分布函数

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 L^p 与弱 L^p，下一篇是 卷积。

分布函数

定义（分布函数）. 设 $f$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，对于 $\alpha\geq 0$，称 \[ d_f(\alpha)=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert \] 为 $f$ 的分布函数.

问题. $f=a_1\chi_{E_1}+a_2\chi_{E_2}+a_3\chi_{E_3}$，其中 $E_1,E_2,E_3\subset\mathbb{R}^n$ 为互不相交的可测集，且 $a_1>a_2>a_3>0$，求 $f$ 的分布函数 $d_f$.

注. 没啥好说的，分区间考虑即可，对 \[(-\infty,-a_1),(-a_1,-a_2),(-a_2,-a_3),(-a_3,a_3),(a_3,a_2),(a_2,a_1),(a_1,\infty)\] 分别进行考虑即可.

性质. 设 $f$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，其分布函数 $d_f$ 在 $[0,+\infty)$ 上递减，且是右连续的.

*证明.* (1) 由定义，$d_f$ 关于 $[0,+\infty)$ 单调递减.

(2) $\forall\{t_n\}\downarrow 0$，显然 \[ \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha_0+t_n\} \] 关于 $n$ 是单调递增的集合序列. 因此

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha_0+t_n\}\rvert &=\lvert \lim_{n\to\infty}\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha_0+t_n\}\rvert \\ &=\lvert \bigcup_{n=1}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha_0+t_n\}\rvert \\ &=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha_0\}\rvert. \end{aligned} $$

故 $\lim_{\alpha\to\alpha_0^+}d_f(\alpha)=d_f(\alpha_0)$.

注. 这本质上是利用了海涅定理.

性质. 1. 若 $\lvert f(x)\rvert\leq\lvert g(x)\rvert$，a.e.，$x\in\mathbb{R}^n$，则 $d_f(\alpha)\leq d_g(\alpha)$，$\forall\alpha\geq 0$. 2. $d_{cf}(\alpha)=d_f(\frac{\alpha}{\lvert c\rvert})$，$\forall\alpha\geq 0$. 3. $d_{f+g}(\alpha+\beta)\leq d_f(\alpha)+d_g(\beta)$. 4. $d_{fg}(\alpha\beta)\leq d_f(\alpha)+d_g(\beta)$.

*证明.* (iii) 因为

$$ \begin{aligned} \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)+g(x)\rvert>\alpha+\beta\} \subset\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\cup\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert g(x)\rvert>\beta\}, \end{aligned} $$

所以

$$ \begin{aligned} \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)+g(x)\rvert>\alpha+\beta\}\rvert \leq\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert+\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert g(x)\rvert>\beta\}\rvert, \end{aligned} $$

即 $d_{f+g}(\alpha+\beta)\leq d_f(\alpha)+d_g(\beta)$.

(iv) 由

$$ \begin{aligned} \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)g(x)\rvert>\alpha\beta\} \subset\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\cup\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert g(x)\rvert>\beta\}, \end{aligned} $$

可得

$$ \begin{aligned} \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)g(x)\rvert>\alpha\beta\}\rvert \leq\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert+\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert g(x)\rvert>\beta\}\rvert, \end{aligned} $$

即 $d_{fg}(\alpha\beta)\leq d_f(\alpha)+d_g(\beta)$.

问题. 利用性质 2 证明 \[ \lVert f+g\rVert_{p,\infty}\leq C_p(\lVert f\rVert_{p,\infty}+\lVert g\rVert_{p,\infty}), 0

注. 我们利用之前的性质： \[x^p+y^p\leq 2^{1-p}(x+y)^p，0\leq p\leq 1; (x+y)^p\leq 2^{p-1}(x^p+y^p)，1\leq p<\infty.\] 而 \[\lVert f+g\rVert_{p,\infty}=\sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)+g(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{1/p}\]

性质. 若 $0\leq f_1\leq f_2\leq\cdots$，且 $\forall x\in\mathbb{R}^n$，$f_k(x)\to f(x)$，$k\to\infty$，那么 \[ d_{f_k}(\alpha)\uparrow d_f(\alpha),\forall\alpha\geq 0. \]

*证明.* 由 $f_k(x)\uparrow f(x)$，知 $\{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}$ 关于 $k$ 是单调递增的集合序列，且 \[ \{x\in\mathbb{R}^n:f(x)>\alpha\}=\bigcup_{k=1}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}. \]

注. 这里必须要求严格单调.

原因如下：一方面，$\forall k$， \[ \{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}\subset\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)>\alpha\}. \] 另一方面，$\forall x\in\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)>\alpha\}$，由 $\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$，知 $\exists k$，使得 $f_k(x)>\alpha$. 于是 \[ \{x\in\mathbb{R}^n:f(x)>\alpha\}\subset\bigcup_{k=1}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}. \] 故 \[ \{x\in\mathbb{R}^n:f(x)>\alpha\}=\bigcup_{k=1}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}. \] 因此

$$ \begin{aligned} \lim_{k\to\infty}d_{f_k}(\alpha) &=\lim_{k\to\infty}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}\rvert \\ &=\lvert \lim_{k\to\infty}\{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}\rvert \\ &=\lvert \bigcup_{k=1}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:f_k(x)>\alpha\}\rvert \\ &=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:f(x)>\alpha\}\rvert=d_f(\alpha). \end{aligned} $$

注. 分布函数的单调有界收敛定理.

性质. 若 $\lvert f(x)\rvert\leq\varliminf_{n\to\infty}\lvert f_n(x)\rvert$，a.e.，则 \[ d_f(\alpha)\leq\varliminf_{n\to\infty}d_{f_n}(\alpha),\forall\alpha\geq 0. \]

*证明.* 若 $\lvert f(x)\rvert\leq\varliminf_{n\to\infty}\lvert f_n(x)\rvert=\lim_{m\to\infty}\inf_{n\geq m}\lvert f_n(x)\rvert$，则

$$ \begin{aligned} \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\} &\subset\bigcup_{m=1}^\infty\bigcap_{n=m}^\infty\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)\rvert>\alpha\} \\ &=\varliminf_{n\to\infty}\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)\rvert>\alpha\}. \end{aligned} $$

由性质(Fatou引理) $\lvert \varliminf_{n\to\infty}A_n\rvert\leq\varliminf_{n\to\infty}\lvert A_n\rvert$，得

$$ \begin{aligned} d_f(\alpha) &=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert \\ &\leq\lvert \varliminf_{n\to\infty}\{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)\rvert>\alpha\}\rvert \\ &\leq\varliminf_{n\to\infty}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f_n(x)\rvert>\alpha\}\rvert \\ &=\varliminf_{n\to\infty}d_{f_n}(\alpha). \end{aligned} $$

性质（层饼公式）. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$0

\lVert f\rVert_p^p=p\int_0^\infty\alpha^{p-1}d_f(\alpha) \mathrm{d}\alpha. \]

*证明.* 因为 $\forall x\in\mathbb{R}^n$， \[ \lvert f(x)\rvert=\int_0^{\lvert f(x)\rvert}\mathrm{d}\alpha=\int_0^\infty\chi_{(\lvert f\rvert>\alpha)}(x) \mathrm{d}\alpha. \] 利用 Fubini 定理，

$$ \begin{aligned} \lVert f\rVert_1 &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert \mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_0^\infty\chi_{(\lvert f\rvert>\alpha)}(x) \mathrm{d}\alpha\Biggr) \mathrm{d}x \\ &=\int_0^\infty\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{(\lvert f\rvert>\alpha)}(x) \mathrm{d}x\Biggr) \mathrm{d}\alpha \\ &=\int_0^\infty d_f(\alpha) \mathrm{d}\alpha. \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \lVert f\rVert_p^p &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^p \mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_0^\infty\chi_{(\lvert f\rvert^p>\alpha)}(x) \mathrm{d}\alpha\Biggr) \mathrm{d}x \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_0^\infty\chi_{(\lvert f\rvert^p>\alpha^p)}(x) \mathrm{d}(\alpha^p)\Biggr) \mathrm{d}x \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_0^\infty\chi_{(\lvert f\rvert>\alpha)}(x) p\alpha^{p-1} \mathrm{d}\alpha\Biggr) \mathrm{d}x \\ &=p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{(\lvert f\rvert>\alpha)}(x) \mathrm{d}x\Biggr) \mathrm{d}\alpha \\ &=p\int_0^\infty\alpha^{p-1}d_f(\alpha) \mathrm{d}\alpha. \end{aligned} $$

定理（范数插值定理 1）. 设 $0

\lVert f\rVert_{p,\infty}\leq\lVert f\rVert_{p_0,\infty}^{1-\theta}\lVert f\rVert_{p_1,\infty}^\theta. \] 这表明若 $f\in L^p\cap L^q$，则 $f\in L^r$，$\forall p

*证明.* (i) 因为 \[ \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}, \] 由 Holder 不等式 \[ \lVert f\rVert_p=\lVert f^{1-\theta}f^\theta\rVert_p\leq\lVert f^{1-\theta}\rVert_{\frac{p_0}{1-\theta}}\lVert f^\theta\rVert_{\frac{p_1}{\theta}}=\lVert f\rVert_{p_0}^{1-\theta}\lVert f\rVert_{p_1}^\theta. \]

(ii) 由定义

$$ \begin{aligned} &\sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{1/p} \\ &=\sup_{\alpha>0}[\alpha^{1-\theta}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{\frac{1-\theta}{p_0}}] \cdot [\alpha^\theta\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{\frac{\theta}{p_1}}]. \end{aligned} $$

由于 $\sup xy\leq\sup x\cdot\sup y,x>0,y>0$，故

$$ \begin{aligned} &\sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{1/p} \\ &\leq\sup_{\alpha>0}[\alpha^{1-\theta}\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{\frac{1-\theta}{p_0}}] \cdot \sup_{\alpha>0}[\alpha^\theta\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{\frac{\theta}{p_1}}] \\ &=\lVert f\rVert_{p_0,\infty}^{1-\theta}\lVert f\rVert_{p_1,\infty}^\theta. \end{aligned} $$

这表明 \[ \lVert f\rVert_{p,\infty}\leq\lVert f\rVert_{p_0,\infty}^{1-\theta}\lVert f\rVert_{p_1,\infty}^\theta. \]

定理（范数插值定理 2）. 设 $0

*证明.* (i) 若 $q<\infty$，由弱范定义，$f\in L^{p,\infty}\cap L^{q,\infty}$，则 \[ d_f(\alpha)\leq\alpha^{-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p,

d_f(\alpha)\leq\alpha^{-q}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q. \]

注. 这是由于 \[d_f(\alpha)=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert, \lVert f\rVert_{p,\infty}=\sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert f(x)\rvert>\alpha\}\rvert^{1/p}.\] 故显然有 \[d_f(\alpha)\leq\alpha^{-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p.\]

记 \[ B=(\lVert f\rVert_{p,\infty}^{-p}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q)^{1/(q-p)}. \] 由前面的层饼公式，

$$ \begin{aligned} \lVert f\rVert_r^r &=r\int_0^{+\infty}\alpha^{r-1}d_f(\alpha) \mathrm{d}\alpha \\ &\leq r\int_0^{+\infty}\alpha^{r-1}\min\{\alpha^{-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p,\ \alpha^{-q}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q\} \mathrm{d}\alpha \\ &\leq r\int_0^B\alpha^{r-1-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p \mathrm{d}\alpha +r\int_B^{+\infty}\alpha^{r-1-q}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q \mathrm{d}\alpha \\ &=\frac{r}{r-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p B^{r-p}+\frac{r}{q-r}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q B^{r-q} \\ &=\frac{r}{r-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p(\lVert f\rVert_{p,\infty}^{-p}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q)^{(r-p)/(q-p)} \\ &+\frac{r}{q-r}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q(\lVert f\rVert_{p,\infty}^{-p}\lVert f\rVert_{q,\infty}^q)^{(r-q)/(q-p)}. \end{aligned} $$

合并得 \[ \Biggl(\frac{r}{r-p}+\frac{r}{q-r}\Biggr) (\lVert f\rVert_{p,\infty}^p)^{\frac{q-r}{q-p}} (\lVert f\rVert_{q,\infty}^q)^{\frac{r-p}{q-p}}. \]

(ii) 若 $q=\infty$，

$$ \begin{aligned} \lVert f\rVert_r^r &=r\int_0^{+\infty}\alpha^{r-1}d_f(\alpha) \mathrm{d}\alpha \\ &\leq r\int_0^{\lVert f\rVert_\infty}\alpha^{r-1}\alpha^{-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p \mathrm{d}\alpha \\ &=r\lVert f\rVert_{p,\infty}^p\int_0^{\lVert f\rVert_\infty}\alpha^{r-1-p} \mathrm{d}\alpha \\ &=\frac{r}{r-p}\lVert f\rVert_{p,\infty}^p\lVert f\rVert_\infty^{r-p}. \end{aligned} $$

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