analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 卷积，下一篇是 插值定理。
恒等逼近核
定义（恒等逼近核）. 给定一族 $\{K_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的函数族. 若 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\leq p\leq\infty$，当 $\varepsilon\to 0$ 时，在一定收敛意义下（依范数收敛或点态收敛），有 \[ K_\varepsilon\ast f\to f, \] 则称 $K_\varepsilon$ 为 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上的恒等逼近核或卷积单位. 称算子 \[ T_\varepsilon:f\mapsto K_\varepsilon\ast f \] 为 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上的恒等逼近算子.
设 $K(x)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，研究函数族 \[ K_\varepsilon(x)=\frac{1}{\varepsilon^n}K(\frac{x}{\varepsilon}),\varepsilon>0. \]
例. 设 $K(x)=\chi_B(x)$，其中 $B$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单位球. 则 \[ K_\varepsilon(x)=\frac{1}{\varepsilon^n}\chi_{\{\lvert x\rvert<\varepsilon\}}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\varepsilon^n},& \lvert x\rvert<\varepsilon,\\ 0,& \lvert x\rvert\geq\varepsilon. \end{cases} \] $K_\varepsilon$ 的支集是半径为 $\varepsilon$ 的球，当 $\varepsilon$ 越小，$K_\varepsilon$ 的支集就越小，但 $K_\varepsilon$ 的峰值 $\dfrac{1}{\varepsilon^n}$ 越大.
性质. 设 $K\in L(\mathbb{R}^n)$，则 $\forall\varepsilon>0$
1. $\int_{\mathbb{R}^n}K_\varepsilon(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x$. 2. 对任意的 $\delta>0$， \[ \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\lvert x\rvert>\delta}\lvert K_\varepsilon(x)\rvert \mathrm{d}x=0. \]
*证明.* (1) 运用变量替换 \[ \int_{\mathbb{R}^n}K_\varepsilon(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{\varepsilon^n}K(\frac{x}{\varepsilon}) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}K(u) \mathrm{d}u. \]
(2) 对任意的 $\delta>0$， \[ \int_{\lvert x\rvert>\delta}\lvert K_\varepsilon(x)\rvert \mathrm{d}x=\int_{\lvert x\rvert>\delta}\frac{1}{\varepsilon^n}\lvert K(\frac{x}{\varepsilon})\rvert \mathrm{d}x=\int_{\lvert u\rvert>\delta/\varepsilon}\lvert K(u)\rvert \mathrm{d}u. \] 当 $\varepsilon\to 0$，运用 Lebesgue 控制收敛定理 \[ \int_{\lvert u\rvert>\delta/\varepsilon}\lvert K(u)\rvert \mathrm{d}u\to 0,\varepsilon\to 0. \]
定理. 设 $K\in L(\mathbb{R}^n)$ 且 $\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x=1$. 若 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\leq p<\infty$，则 \[ K_\varepsilon\ast f\xrightarrow{L^p}f,\varepsilon\to 0. \]
*证明.* 计算
$$ \begin{aligned} &\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K_\varepsilon\ast f(x)-f(x)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \\ &=\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}|\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{\varepsilon^n}K(\frac{y}{\varepsilon})f(x-y) \mathrm{d}y-f(x)|^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \\ &=\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}|\int_{\mathbb{R}^n}K(y)f(x-\varepsilon y) \mathrm{d}y-f(x)|^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \text{（变量替换）} \\ &=\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}|\int_{\mathbb{R}^n}K(y)[f(x-\varepsilon y)-f(x)] \mathrm{d}y|^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p}. \end{aligned} $$
利用 Minkowski 不等式
$$ \begin{aligned} &\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K_\varepsilon\ast f(x)-f(x)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \\ &=\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}|\int_{\mathbb{R}^n}K(y)[f(x-\varepsilon y)-f(x)] \mathrm{d}y|^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)[f(x-\varepsilon y)-f(x)]\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \mathrm{d}y \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \mathrm{d}y \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert \lVert f(\cdot-\varepsilon y)-f(\cdot)\rVert_p \mathrm{d}y. \end{aligned} $$
因为 $\forall y\in\mathbb{R}^n$， \[ \lVert f(\cdot-\varepsilon y)-f(\cdot)\rVert_p\to 0,\varepsilon\to 0. \] 且 \[ \lvert K(y)\rvert \lVert f(\cdot-\varepsilon y)-f(\cdot)\rVert_p\leq 2\lVert f\rVert_p\lvert K(y)\rvert\in L^1(\mathbb{R}^n). \] 运用控制收敛定理 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert \lVert f(\cdot-\varepsilon y)-f(\cdot)\rVert_p \mathrm{d}y\to 0,\varepsilon\to 0. \] 因此 \[ \lVert K_\varepsilon\ast f-f\rVert_p\to 0,\varepsilon\to 0. \]
定理. 设 $K\in L(\mathbb{R}^n)$ 且 $\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x=1$. 若 $f\in L^\infty(\mathbb{R}^n)$，则在 $f$ 的连续点 $x$ 处，有 \[ \lim_{\varepsilon\to 0}(K_\varepsilon\ast f)(x)=f(x). \]
*证明.* 设 $x$ 是 $f$ 的连续点，则
$$ \begin{aligned} \lvert (K_\varepsilon\ast f)(x)-f(x)\rvert &=|\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{\varepsilon^n}K(\frac{y}{\varepsilon})f(x-y) \mathrm{d}y-f(x)| \\ &=|\int_{\mathbb{R}^n}K(u)f(x-\varepsilon u) \mathrm{d}u-f(x)| \\ &\leq|\int_{\mathbb{R}^n}K(u)[f(x-\varepsilon u)-f(x)] \mathrm{d}u| \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(u)\rvert\lvert f(x-\varepsilon u)-f(x)\rvert \mathrm{d}u. \end{aligned} $$
因为 $f$ 在 $x$ 点处连续，则对任意的 $u$， \[ \lvert f(x-\varepsilon u)-f(x)\rvert\to 0,\varepsilon\to 0. \] 且 \[ \lvert K(u)\rvert\lvert f(x-\varepsilon u)-f(x)\rvert\leq 2\lVert f\rVert_\infty\lvert K(u)\rvert\in L^1(\mathbb{R}^n). \] 运用 Lebesgue 控制收敛定理 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(u)\rvert\lvert f(x-\varepsilon u)-f(x)\rvert \mathrm{d}u\to 0,\varepsilon\to 0. \] 因此 \[ \lim_{\varepsilon\to 0}(K_\varepsilon\ast f)(x)=f(x). \]
定理. 设 $K\in L(\mathbb{R}^n)$ 且 $\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x=1$. 若 $f$ 有界且一致连续（或 $f\in C_0(\mathbb{R}^n)$），则 \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert (K_\varepsilon\ast f)(x)-f(x)\rvert\longrightarrow 0,\varepsilon\to 0. \]
*证明.* 计算
$$ \begin{aligned} \lvert K_\varepsilon\ast f(x)-f(x)\rvert &=|\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{\varepsilon^n}K(\frac{y}{\varepsilon})f(x-y) \mathrm{d}y-f(x)| \\ &=|\int_{\mathbb{R}^n}K(y)f(x-\varepsilon y) \mathrm{d}y-f(x)| \text{（变量替换）} \\ &=|\int_{\mathbb{R}^n}K(y)[f(x-\varepsilon y)-f(x)] \mathrm{d}y| \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y. \end{aligned} $$
从而
$$ \begin{aligned} \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert K_\varepsilon\ast f(x)-f(x)\rvert &\leq\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert w(f;\varepsilon\lvert y\rvert) \mathrm{d}y. \end{aligned} $$
因为 $f$ 一致连续，所以 $\forall y\in\mathbb{R}^n$，$w(f;\varepsilon\lvert y\rvert)\to 0$，$\varepsilon\to 0$. 且 \[ \lvert K(y)\rvert w(f;\varepsilon\lvert y\rvert)\leq 2\lVert f\rVert_\infty\lvert K(y)\rvert\in L^1(\mathbb{R}^n). \] 运用控制收敛定理 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert K(y)\rvert w(f;\varepsilon y) \mathrm{d}y\to 0,\varepsilon\to 0. \] 因此 \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert (K_\varepsilon\ast f)(x)-f(x)\rvert\longrightarrow 0,\varepsilon\to 0. \]
定理. 设 $1\leq p<\infty$，则 $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中稠密.
*证明.* $\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，存在具有紧支集的函数 $g$，使得 \[ \lVert f-g\rVert_p<\delta. \] 任取一非负函数 $\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，且满足 $\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=1$. 由卷积性质，$\varphi_\varepsilon\ast g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert \varphi_\varepsilon\ast g-g\rVert_p\to 0,\varepsilon\to 0. \] 因此 \[ \lVert \varphi_\varepsilon\ast g-f\rVert_p\leq\lVert \varphi_\varepsilon\ast g-g\rVert_p+\lVert g-f\rVert_p<2\delta. \]
### 常用的恒等逼近核
例（Fejer 核）. 令 \[ F(x)=\frac{1}{\pi}(\frac{\sin x}{x})^2, x\in\mathbb{R}. \] 则 $F\in L(\mathbb{R})$，且
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}}F(x) \mathrm{d}x &=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\sin x}{x})^2 \mathrm{d}x =\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}(\frac{\sin x}{x})^2 \mathrm{d}x \\ &=\frac{2}{\pi}\Biggl[-\frac{\sin^2 x}{x}\Big|_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\frac{2\sin x\cos x}{x} \mathrm{d}x\Biggr] \\ &=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t=1. \end{aligned} $$
例（Poisson 核）. 令 \[ P(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}, x\in\mathbb{R}. \] 则 $P\in L(\mathbb{R})$，且 \[ \int_{\mathbb{R}}P(x) \mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\arctan x\Big|_{-\infty}^{+\infty}=1. \] 此外， \[ P_\varepsilon(x)=\frac{1}{\varepsilon}P(\frac{x}{\varepsilon})=\frac{1}{\pi}\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2+x^2}. \] 用 $y$ 代替 $\varepsilon$，可得 Poisson 核 $P_y(x)$. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\leq p\leq\infty$，则定义 $f$ 的 Poisson 积分为 \[ u(x,y)=(f\ast P_y)(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\frac{y}{y^2+(x-t)^2} \mathrm{d}t. \]
函数 $u(x,y)$ 定义在上半平面 \[ \R_+^2=\{(x,y):x\in\mathbb{R},\ y>0\}. \] 若 $z=x+iy$，函数 $(-\frac{1}{z})$ 在上半平面 $\R_+^2$ 上解析，因此它的虚部 $\dfrac{y}{y^2+x^2}$ 是上半平面 $\R_+^2$ 上的调和函数. 故 $P_y(x)$ 满足 Laplace 方程： \[ \Biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\Biggr)P_y(x)=0(y>0). \] 从而由卷积的光滑性，可得 \[ \Biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\Biggr)u(x,y) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\Biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\Biggr)P_y(x-t) \mathrm{d}t=0. \] 这说明 $u(x,y)$ 是上半平面的调和函数.
例（Gauss–Weierstrass 核）. 令 \[ K(x)=\sqrt{\pi} e^{-\pi^2 x^2}, x\in\mathbb{R}. \] 则 $K\in L(\mathbb{R})$，且 \[ \int_{\mathbb{R}}K(x) \mathrm{d}x=\sqrt{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi^2 x^2} \mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2} \mathrm{d}y=1. \] 此外， \[ K_\varepsilon(x)=\frac{1}{\varepsilon}K(\frac{x}{\varepsilon})=\frac{\sqrt{\pi}}{\varepsilon}e^{-\pi^2 x^2/\varepsilon^2}. \] 取 $\varepsilon=2\pi\sqrt{t}$（$t>0$）可得 Gauss–Weierstrass 核 $w(x,t)$， \[ w(x,t)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-\frac{x^2}{4t}}. \]
可以验证 $w(x,t)$ 满足热传导方程 \[ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=\frac{\partial w}{\partial t}. \] 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\leq p\leq\infty$，定义 $f$ 的 Gauss–Weierstrass 积分为 \[ G(x,t)=(f\ast w(\cdot,t))(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y) w(x-y,t) \mathrm{d}y. \] 从而由卷积的光滑性，可得 $f$ 的 Gauss–Weierstrass 积分满足 \[ \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}=\frac{\partial G}{\partial t}. \]