analysis
$L^p$ 与弱 $L^p$ 空间
定义（$L^p$ 空间）. 设 $0 当 $1\leq p\leq\infty$，有对偶性质 \[ \lVert f\rVert_p=\sup_{\lVert g\rVert_{p'}=1}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(x) \mathrm{d}x\rvert, \] 其中 $1/p+1/p'=1$. 注. 记 \[ I(f):=\sup_{\lVert g\rVert_{p'}=1}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(x) \mathrm{d}x\rvert. \] 若 $f=0$，两边都是 $0$. 下设 $\lVert f\rVert_p>0$. 由后面的 Holder 不等式，对任意 $\lVert g\rVert_{p'}=1$ 有 \[ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}fg\rvert\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{p'}=\lVert f\rVert_p, \] 故 $I(f)\leq\lVert f\rVert_p$. 反向不等式用极值函数达到. 若 $1 若 $p=1$，则 $p'=\infty$. 令 $g=\overline{\operatorname{sgn} f}$，则 $\lVert g\rVert_\infty=1$ 且 $\int fg=\lVert f\rVert_1$. 若 $p=\infty$，则 $p'=1$. 对任意 $\alpha<\lVert f\rVert_\infty$，集合 $\{\lvert f\rvert>\alpha\}$ 有正测度. 取其有限正测子集 $E$，令 \[ g=\frac{\overline{\operatorname{sgn} f}}{\lvert E\rvert}\chi_E, \] 则 $\lVert g\rVert_1=1$ 且 $\int fg>\alpha$. 令 $\alpha\uparrow\lVert f\rVert_\infty$，得 $I(f)\geq\lVert f\rVert_\infty$. 补充. 这里写详细点就是：我们取 $g=c\cdot f(x)^{p-1}$，记 $p'=\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$，i.e. $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$，则 \[ \lVert g\rVert_{p'}=c\cdot(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^{\frac{p-1}{p}\cdot (p-1)}dx)^{\frac{p-1}{p}}=c\cdot\lVert f(x)\rVert_p^{p-1}=1\Rightarrow c=\frac{1}{\lVert f(x)\rVert_p^{p-1}}. \] 此时在 $\lVert g\rVert_{p'}=1$ 的情形下有 \[ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(x)dx\rvert=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\cdot c\cdot f(x)^{p-1}dx\rvert=c\cdot\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x)^p dx\rvert=c\cdot\lVert f(x)\rVert_p^p=\lVert f(x)\rVert_p. \] 故 $I(f)\geq\lVert f\rVert_\infty$. 定义（弱 $L^p$ 空间）. 设 $0 当 $0 注. 我们记 $E_{\alpha}=\{x:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}$，我们可知在 $E_{\alpha}$ 中有 \[\lvert f(x)\rvert^p>\alpha^p.\] 故 \[\int_{E_{\alpha}}\lvert f(x)\rvert^pdx>\alpha^p\int_{E_{\alpha}}dx.\] i.e. \[\alpha^p\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert\leq\int_{\{x:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^p \mathrm{d}x.\] 注. $L^p(\mathbb{R}^n)\subset L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 是真包含关系. 例如，$f(x)=\lvert x\rvert^{-n/p}$，则 $f\in L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$，但是 $f\notin L^p(\mathbb{R}^n)$. 记 $L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$（$0 若 $0 性质（幂不等式）. 设 $x,y\geq 0$，则 1. $(x+y)^p\leq x^p+y^p$，$0\leq p\leq 1$； 2. $x^p+y^p\leq 2^{1-p}(x+y)^p$，$0\leq p\leq 1$； 3. $x^p+y^p\leq(x+y)^p$，$1\leq p<\infty$； 4. $(x+y)^p\leq 2^{p-1}(x^p+y^p)$，$1\leq p<\infty$. 注. (ii)(iv)实际上是均值不等式： (ii) \[\frac{x^p+y^p}{2}\leq(\frac{x+y}{2})^p.\] (iv) \[(\frac{x+y}{2})^p\leq\frac{x^p+y^p}{2}.\] 问题. 证明 \[ \lVert f+g\rVert_p\leq 2^{\frac{1-p}{p}}(\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p), 0 注. 由上面的(iv)我们有： \[\lvert \lvert f(x)\rvert+\lvert g(x)\rvert\rvert^p\leq 2^{p-1}(\lvert f(x)\rvert^p+\lvert g(x)\rvert^p),\] 故 \[ \begin{aligned} \lVert f+g\rVert_p&\leq2^{\frac{p-1}{p}}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^p+\lvert g(x)\rvert^pdx\rvert^{\frac{1}{p}}\\ &\leq2^{\frac{p-1}{p}}[\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^pdx\rvert^{\frac{1}{p}}+\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(x)\rvert^pdx\rvert^{\frac{1}{p}}]\\ &=2^{\frac{p-1}{p}}(\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p). \end{aligned} \] 定理（单调递增收敛定理）. 设 $f$ 和 $f_k$ 都是 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数，$k\geq 1$. 对几乎所有的 $x$，$\{f_n(x)\}$ 单增收敛于 $f(x)$，则 \[ \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x) \mathrm{d}x. \] 引理（Fatou 引理）. 设 $\{f_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数，$k\geq 1$，则 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lim_{k\to\infty}f_k(x) \mathrm{d}x\leq\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x) \mathrm{d}x. \] 定理（控制收敛定理）. 设 $f$ 和 $f_k$ 都是 $\mathbb{R}^n$ 上的非负可测函数，$k\geq 1$，且 $f_k(x)$ 几乎处处收敛于 $f$，$k\to\infty$. 若存在 $g\in L^1(\mathbb{R}^n)$，使得对每一个 $k\geq 1$，$\lvert f_k(x)\rvert\leq g(x)$，a.e.，那么 \[ \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x) \mathrm{d}x. \] 定理（Fubini 定理）. 设 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ 上可积，$m,n\in\mathbb{N}$，则 1. 对几乎所有的 $x\in\mathbb{R}^m$，$f(x,y)$ 作为 $y\in\mathbb{R}^n$ 上的函数在 $\mathbb{R}^n$ 上可积； 2. $F(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y) \mathrm{d}y$ 在 $x\in\mathbb{R}^m$ 上可积； 3. $\int_{\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n}f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^m}[\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y) \mathrm{d}y] \mathrm{d}x$. 定理（Holder 不等式）. 设 $1\leq p\leq\infty$，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}=1$，若 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^{p'}(\mathbb{R}^n)$，则 $fg\in L^1(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert fg\rVert_1\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{p'}. \] *证明.* 若 $p=1$ 或 $p=\infty$，结论显然. 下考虑 $1 定理（Holder 不等式推广形式）. 设 $0 定理（Minkowski 不等式）. 设 $1\leq p\leq\infty$，若 $f,g\in L^p(\mathbb{R}^n)$，则 \[ \lVert f+g\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p. \] *证明.* 若 $p=1$ 或 $p=\infty$，显然有 \[ \lvert f+g\rvert\leq\lvert f\rvert+\lvert g\rvert, \lVert f+g\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p. \] 下考虑 $1 $$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f+g\rvert^{p-1}\lvert f\rvert \mathrm{d}x &\leq\lVert f\rVert_p\lVert \lvert f+g\rvert^{p-1}\rVert_{p'} =\lVert f\rVert_p\lVert f+g\rVert_p^{p/p'}, \\ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f+g\rvert^{p-1}\lvert g\rvert \mathrm{d}x &\leq\lVert g\rVert_p\lVert \lvert f+g\rvert^{p-1}\rVert_{p'} =\lVert g\rVert_p\lVert f+g\rVert_p^{p/p'}. \end{aligned} $$ 从而 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f+g\rvert^p \mathrm{d}x\leq(\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p)\lVert f+g\rVert_p^{p/p'}. \] 由此推出 \[ \lVert f+g\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p. \] 定理（Minkowski 积分不等式）. 设 $1\leq p<\infty$，$f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ 上可测，$m,n\in\mathbb{N}$，则 \[ \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^m}\lvert f(x,y)\rvert \mathrm{d}x\Biggr)^p \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p} \leq\int_{\mathbb{R}^m}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x,y)\rvert^p \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p} \mathrm{d}x. \] *证明.* 若 $p=1$，结论由 Fubini 定理可得. 若 $1 $$ \begin{aligned} |\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^m}\lvert f(x,y)\rvert \mathrm{d}x\Biggr)g(y) \mathrm{d}y| &\leq\int_{\mathbb{R}^m}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x,y)\rvert\lvert g(y)\rvert \mathrm{d}y\Biggr) \mathrm{d}x \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^m}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x,y)\rvert^p \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p}\lVert g\rVert_{p'} \mathrm{d}x. \end{aligned} $$ 最后一个不等式由 Holder 不等式可得. 因此 $$ \begin{aligned} \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^m}\lvert f(x,y)\rvert \mathrm{d}x\Biggr)^p \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p} &=\sup_{\lVert g\rVert_{p'}=1}|\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^m}\lvert f(x,y)\rvert \mathrm{d}x\Biggr)g(y) \mathrm{d}y| \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^m}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x,y)\rvert^p \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p}\lVert g\rVert_{p'} \mathrm{d}x \\ &=\int_{\mathbb{R}^m}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x,y)\rvert^p \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p} \mathrm{d}x. \end{aligned} $$ ### 球坐标变换公式 设 $f\in L(\mathbb{R}^n)$，则 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x) \mathrm{d}x=\int_{S^{n-1}}\int_0^\infty f(r\xi) r^{n-1} \mathrm{d}r \mathrm{d}\sigma(\xi), \] 其中 $$ \begin{aligned} \int_{S^{n-1}}\mathrm{d}\sigma(\xi) &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\cdots\int_0^\pi(\sin\theta_1)^{n-2}(\sin\theta_2)^{n-3}\cdots(\sin\theta_{n-2})\\ &\mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\ldots\mathrm{d}\theta_{n-1}. \end{aligned} $$ 作变量替换 $$ \begin{aligned} x_1&=r\cos\theta_1,\\ x_2&=r\sin\theta_1\cos\theta_2,\\ x_3&=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3,\\ &\vdots\\ x_{n-1}&=r\sin\theta_1\sin\theta_2\ldots\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1},\\ x_n&=r\sin\theta_1\sin\theta_2\ldots\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}. \end{aligned} $$ $0\leq\theta_j\leq\pi$，$j=1,2,\ldots,n-2$，$0\leq\theta_{n-1}\leq 2\pi$. \[ \mathrm{d}x=r^{n-1}(\sin\theta_1)^{n-2}(\sin\theta_2)^{n-3}\cdots(\sin\theta_{n-2}) \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\ldots\mathrm{d}\theta_{n-1}. \] 定义（依测度收敛）. 设 $f,f_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，$n\geq 1$. 若 $\forall\varepsilon>0$， \[ \lim_{n\to\infty}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert=0, \] 则称 $f_n$ 依测度收敛于 $f$，$n\to\infty$. 定理. 设 $0 1. 如果 $f,f_n\in L^p(\mathbb{R}^n)$，且 $f_n\xrightarrow{L^p}f$，那么 $f_n\xrightarrow{L^{p,\infty}}f$. 2. 如果 $f_n\xrightarrow{L^{p,\infty}}f$，那么 $f_n$ 依测度收敛于 $f$. *证明.* (1)由 Chebyshev 不等式， $\forall\varepsilon>0$ \[ \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert\leq\frac{1}{\varepsilon^p}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^p \mathrm{d}x. \] 若 $\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert^p \mathrm{d}x\to 0$，则 $$ \begin{aligned} \sup_{\varepsilon>0}\varepsilon^p\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert \leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert^p \mathrm{d}x\to 0. \end{aligned} $$ 故 \[ \sup_{\varepsilon>0}\varepsilon\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert^{1/p}\to 0. \] 即 $f_n\xrightarrow{L^{p,\infty}}f$. (2) 若 $f_n\xrightarrow{L^{p,\infty}}f$，则 \[ \sup_{\varepsilon>0}\varepsilon\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert^{1/p}\to 0. \] 故 $\forall\varepsilon>0$， \[ \lim_{n\to\infty}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert=0. \] 例. 设 $0 $$ \begin{aligned} \lVert f_{k,j}\rVert_{p,\infty} &=\sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in[0,1]:f_{k,j}(x)>\alpha\}\rvert^{1/p} \\ &\geq\frac{(k-\frac{1}{k})^{1/p}}{k^{1/p}}\to 1. \end{aligned} $$ 注. 如果 $f_n$ 依测度收敛于 $f$，不一定有 $f_n\xrightarrow{L^{p,\infty}}f$. 定理. 设 $f,f_n$，$n=1,2,\ldots$，是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数. 如果 $f_n$ 依测度收敛于 $f$，$n\to\infty$，那么存在 $f_n$ 子列 $f_{n_k}$，使得 \[ f_{n_k}\to f,\text{a.e.}, k\to\infty. \] 注. 我们实际上只需证明 $f_{n_k}\nrightarrow f$ 对应一个零测集即可. *证明.* 因为 $\forall\varepsilon>0$， \[ \lim_{n\to\infty}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert=0, \] 取 $n_1 定义（测度柯西列）. 设 $f_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，$n\geq 1$. 若 $\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，$\forall n,m>N$， \[ \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_m(x)-f_n(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert<\varepsilon, \] 则称 $\{f_n\}$ 为测度柯西列. 定理. 设 $f_n$，$n=1,2,\ldots$，是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数. 如果 $\{f_n\}$ 是测度柯西列，那么 $f_n$ 有几乎处处收敛的子列 $f_{n_k}$. *证明.* 取 $n_1 注. 这里我们取 $\varepsilon=2^{-k}$. 令 \[ A_k=\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_{n_k}(x)-f_{n_{k+1}}(x)\rvert>2^{-k}\}. \] 类似于定理 2 的证明， \[ \lvert \bigcap_{m=1}^\infty\bigcup_{k=m}^\infty A_k\rvert=0. \] $\forall x\notin\bigcap_{m=1}^\infty\bigcup_{k=m}^\infty A_k$，则存在 $m$，使得 $x\in\bigcap_{k=m}^\infty A_k^c$. 对于 $\forall i\geq j\geq m$，由 $x\in\bigcap_{k=m}^\infty A_k^c$ 可得 \[ \lvert f_{n_i}(x)-f_{n_j}(x)\rvert\leq\sum_{l=j}^{i-1}\lvert f_{n_l}(x)-f_{n_{l+1}}(x)\rvert\leq\sum_{l=j}^{i-1}2^{-l}\leq 2^{1-j}. \] 可见 $\forall x\notin\bigcap_{m=1}^\infty\bigcup_{k=m}^\infty A_k$，$\{f_{n_i}(x)\}_i$ 是 $\mathbb{R}$ 中的柯西列，则 $\lim_{i\to\infty}f_{n_i}(x)$ 存在. 故 $f_{n_k}$ 几乎处处收敛，$k\to\infty$. 还可以论证 $f_{n_k}$ 依测度收敛于 $f$，从而 $f_n$ 依测度收敛于 $f$. $\forall\varepsilon>0$，对于充分大的 $k$ 满足 $\dfrac{1}{2^{k-1}}<\varepsilon$，则有 \[ \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_{n_k}(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\} \subset\bigcup_{l=k}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_{n_l}(x)-f_{n_{l+1}}(x)\rvert>2^{-l}\}. \] 这是因为 $\lvert f_{n_k}-f\rvert=\lvert \sum_{l=k}^\infty(f_{n_l}-f_{n_{l+1}})\rvert$ 以及 $\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=\dfrac{1}{2^{k-1}}<\varepsilon$. 因此 $$ \begin{aligned} \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_{n_k}(x)-f(x)\rvert>\varepsilon\}\rvert &\leq\sum_{l=k}^\infty\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_{n_l}(x)-f_{n_{l+1}}(x)\rvert>2^{-l}\}\rvert \\ &\leq\sum_{l=k}^\infty 2^{-l}=\frac{1}{2^{k-1}}<\varepsilon. \end{aligned} $$