P|=2\delta/\sqrt{3}\)。
硬管
管子 \(\Omega_\delta=\{x:d(x,\Gamma)\le\delta\}\) 上 \(\rho=1\)，外面禁止进入。当 \(\delta \[ d_{\Omega_\delta}(a_i,a_j)=2L-\frac{2\delta}{\sqrt{3}}+O(\delta^2/L). \] \(\delta=0.04,0.08,0.12,0.16,0.22\) 时，长度大约是 \(1.955,1.914,1.877,1.843,1.801\)。抹角是 \(\Theta(\delta)\)，系数 \(2/\sqrt{3}\approx 1.155\)。这条误差去不掉：细管流形天生允许在顶点附近抄一条弦。 真正要的对象是 \(\rho=1+\lambda\varphi(d/\delta)\)，\(\varphi\) 取 \(6t^5-15t^4+10t^3\)。图上折线 \(a_i\to o\to a_j\) 的长度恒为 2，所以 \(d_g\le 2\)。 两点折线 \(a_i\to Q\to a_j\) 不是对的试探族。\(Q\neq o\) 时整段斜线立刻离开图，\(\lambda>0\) 会把最优的 \(Q\) 弹回原点。会抹角的是三折线：先沿边走到半径 \(r\)，再短切到另一条射线，然后沿边走到端点。\(r=0\) 是图上最短路，\(r=L\) 是欧氏弦。 对这条一参数族算长度。\(\delta=0.12\) 时，\(\lambda=0,4,20,80,400\) 的长度大约是 \(1.732,1.9906,1.9947,1.9967,1.9981\)，硬管是 \(1.877\)。对应的最优切点 \(r^*\) 是 \(1.000,0.046,0.025,0.017,0.008\)。 \(\lambda=0\) 时测地线是欧氏弦，完全不认图。\(\lambda\ge 4\) 时长度已经回到 2 的百分之一以内。固定 \(\lambda\)，误差对 \(\delta\) 几乎成正比。硬管误差大约是软度量的十到几十倍。 对 \(\varphi\sim t^p\)（\(t\to 0\)）， \[ 2-d_g(\delta,\lambda)\sim c_p\,\delta\,\lambda^{-1/p},\qquad \lambda\to\infty,\ \delta\text{ 固定}. \] 指数来自 \(\varphi\) 在 0 处的阶：便宜区域 \(\{\rho<1+\varepsilon\}\) 的宽度是 \(\delta\cdot(\varepsilon/\lambda)^{1/p}\)。\(p=3\) 时就是表里的 \(\lambda^{-1/3}\)。 两种 \(\lambda\to\infty\) 不要混。硬管的便宜区域是整根粗管，要 \(\delta\to 0\) 才回到 \(d_G\)。软惩罚在 \(\lambda\to\infty\) 时除了图本身处处变贵，测地线被按回 1-骨架，\(\delta\) 不必趋于 0。 谱理论里常用的 graph-like manifold 要的是 Laplace 谱收敛，管子里要留体积。这里要的是距离收敛，管子里不该让人抄近路。 下一篇把一个 Y 形拼成一般图：管子。软惩罚