概念补充

曲线部分

Definition 1.

设区间

I\subset \mathbb{R} 上有映射

P:I\to \mathbb{R}^n, t\mapsto P(t).

若 P 光滑且对每个 t\in I 都有 P'(t)\neq 0，则称 P 为一条正则曲线。若参数 t 不一定是弧长参数，则称它为曲线的一个一般参数。

Definition 2.

曲线

P:I\to \mathbb{R}^n

的弧长函数定义为

s(t)=\int{t0}^{t}|P'(\xi)|,d\xi.

若参数本身满足 |P'(s)|=1，则称 s 是弧长参数。用弧长参数表示曲线时，切向量天然是单位向量。

Definition 3.

设 P=P(s) 是以弧长参数表示的正则曲线，则

T(s)=P'(s)

称为曲线的单位切向量场。在平面曲线中，常把与 T 正交且满足正向取向的单位向量记为 \beta；在空间曲线中，若曲率不为零，则还可以定义主法向量 N 和副法向量 B。

Definition 4.

设 P=P(s) 是以弧长参数表示的空间正则曲线，且 \kappa(s)\neq 0。定义

\kappa(s)=|T'(s)|, N(s)=\frac{T'(s)}{|T'(s)|}, B(s)=T(s)\times N(s).

三个单位向量组

{T(s),N(s),B(s)}

称为曲线的Frenet 标架；\kappa(s) 称为曲率；若再定义

\tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle,

则 \tau(s) 称为挠率。

Note.

对于一般曲线P(t)，这里我们不要求t一定为正则参数，此时曲率、挠率有计算公式：

\kappa(t)=\frac{\left|P'(t)\times P''(t)\right|}{\left|P'(t)\right|^3},

\tau(t)=\frac{(P'(t),P''(t),P'''(t))}{\left|P'(t)\times P''(t)\right|^2}

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当然相应的T(t),N(t),B(t)为

T(t)=\frac{P'(t)}{|P'(t)|}, N(t)=\frac{T'(t)}{|T'(t)|}, B(t)=T(t)\times N(t)

**Property.** Frenet 标架满足Frenet 公式

\left{

\begin{aligned}
    T'&=\kappa N,\
    N'&=-\kappa T+\tau B,\
    B'&=-\tau N.
\end{aligned}

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它们描述了曲线在空间中的弯曲与扭转。

Definition 5.

平面曲线在弧长参数下的带符号曲率常记为相对曲率 \kappa_r。若 { \alpha(s),\beta(s)} 是平面中的正交标架场，其中 \alpha 是单位切向量，则

\kappa_r(s)=\left\langle \frac{d\alpha}{ds},\beta(s)\right\rangle.

对一般参数 t，若 P(t)=(x(t),y(t))，则

\kappa_r(t)=\frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.

**Note.** 这里我们讨论的是平面情形，即对\mathbb{R}^2中的曲线

P(s)=(x(s),y(s))

s

为弧长参数，其单位切向量为

\alpha(s)=(x(s),y(s))

其法向量（将 $\alpha$ 沿正向方向旋转 $90^{\circ}$ ）为

\beta(s)=(-y(s),x(s))

我们有平面的Frenet公式：

\left\{ \begin{aligned} &\frac{dP}{ds}=\alpha(s)\\ &\frac{d\alpha}{ds}=\kappa_r\beta(s)\\ &\frac{d\beta}{ds}=-\kappa_r\alpha(s) \end{aligned} \right.

Remark 1.

更进一步，我们引入方向角，即 $\alpha(s)$ 和 $x$ 轴正向夹角 $\theta(s)$ ，尽管方向角是多值的，但对于 $s$ 的充分小邻域我们总可以取出 $\theta(s)$ 的一个连通分支，此时在局部上我们有：

\alpha(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s)), \beta(s)=(-\sin\theta(s),\cos\theta(s))

于是

\kappa_r=\frac{d\theta}{ds}

相应的，我们有平面曲线基本定理：

\left\{ \begin{aligned} &\theta(s)=\theta(s_0)+\int_{s_0}^{s}\kappa_r(s)ds\\ &x(s)=x(s_0)+\int_{s_0}^{s}\cos\theta(s)ds\\ &y(s)=y(s_0)+\int_{s_0}^{s}\sin\theta(s)ds\\ \end{aligned} \right.

Definition 6.

若平面曲线或空间曲线已经用弧长参数 $s$ 表示，并把曲率写成 $s$ 的函数

\kappa=\kappa(s),

则称这个关系为曲线的自然方程。对平面曲线，自然方程确定曲线到刚体运动意义下的形状；对空间曲线，一般还需要挠率函数 $\tau=\tau(s)$ 。

Definition 7.

设 $P=P(s)$ 是弧长参数曲线，定义

\int \kappa(s)\,ds

为曲线的总曲率。若 $T(s)$ 看作单位球面上的一条曲线

\widetilde P(s)=T(s)\in S^2,

则称其为原曲线的切线标线（tangent indicatrix）。

Definition 8.

若存在固定单位向量 $e$ 和常数 $c$ ，使空间曲线的单位切向量满足

\langle T(s),e\rangle=c,

则称该曲线为广义螺线。也就是说，它的切向量与某个固定方向的夹角恒定。

Definition 9.

若一条空间曲线在某个坐标系下可以表示为“绕固定轴做匀速转动，同时沿该轴方向前进”的轨迹，则称它为圆柱螺线。它是最典型的广义螺线。

Definition 10.

若欧氏空间中的映射可以写成

\Phi(x)=Ax+b,

其中 $A$ 是正交变换， $b$ 是常向量，则称 $\Phi$ 为一个刚体运动。若两条曲线或两个曲面可由某个刚体运动互相变换得到，则称它们合同。

Property.

切线标线的速度满足

|\widetilde P'(s)|=|T'(s)|=\kappa(s),

因而切线标线的长度等于原曲线的总曲率。

Definition 11.

设平面曲线 $C:P=P(s)$ 以弧长参数表示，单位切向量为 $T(s)$ 。曲线

\widetilde P(s)=P(s)-sT(s)

称为 $C$ 的渐伸线（involute）。直观上它表示把一根绷紧的线从原曲线“放开”时端点扫出的轨迹。

Definition 12.

设平面曲线 $C$ 的法向量场为 $\beta(s)$ 。若 $d$ 为常数，则曲线

\widetilde P(s)=P(s)-d\beta(s)

称为 $C$ 的平行曲线。它与原曲线在法向方向上相距固定距离。

Property.

设 $C:P(t)=(x(t),y(t))$ 是一条按正向绕行的简单闭曲线，所围区域面积为 $A$ 。由 Green 公式

\iint_D 1\,dx\,dy =\oint_C x\,dy =-\oint_C y\,dx,

可得常用面积公式

A=\frac12\oint_C (x\,dy-y\,dx).

若 $P=P(s)$ 用弧长参数表示，且 $P'(s)=\alpha(s)$ ，则

A=\frac12\int \det(P(s),P'(s))\,ds =\frac12\int \det(P(s),\alpha(s))\,ds.

这个公式常用于由边界曲线计算平面闭曲线所围面积。

Remark 2.

在空间曲线中，过点 $P(s)$ 且由 $T,N,B$ 两两张成的三个典型平面分别称为：

\text{密切平面 } \operatorname{span}{T,N},

\text{法平面 } \operatorname{span}{N,B},

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\text{次切平面（rectifying plane） } \operatorname{span}{T,B}.

题目中提到“所有次切平面都经过同一个固定点”，指的正是第三类平面。

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曲面部分

切平面和法方向

Definition 13.

设开集 $U\subset \mathbb{R}^2$ 上有光滑映射

P:U\to \mathbb{R}^3, (u,v)\mapsto P(u,v).

若对每个 $(u,v)\in U$ 都有

P_u(u,v)\times P_v(u,v)\neq 0,i.e. rank\left(\begin{aligned} P_u\\P_v \end{aligned}\right)=2

则称该像面为一张正则曲面。这里 $(u,v)$ 称为曲面的参数。

Remark 3.

正则条件的几何含义是：两条参数曲线的速度 $P_u,P_v$ 在每一点线性无关，因此它们可以张成一个真正的二维切平面。若 $P_u\times P_v=0$ ，参数退化，曲面在该点不能由这组参数给出良好的局部坐标。

Definition 14.

对正则曲面 $S:P=P(u,v)$ ，向量 $P_u,P_v$ 张成的二维平面称为曲面在点 $P(u,v)$ 处的切平面。与之正交的单位向量场

n=\frac{P_u\times P_v}{|P_u\times P_v|}

称为单位法向量场。过 $P_0$ 的以 $n$ 为方向的直线称为法线，其上任意非零向量称为法向量。平面

T_{p_0}S=\left\{T\in\mathbb{R}^3|\langle T-p_0,n(u_1^0,u_2^0)\rangle=0\right\}

称为切平面， $T_{p_0}S$ 上的任意向量称为 $S$ 在 $p_0$ 处的一个切向量。

其中，三个线性无关的向量<span data-mx-katex="%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20u_1%7D"></span>,<span data-mx-katex="%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20u_2%7D"></span>和<span data-mx-katex="n"></span>构成<span data-mx-katex="S"></span>的一个标架，称为**自然标架**或者**Gauss标架**。

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Note.

切平面有参数表示

T_{p_0}S=P(u_1^0,u_2^0)+s\frac{\partial P}{\partial u_1}(u_1^0,u_2^0)+t\frac{\partial P}{\partial u_2}(u_1^0,u_2^0)

其中 $s,t$ 为参数。

Property.

若 $X=aP_u+bP_v$ 是切向量，则

\langle X,n\rangle=0.

反过来，在 $\mathbb{R}^3$ 中过 $P(u_0,v_0)$ 且与 $n(u_0,v_0)$ 正交的所有向量正好构成 $T_{p_0}S$ 。因此切平面也可写成

T_{p_0}S=\{p_0+X:\langle X,n(u_0,v_0)\rangle=0\}.

Definition 15.

若在一个区域内可以连续选取单位法向量场 $n$ ，则称曲面在该区域内可定向。把 $n$ 换成 $-n$ 会改变第二基本形式、主曲率和平均曲率的符号，但不会改变 Gauss 曲率 $K$ 。

第一基本形式

Definition 16.

曲面参数 $P(u,v)$ 的第一基本形式定义为

I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2,

其中

E=\langle P_u,P_u\rangle, F=\langle P_u,P_v\rangle, G=\langle P_v,P_v\rangle.

它描述曲面上的长度、夹角和面积等内蕴几何量。

Property.

对切向量 $X=\lambda P_u+\mu P_v$ ，第一基本形式就是诱导度量：

I(X,X)=E\lambda^2+2F\lambda\mu+G\mu^2.

因而曲面上参数曲线 $\gamma(t)=P(u(t),v(t))$ 的弧长为

L(\gamma)=\int \sqrt{E\dot u^2+2F\dot u\dot v+G\dot v^2}\,dt.

Property.

两个切向量

X=\lambda P_u+\mu P_v, Y=\alpha P_u+\beta P_v

的夹角由

\cos\theta=\frac{I(X,Y)}{\sqrt{I(X,X)}\sqrt{I(Y,Y)}}

给出，其中

I(X,Y)=E\lambda\alpha+F(\lambda\beta+\mu\alpha)+G\mu\beta.

Property.

曲面上的面积元由第一基本形式给出：

dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv.

因而曲面一部分的面积为

A(S)=\iint \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv.

这个量与参数选取无关。

Definition 17.

若曲面参数满足

F=\langle P_u,P_v\rangle=0,

则称 $(u,v)$ 为一组正交参数。此时参数曲线在每一点互相正交，

I=E\,du^2+G\,dv^2.

若进一步 $E=G$ ，则称其为等温参数或共形参数，此时第一基本形式为

I=\lambda^2(du^2+dv^2).

第二基本形式

Definition 18.

曲面参数 $P(u,v)$ 的第二基本形式定义为

II=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2,

其中

L=\langle P_{uu},n\rangle, M=\langle P_{uv},n\rangle, N=\langle P_{vv},n\rangle.

它描述曲面相对于周围三维空间的弯曲方式。

Property.

因为 $\langle P_u,n\rangle=\langle P_v,n\rangle=0$ ，对参数求导可得

L=-\langle P_u,n_u\rangle, M=-\langle P_u,n_v\rangle=-\langle P_v,n_u\rangle, N=-\langle P_v,n_v\rangle.

这说明第二基本形式也可以理解为法向量场变化在切方向上的投影。

Property.

对图形曲面 $P(x,y)=(x,y,f(x,y))$ ，若取向上单位法向量

n=\frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},

则

E=1+f_x^2, F=f_xf_y, G=1+f_y^2, L=\frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, M=\frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, N=\frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}.

特别地，若 $f_x=f_y=0$ ，则 $I=dx^2+dy^2$ ，第二基本形式就是 Hessian 的形式

II=f_{xx}\,dx^2+2f_{xy}\,dx\,dy+f_{yy}\,dy^2.

法曲率函数

Definition 19.

设曲面上一点处有非零切向量

X=\lambda P_u+\mu P_v.

沿方向 $X$ 的法曲率定义为

k_n(X)=\frac{II(X,X)}{I(X,X)} =\frac{L\lambda^2+2M\lambda\mu+N\mu^2}{E\lambda^2+2F\lambda\mu+G\mu^2}.

Definition 20.

过点 $p\in S$ 且含有法方向 $n(p)$ 与切方向 $X$ 的平面称为该方向的法截面平面。它与曲面的交线称为法截线。法曲率 $k_n(X)$ 等于这条法截线在 $p$ 处的带符号曲率。

Property.

法曲率只依赖于方向，而不依赖于切向量的长度。也就是说，对任意非零常数 $c$ ，

k_n(cX)=k_n(X).

因此在一点处，法曲率可以看作定义在切平面方向圆上的函数。

Theorem 1.

若曲面上一条曲线 $\gamma(s)$ 以弧长参数表示，曲率向量分解为

\gamma''(s)=k_g\,J\gamma'(s)+k_n\,n,

其中 $J\gamma'$ 是切平面内与 $\gamma'$ 正交的单位向量，则 $k_g$ 称为测地曲率， $k_n$ 就是该切方向的法曲率。于是曲线在空间中的曲率满足

\kappa^2=k_g^2+k_n^2.

Weingarten映射

Definition 21.

设曲面 $S:P=P(u,v)$ 带有单位法向量场 $n$ 。定义线性映射

S_p:T_pS\to T_pS, X\mapsto -dn_p(X),

称为点 $p$ 处的形算子（shape operator）或 Weingarten 映射。它把法向量的变化转化成切平面上的线性变换。

Property.

Weingarten 映射是第一基本形式下的自伴算子：

I(SX,Y)=I(X,SY), X,Y\in T_pS.

并且

II(X,Y)=I(SX,Y).

因而第二基本形式、法曲率和各种曲率都可以用同一个线性算子 $S$ 来统一描述。

Property.

在自然基 $\{P_u,P_v\}$ 下，Weingarten 映射的矩阵为

\begin{aligned} [S]=I^{-1}II =\frac{1}{EG-F^2} \begin{pmatrix} GL-FM & GM-FN\\ EM-FL & EN-FM \end{pmatrix}. \end{aligned}

换言之，

S(P_u)=\frac{GL-FM}{EG-F^2}P_u+\frac{EM-FL}{EG-F^2}P_v, S(P_v)=\frac{GM-FN}{EG-F^2}P_u+\frac{EN-FM}{EG-F^2}P_v.

Property.

曲面的Weingarten 公式刻画法向量场的变化：

n_u=-S(P_u), n_v=-S(P_v).

用第一、第二基本形式系数表示时，

\left\{ \begin{aligned} n_u&=\frac{FM-GL}{EG-F^2}P_u+\frac{FL-EM}{EG-F^2}P_v,\\ n_v&=\frac{FN-GM}{EG-F^2}P_u+\frac{FM-EN}{EG-F^2}P_v. \end{aligned} \right.

各种曲率（包括曲率线）

Definition 22.

使法曲率取得极值的两个互相正交方向称为主方向，对应的极值称为主曲率 $k_1,k_2$ 。进一步定义

K=k_1k_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}

为Gauss 曲率，定义

H=\frac{k_1+k_2}{2}=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}

为平均曲率。

Property.

主曲率是 Weingarten 映射的特征值，因此可由

\det(II-kI)=0

求出。展开为

(EG-F^2)k^2-(EN-2FM+GL)k+(LN-M^2)=0.

求得 $k$ 后，主方向 $\lambda P_u+\mu P_v$ 满足

\left\{ \begin{aligned} (L-kE)\lambda+(M-kF)\mu&=0,\\ (M-kF)\lambda+(N-kG)\mu&=0. \end{aligned} \right.

Property.

若某点的主曲率为 $k_1,k_2$ ，则任意方向的法曲率满足 Euler 公式

k_n(\theta)=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta,

其中 $\theta$ 是该方向与第一主方向的夹角。

Definition 23.

曲面上的一条正则曲线若其切向方向在每一点都沿主方向，则称它为曲面的曲率线。因此，曲率线就是“沿主方向积分出来的曲线”。

Property.

曲率线的微分方程为

(EM-FL)\,du^2+(EN-GL)\,du\,dv+(FN-GM)\,dv^2=0.

特别地，若参数网同时满足

F=0, M=0,

则两族参数曲线就是曲率线。反过来，在无脐点区域内，若参数曲线是曲率线且互相正交，则通常可取到 $F=M=0$ 的主参数。

Definition 24.

若一点处两个主曲率相等，即

k_1=k_2,

则称该点为曲面的脐点。若曲面上一点都不是脐点，则称曲面在讨论区域内无脐点。

Definition 25.

按 Gauss 曲率的符号，曲面点可以分类为：

K>0 \text{ 椭圆点},

K<0 \text{ 双曲点},
K=0 \text{ 抛物点或平点}.

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椭圆点处两个主曲率同号，双曲点处两个主曲率异号。

Definition 26.

若曲面满足平均曲率恒为零，即

H\equiv 0,

则称该曲面为极小曲面。

Remark 4.

特别的，对于正交参数网 $(u,v)$ ，即 $P_u\cdot P_v=0$ ，有 $F=0$ 。若只用第一基本形式计算 Gauss 曲率，常用公式之一为：

K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left[ \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right) \right].

这体现了 Gauss 绝妙定理： $K$ 虽由外在弯曲定义，却完全由第一基本形式决定。

结构方程

Definition 27.

设曲面以参数 $P(u,v)$ 给出，Christoffel 符号 $\Gamma_{ij}^k$ 是由第一基本形式决定的系数，用来把二阶偏导的切向部分分解到 $P_u,P_v$ 上。它们反映了参数曲线在曲面上的联络信息。

Property.

曲面的Gauss 公式把二阶偏导分解为切向部分和法向部分：

\left\{ \begin{aligned} P_{uu}&=\Gamma_{11}^1P_u+\Gamma_{11}^2P_v+Ln,\\ P_{uv}&=\Gamma_{12}^1P_u+\Gamma_{12}^2P_v+Mn,\\ P_{vv}&=\Gamma_{22}^1P_u+\Gamma_{22}^2P_v+Nn. \end{aligned} \right.

它说明第二基本形式正是二阶偏导在法向量上的投影。

Property.

Christoffel 符号由第一基本形式给出。若记

\begin{aligned} (g_{ij})= \begin{pmatrix} E&F\\ F&G \end{pmatrix}, (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}, \end{aligned}

则

\Gamma_{ij}^k=\frac12\sum_{\ell=1}^2g^{k\ell} \left( \frac{\partial g_{j\ell}}{\partial u_i} +\frac{\partial g_{i\ell}}{\partial u_j} -\frac{\partial g_{ij}}{\partial u_\ell} \right),

其中 $u_1=u,u_2=v$ 。

Theorem 2.

第一、第二基本形式并不是彼此独立的，它们需要满足相容条件。最常见的是 Gauss 方程与 Codazzi--Mainardi 方程：

R_{1212}=LN-M^2, h_{ij;k}=h_{ik;j}.

其中 $R_{1212}$ 由第一基本形式及 Christoffel 符号决定， $h_{ij}$ 是第二基本形式系数。给定 $I,II$ 后，只有满足这些相容条件，才可能局部来自某张曲面。

Remark 5.

Codazzi 方程的来源可以理解为“先沿 $u$ 方向再沿 $v$ 方向微分”和“先沿 $v$ 方向再沿 $u$ 方向微分”必须相容。具体地，把 Gauss 公式和 Weingarten 公式代入

P_{uuv}=P_{uvu}, P_{uvv}=P_{vvu}

后，比较法向量与切向量系数，便得到 Gauss 方程与 Codazzi 方程。粗略地说，Gauss 方程控制内蕴曲率，Codazzi 方程控制第二基本形式沿曲面的变化是否与第一基本形式兼容。

Definition 28.

记第二基本形式系数为

h_{11}=L, h_{12}=h_{21}=M, h_{22}=N.

它的协变导数定义为

h_{ij;k}=\frac{\partial h_{ij}}{\partial u_k} -\sum_{\ell=1}^2\Gamma_{ki}^{\ell}h_{\ell j} -\sum_{\ell=1}^2\Gamma_{kj}^{\ell}h_{i\ell},

其中 $u_1=u,u_2=v$ 。Codazzi--Mainardi 方程就是

h_{ij;k}=h_{ik;j}.

它说明第二基本形式作为一个二阶张量，其协变导数在后两个指标上满足对称性。

Property.

在二维曲面上，Codazzi 方程只有两条本质独立的坐标形式：

\left\{ \begin{aligned} L_v-M_u &= \Gamma_{12}^1L+(\Gamma_{12}^2-\Gamma_{11}^1)M-\Gamma_{11}^2N,\\ M_v-N_u &= \Gamma_{22}^1L+(\Gamma_{22}^2-\Gamma_{12}^1)M-\Gamma_{12}^2N. \end{aligned} \right.

解题时若已经算出 $E,F,G$ ，就可以先求 Christoffel 符号，再用这两式约束 $L,M,N$ 。

Property.

若取主曲率线参数，使

F=0, M=0,

并记

L=k_1E, N=k_2G,

则 Codazzi 方程化为

(k_1)_v=\frac{k_2-k_1}{2E}E_v, (k_2)_u=\frac{k_1-k_2}{2G}G_u.

这组公式常用来研究主曲率沿曲率线方向的变化。特别地，在无脐点处若 $k_1\neq k_2$ ，则主曲率的横向变化会受到度量系数 $E,G$ 的变化严格控制。

Note.

Codazzi 方程经常用于“已知第一基本形式，反推第二基本形式”的题目。典型套路是：

先由 <span data-mx-katex="I"></span> 算出 Christoffel 符号，再把题目给出的 <span data-mx-katex="M%3D0"></span>、<span data-mx-katex="L%3DN"></span>、<span data-mx-katex="K%3D0"></span>、<span data-mx-katex="H%3D0"></span> 等条件代入 Codazzi 方程，得到关于 <span data-mx-katex="L%2CM%2CN"></span> 或主曲率 <span data-mx-katex="k_1%2Ck_2"></span> 的微分限制。

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Theorem 3.

曲面基本定理：若在单连通区域上给定两个二次型 $I,II$ ，其中 $I$ 正定，且二者满足 Gauss 方程与 Codazzi 方程，则存在一张正则曲面以它们为第一、第二基本形式；并且这张曲面在刚体运动意义下唯一。

Definition 29.

设空间曲线 $\rho=\rho(s)$ 以弧长参数表示，单位切向量为 $T(s)$ 。曲面

X(s,u)=\rho(s)+uT(s)

称为该曲线的切线面。它是典型的直纹面，母线就是曲线各点的切线。

Definition 30.

设空间曲线 $\alpha=\alpha(s)$ 以弧长参数表示，Frenet 标架为 $\{T,N,B\}$ 。对常数 $r>0$ ，曲面

X(s,\theta)=\alpha(s)+r\cos\theta\,N(s)+r\sin\theta\,B(s)

称为以 $\alpha$ 为中心曲线、半径为 $r$ 的管状面。它表示沿中心曲线移动一个半径固定的法平面圆。

Definition 31.

若曲面由图形

z=f(x,y)

给出，则称其为图形曲面。此时

P(x,y)=(x,y,f(x,y))

是最常用的参数表示。

Definition 32.

若球面 $\Sigma$ 与曲面 $S$ 在点 $P$ 处有公共点，并且它们在该点的切平面重合，则称球面与曲面在 $P$ 处相切。题目中“ $\Sigma\cap S=\{P\}$ ”常用来推出 $P$ 是限制在曲面上的距离函数的极值点，从而得到切平面重合。

上课的疑难点

实际上就是听了自己觉得比较重要且有意思的地方，但上课的时候我不知道讲的有些在第四章。。。事实上wxf也没说在第四章，不过这部分我觉得还是值得记录下来的！

进一步补充

Definition 33.

若曲面可以写成

X(s,t)=\gamma(s)+t\,\delta(s),

其中对每个固定的 $s$ ， $t\mapsto X(s,t)$ 是一条直线，则称该曲面为直纹面。切线面就是最典型的直纹面之一。

Definition 34.

若曲面的 Gauss 曲率恒为零，即

K\equiv 0,

则称其为可展面。局部上它与平面等距，因此常被看作“可以无拉伸展开到平面上的曲面”。

Definition 35.

若存在固定点 $O$ 和球面上的一条曲线 $A(v)$ ，使曲面可写成

P(u,v)=O+uA(v),

则称其为圆锥面。其中固定点 $O$ 称为顶点，参数曲线 $u\mapsto O+uA(v)$ 是圆锥面的母线。

Definition 36.

若存在固定方向向量 $a$ 和一条空间曲线 $\gamma(v)$ ，使曲面可写成

P(u,v)=\gamma(v)+ua,

则称其为柱面。圆锥面与柱面都是典型的可展直纹面。

Theorem 4.

对平面简单闭凸曲线，若以弧长参数 $s$ 表示，并以逆时针方向取向，则其相对曲率满足

\kappa_r(s)>0, \int_0^L \kappa_r(s)\,ds=2\pi.

这说明沿曲线走一周时，单位切向量总共转过一整圈。

Theorem 5.

Fenchel 不等式：任意空间简单闭曲线的总曲率满足

\int \kappa(s)\,ds\geq 2\pi.

当且仅当该曲线是一条平面凸曲线时取等号。这个定理正是“切线标线长度至少为一个大圆长度”的几何表达。

Remark 6.

图形曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处若满足

f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0,

则该点处的切平面是水平面。此时第二基本形式基本上就是 Hessian

f_{xx}\,dx^2+2f_{xy}\,dx\,dy+f_{yy}\,dy^2

的归一化版本，因此用它来判断法曲率、脐点或极值性质通常最直接。

作业题

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Differential Geometry — Midterm Review

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Differential Geometry — Midterm Review

概念补充

曲线部分

曲面部分

切平面和法方向

第一基本形式

第二基本形式

法曲率函数

Weingarten映射

各种曲率（包括曲率线）

结构方程

上课的疑难点

进一步补充

作业题

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