analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 分布函数，下一篇是 恒等逼近核。
卷积
定义（卷积）. 设 $f$ 和 $g$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，若对几乎所有的 $x\in\mathbb{R}^n$，$\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y) \mathrm{d}y$ 存在，则称 \[ (f\ast g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y) \mathrm{d}y \] 为 $f$ 与 $g$ 的卷积.
卷积具有如下基本性质：
1. 可交换性. $f\ast g=g\ast f$ 2. 可结合性. $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$ 3. 线性. $(\alpha f+\beta g)\ast h=\alpha(f\ast h)+\beta(g\ast h)$，$\forall\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ 4. 若 $f,g\in L^1$，则 $f\ast g\in L^1$，且 $\lVert f\ast g\rVert_1\leq\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1$.
*证明.* (iv)
$$ \begin{aligned} \lVert f\ast g\rVert_1 &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y) \mathrm{d}y\rvert \mathrm{d}x \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-y)\rvert\lvert g(y)\rvert \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(y)\rvert\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-y)\rvert \mathrm{d}x\Biggr) \mathrm{d}y \\ &=\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1. \end{aligned} $$
问题. 设 $f=\chi_{[0,1]}$，$[0,1]\subset\mathbb{R}$，求 $f\ast f$.
注. \[(f\ast f)(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)f(y)dy=\int_{\mathbb{R}}\chi_{[0,1]}(x-y)\chi_{[0,1]}(y)dy\] 而 $\chi_{[0,1]}(x-y)\chi_{[0,1]}(y)=1$ 当且仅当 $\chi_{[0,1]}(x-y)=1$ 且 $\chi_{[0,1]}(y)=1$，即 \[0\leq x-y\leq 1,0\leq y\leq 1\Rightarrow x-1\leq y\leq x,0\leq y\leq 1\] 区间长度为 $x,0\leq x\leq 1$ 即 \[(f\ast f)(x)=x,0\leq x\leq 1\]
定理（Young 不等式）. 设 $1\leq p,q,r\leq\infty$，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}+1$. 若 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^q(\mathbb{R}^n)$，则 $f\ast g\in L^r(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert f\ast g\rVert_r\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q. \] 特别地，当 $p=q=r=1$，Young 不等式为 $\lVert f\ast g\rVert_1\leq\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1$.
*证明.* (i) 若 $q=\infty$，则 $r=\infty$，$p=1$. 显然 \[ \lVert f\ast g\rVert_\infty\leq\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_\infty. \]
(ii) 若 $1\leq q<\infty$，由 $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}+1$，得 \[ \frac{1}{p'}+\frac{1}{q'}+\frac{1}{r}=1. \]
注. 这里 \[\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1,\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1\]
$$ \begin{aligned} \lvert (f\ast g)(x)\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y) \mathrm{d}y\rvert \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert\lvert g(x-y)\rvert \mathrm{d}y \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert^{p/q'}(\lvert f(y)\rvert^{p/r}\lvert g(x-y)\rvert^{q/r})\lvert g(x-y)\rvert^{q/p'} \mathrm{d}y. \end{aligned} $$
利用 Holder 不等式，（$\dfrac{1}{p'}+\dfrac{1}{q'}+\dfrac{1}{r}=1$）
$$ \begin{aligned} \lvert (f\ast g)(x)\rvert &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert^{p/q'}(\lvert f(y)\rvert^{p/r}\lvert g(x-y)\rvert^{q/r})\lvert g(x-y)\rvert^{q/p'} \mathrm{d}y \\ &\leq\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert^{p} \mathrm{d}y\Biggr)^{1/q'} \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert^p\lvert g(x-y)\rvert^q \mathrm{d}y\Biggr)^{1/r} \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(x-y)\rvert^{q} \mathrm{d}y\Biggr)^{1/p'} \\ &=\lVert f\rVert_p^{p/q'}\lVert g\rVert_q^{q/p'} \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert^p\lvert g(x-y)\rvert^q \mathrm{d}y\Biggr)^{1/r}. \end{aligned} $$
因此
$$ \begin{aligned} \lVert f\ast g\rVert_r &\leq\lVert f\rVert_p^{p/q'}\lVert g\rVert_q^{q/p'} \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert^p\lvert g(x-y)\rvert^q \mathrm{d}y \mathrm{d}x\Biggr)^{1/r} \\ &=\lVert f\rVert_p^{p/q'}\lVert g\rVert_q^{q/p'}\lVert f\rVert_p^{p/r}\lVert g\rVert_q^{q/r} \\ &=\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q. \end{aligned} $$
定理（弱型 Young 不等式）. 设 $1\leq p<\infty$，$1 补充. 感觉没看懂. *证明.* 令 $g_1=g\chi_{\lvert g\rvert\leq M}$，$g_2=g\chi_{\lvert g\rvert>M}$，$M>0$ 待定. 则 $g=g_1+g_2$，$f\ast g=f\ast g_1+f\ast g_2$. 若 $p'<\infty$， $$ \begin{aligned} \lVert g_1\rVert_{p'}^{p'} &=p'\int_0^\infty\alpha^{p'-1}d_{g_1}(\alpha) \mathrm{d}\alpha =p'\int_0^M\alpha^{p'-1}[d_g(\alpha)-d_g(M)] \mathrm{d}\alpha \\ &\leq p'\int_0^M\alpha^{p'-1}\alpha^{-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q \mathrm{d}\alpha -p'\int_0^M\alpha^{p'-1}d_g(M) \mathrm{d}\alpha \\ &=\frac{p'}{p'-q}M^{p'-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q-M^{p'}d_g(M). \end{aligned} $$ 故 \[ \lVert g_1\rVert_{p'}\leq\Biggl(\frac{p'}{p'-q}M^{p'-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q\Biggr)^{1/p'}. \] 注. 这里 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. 从而 \[ \lvert (f\ast g_1)(x)\rvert\leq\lVert f\rVert_p\lVert g_1\rVert_{p'}\leq\lVert f\rVert_p\Biggl(\frac{p'}{p'-q}M^{p'-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q\Biggr)^{1/p'}. \] 若 $p'=\infty$， \[ \lvert (f\ast g_1)(x)\rvert\leq\lVert f\rVert_p\lVert g_1\rVert_{p'}\leq M\lVert f\rVert_p. \] 同理，计算 $$ \begin{aligned} \lVert g_2\rVert_1 &=\int_0^\infty d_{g_2}(\alpha) \mathrm{d}\alpha =\int_0^M d_g(M) \mathrm{d}\alpha+\int_M^\infty d_g(\alpha) \mathrm{d}\alpha \\ &\leq M^{1-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q+\int_M^\infty\alpha^{-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q \mathrm{d}\alpha \\ &=M^{1-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q+\frac{1}{q-1}M^{1-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q \\ &=\frac{q}{q-1}M^{1-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q. \end{aligned} $$ 从而 \[ \lVert f\ast g_2\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p\lVert g_2\rVert_1\leq\lVert f\rVert_p\frac{q}{q-1}M^{1-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q. \] 若 $p'<\infty$，$\forall\alpha>0$，选取 \[ M=(\alpha^{p'}2^{-p'}qr^{-1}\lVert f\rVert_p^{-p'}\lVert g\rVert_{q,\infty}^{-q})^{1/(p'-q)}. \] 则 \[ \lvert (f\ast g_1)(x)\rvert\leq\lVert f\rVert_p\Biggl(\frac{p'}{p'-q}M^{p'-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q\Biggr)^{1/p'}=\frac{\alpha}{2}. \] 故 $d_{f\ast g_1}(\frac{\alpha}{2})=0$. 若 $p'=\infty$，选取 $M=\dfrac{\alpha}{2\lVert f\rVert_p}$. 则 \[ \lvert (f\ast g_1)(x)\rvert\leq M\lVert f\rVert_p=\frac{\alpha}{2}. \] 故 $d_{f\ast g_1}(\frac{\alpha}{2})=0$. 因此 $\forall\alpha>0$， $$ \begin{aligned} d_{f\ast g}(\alpha) &\leq d_{f\ast g_1}(\frac{\alpha}{2})+d_{f\ast g_2}(\frac{\alpha}{2}) =d_{f\ast g_2}(\frac{\alpha}{2}) \\ &\leq(\frac{2}{\alpha})^p\lVert f\ast g_2\rVert_p^p \\ &\leq\Biggl(\frac{2}{\alpha}\lVert f\rVert_p\frac{q}{q-1}M^{1-q}\lVert g\rVert_{q,\infty}^q\Biggr)^p \\ &=C_{p,q,r}^r\alpha^{-r}\lVert f\rVert_p^r\lVert g\rVert_{q,\infty}^r. \end{aligned} $$ 从而 \[ \lVert f\ast g\rVert_{r,\infty}=\sup_{\alpha>0}\alpha[d_{f\ast g}(\alpha)]^{1/r}\leq C_{p,q,r}\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{q,\infty}. \] 端点处反例. ### 卷积的连续性 记 $\operatorname{supp}(f)=\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)\neq 0\}$，称 $\operatorname{supp}(f)$ 为 $f$ 的支集. 若 $\operatorname{supp}(f)$ 包含于某个紧集，则称 $f$ 具有紧支集. 1. $\operatorname{supp}(f\ast g)\subset\operatorname{supp}(f)+\operatorname{supp}(g)$. *证明.* 若 $x_0\notin\operatorname{supp}(f)+\operatorname{supp}(g)$，则 \[ \forall y\in\operatorname{supp}(g), x_0-y\notin\operatorname{supp}(f). \] 从而有 \[ (f\ast g)(x_0)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x_0-y)g(y) \mathrm{d}y=0. \] 故 $x_0\notin\operatorname{supp}(f\ast g)$. 引理. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\leq p<\infty$，则 \[ \lVert f(\cdot+h)-f(\cdot)\rVert_p\to 0,\lvert h\rvert\to 0. \] *证明.* (1) 设 $g\in C_c(\mathbb{R}^n)$（具有紧支集的连续函数全体），则 $\forall x$， \[ g(x+h)-g(x)\to 0,\lvert h\rvert\to 0. \] 此外， \[ \lvert g(x+h)-g(x)\rvert^p\leq 2^p\lVert g\rVert_\infty^p. \] 利用 Lebesgue 控制收敛定理， \[ \lVert g(\cdot+h)-g(\cdot)\rVert_p^p=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(x+h)-g(x)\rvert^p \mathrm{d}x\to 0,\lvert h\rvert\to 0. \] (2) 因为紧支集连续函数在 $L^p$ 中稠密，则 $\forall\varepsilon>0$，$\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$\exists g\in C_c(\mathbb{R}^n)$，使得 $\lVert f-g\rVert_p<\varepsilon$. 从而当 $\lvert h\rvert$ 足够小， $$ \begin{aligned} \lVert f(\cdot+h)-f(\cdot)\rVert_p &\leq\lVert f(\cdot+h)-g(\cdot+h)\rVert_p+\lVert g(\cdot+h)-g(\cdot)\rVert_p+\lVert g-f\rVert_p \\ &<3\varepsilon. \end{aligned} $$ 注. 跟证明 Cauchy 方程一样，利用连续稠密性拓展到全部. 1. 设 $1\leq p\leq\infty$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^{p'}(\mathbb{R}^n)$，则 $f\ast g$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的一致连续的有界函数. *证明.* (1) 若 $1\leq p<\infty$，$\forall x\in\mathbb{R}^n$，有 $$ \begin{aligned} \lvert (f\ast g)(x+h)-(f\ast g)(x)\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}[f(x+h-y)g(y)-f(x-y)g(y)] \mathrm{d}y\rvert \\ &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}[f(x+h-y)-f(x-y)]g(y) \mathrm{d}y\rvert \\ &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}[f(t+h)-f(t)]g(x-t) \mathrm{d}t\rvert \text{（变量替换）} \\ &\leq\lVert f(\cdot+h)-f(\cdot)\rVert_p\lVert g\rVert_{p'} \text{（Holder 不等式）} \\ &\to 0,\lvert h\rvert\to 0. \text{（引理）} \end{aligned} $$ 因此，$f\ast g$ 一致连续. 此外，由 Young 不等式 \[ \lVert f\ast g\rVert_\infty\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{p'}. \] 因此，$f\ast g$ 是一致连续的有界函数. (2) 若 $p=\infty$，$f$ 与 $g$ 的位置相交换，故结论同样成立. ### 卷积的光滑性 定义（多重指标）. $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\Z_+^n$ 为多重指标. $\lvert \alpha\rvert=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$ 称为 $\alpha$ 的阶，$\lvert \alpha\rvert$ 阶的微分算子 $D^\alpha$ 定义为 \[ D^\alpha f=\frac{\partial^{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}. \] 设 $m\in\Z_+$，记 $$ \begin{aligned} C^m(\mathbb{R}^n)&=\{f:D^\alpha f\in C(\mathbb{R}^n),\ \alpha\in\Z_+^n,\ \lvert \alpha\rvert\leq m\}, \\ C_c^m(\mathbb{R}^n)&=\{f:f\in C^m(\mathbb{R}^n)\text{ 且具有紧支集}\}. \end{aligned} $$ 简记 $C^0(\mathbb{R}^n)=C(\mathbb{R}^n)$，$C_c^0(\mathbb{R}^n)=C_c(\mathbb{R}^n)$. $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ 表示无穷阶可微函数的全体，记 \[ C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)=\{f:f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)\text{ 且具有紧支集}\}. \] 定理. 设 $1\leq p\leq\infty$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in C_c^m(\mathbb{R}^n)$，则 $f\ast g\in C^m(\mathbb{R}^n)$，且 \[ D^\alpha(f\ast g)(x)=(f\ast D^\alpha g)(x),\forall\lvert \alpha\rvert\leq m. \] *证明.* (i) 设 $m=0$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in C_c(\mathbb{R}^n)$，下验证 $f\ast g\in C(\mathbb{R}^n)$. 因为 \[ g\in C_c(\mathbb{R}^n)\implies g\in L^{p'}(\mathbb{R}^n). \] 运用卷积的连续性可得，$f\ast g\in C(\mathbb{R}^n)$. (ii) 设 $m=1$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in C_c^1(\mathbb{R}^n)$，下验证 $f\ast g\in C^1(\mathbb{R}^n)$. 记 $h=(0,\ldots,0,h_i,0,\ldots,0)$，其中 $h_i$ 为第 $i$ 个分量，$\lvert h\rvert<1$. 从而 $$ \begin{aligned} &\lvert \frac{(f\ast g)(x+h)-(f\ast g)(x)}{h_i}-(f\ast\frac{\partial g}{\partial x_i})(x)\rvert \\ &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(y)\frac{g(x+h-y)-g(x-y)}{h_i} \mathrm{d}y-\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\frac{\partial g}{\partial x_i}(x-y) \mathrm{d}y\rvert \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-y)\rvert\lvert \frac{g(y+h)-g(y)}{h_i}-\frac{\partial g}{\partial x_i}(y)\rvert \mathrm{d}y \\ &\longrightarrow 0. \text{（运用控制收敛定理）} \end{aligned} $$ 所以 \[ \frac{\partial}{\partial x_i}(f\ast g)=f\ast\frac{\partial g}{\partial x_i}. \] 运用卷积的连续性 $\dfrac{\partial}{\partial x_i}(f\ast g)\in C(\mathbb{R}^n)$. 故 $f\ast g\in C^1(\mathbb{R}^n)$. 对于 $m\geq 2$，只要一步步重复上述证明即可. 定理. 1. 设 $1\leq p\leq\infty$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，那么 $f\ast g\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$. 2. 设 $f\in L(\mathbb{R}^n)$ 且 $f$ 具有紧支集，$g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，那么 $f\ast g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. *证明.* 结合卷积支集的性质 \[ \operatorname{supp}(f\ast g)\subset\operatorname{supp}(f)+\operatorname{supp}(g), \] 利用卷积的光滑性可推出结论. 注. (1) 因为 $g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，对任意 $m\in\Z_+$ 都有 $g\in C_c^m(\mathbb{R}^n)$. 由前一定理， \[ f\ast g\in C^m(\mathbb{R}^n), D^\alpha(f\ast g)=f\ast D^\alpha g,\forall\lvert \alpha\rvert\le m. \] $m$ 任意，故 $f\ast g\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$. (2) 由 (1)，取 $p=1$，已有 $f\ast g\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$. 只需再证它有紧支集. $f$ 具有紧支集，$g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 也具有紧支集，而 $\mathbb{R}^n$ 中两个紧集的 Minkowski 和 \[ \operatorname{supp}(f)+\operatorname{supp}(g)=\{x+y:x\in\operatorname{supp}(f),\ y\in\operatorname{supp}(g)\} \] 仍是紧集. 结合 \[ \operatorname{supp}(f\ast g)\subset\operatorname{supp}(f)+\operatorname{supp}(g), \] 知 $\operatorname{supp}(f\ast g)$ 含于紧集，从而自身紧致. 故 $f\ast g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. 引理（Urysohn 引理）. 设 $K\subset\mathbb{R}^n$ 为紧集，$U\subset\mathbb{R}^n$ 为开集，且 $K\subset U$，则存在 $f\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，使得 $\forall x\in\mathbb{R}^n$，$0\leq f(x)\leq 1$，且 \[ f(x)=\begin{cases} 0,& x\in U^c,\\ 1,& x\in K. \end{cases} \] *证明.* 记 $\mathrm{dist}(K,U^c)=\delta$，即 \[ \delta=\inf\{\lvert x-y\rvert:x\in K,\ y\in U^c\}. \] 令 $V=\bigcup_{y\in K}\{x:\lvert x-y\rvert<\frac13\delta\}$，则 $K\subset V$，$\overline{V}\subset U$. 任取一非负 $\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，并满足 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=1,\operatorname{supp}(\varphi)=\{x:\lvert x\rvert<\tfrac13\delta\}. \] 构造 $f=\varphi\ast\chi_V$，则 $f$ 即为所求. 验证如下. 由卷积支集的性质，$f\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$， \[ \operatorname{supp}(f)\subset\operatorname{supp}(\chi_V)+\operatorname{supp}(\varphi)\subset U. \] $\forall x\in K$， \[ f(x)=(\varphi\ast\chi_V)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(y)\chi_V(x-y) \mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(y) \mathrm{d}y=1. \] 由 Young 不等式 \[ \lVert f\rVert_\infty=\lVert \varphi\ast\chi_V\rVert_\infty\leq\lVert \varphi\rVert_1\lVert \chi_V\rVert_\infty=1. \] 常用具有紧支集光滑辅助函数 $\varphi$， \[ \varphi(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{1-\lvert x\rvert^2}},& \lvert x\rvert<1,\\ 0,& \lvert x\rvert\geq 1, \end{cases} \] 则 $\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，$\operatorname{supp}(\varphi)=B(0,1)$.