analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 恒等逼近核，下一篇是 Hardy–Littlewood 极大函数。
插值定理
定义（$(p,q)$ 型）. 算子 $T:L^p(\mathbb{R}^n)\to L^q(\mathbb{R}^n)$，$0
定义（弱 $(p,q)$ 型）. 算子 $T:L^p(\mathbb{R}^n)\to\mathcal{F}$（$\mathbb{R}^n$ 上可测函数全体），$0
注. $T$ 是 $(p,q)$ 型 $\implies$ $T$ 是弱 $(p,q)$ 型.
*证明.* 因为 \[ \lVert Tf\rVert_{q,\infty}\leq\lVert Tf\rVert_q\leq C\lVert f\rVert_p. \]
定义（线性、次线性、拟线性）. 1. 若算子 $T$ 满足 \[ T(f+g)=Tf+Tg, T(\lambda f)=\lambda Tf,\forall\lambda\in\mathbb{C}, \] 则称 $T$ 为线性算子. 2. 若算子 $T$ 满足 \[ \lvert T(f+g)\rvert\leq\lvert Tf\rvert+\lvert Tg\rvert,\lvert T(\lambda f)\rvert=\lvert \lambda\rvert\lvert Tf\rvert,\forall\lambda\in\mathbb{C}, \] 则称 $T$ 为次线性算子. 3. 若算子 $T$ 满足 \[ \lvert T(f+g)\rvert\leq C(\lvert Tf\rvert+\lvert Tg\rvert),\lvert T(\lambda f)\rvert=\lvert \lambda\rvert\lvert Tf\rvert,\forall\lambda\in\mathbb{C}, \] 则称 $T$ 为拟线性算子.
定理（Marcinkiewicz 插值定理）. 设 $T$ 是次线性算子，$0 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_{p_0,\infty}&\leq A_0\lVert f\rVert_{p_0},\forall f\in L^{p_0}(\mathbb{R}^n);\\ \lVert Tf\rVert_{p_1,\infty}&\leq A_1\lVert f\rVert_{p_1},\forall f\in L^{p_1}(\mathbb{R}^n). \end{aligned} $$ 则对任意的 $p_0 *证明.* (i) 若 $p_1<\infty$，因为 $L^p\subset L^{p_0}+L^{p_1}$，对于任意的 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$\forall\alpha>0$，记 \[ f_0^\alpha(x)=\begin{cases} f(x),& \lvert f(x)\rvert>\delta\alpha,\\ 0,& \lvert f(x)\rvert\leq\delta\alpha, \end{cases} f_1^\alpha(x)=f(x)-f_0^\alpha(x)=\begin{cases} f(x),& \lvert f(x)\rvert\leq\delta\alpha,\\ 0,& \lvert f(x)\rvert>\delta\alpha, \end{cases} \] 其中 $\delta>0$ 待定. 易验证 $f=f_0^\alpha+f_1^\alpha$，$f_0^\alpha\in L^{p_0}(\mathbb{R}^n)$，$f_1^\alpha\in L^{p_1}(\mathbb{R}^n)$： $$ \begin{aligned} \lVert f_0^\alpha\rVert_{p_0}^{p_0} &=\int_{\{\lvert f\rvert>\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_0} \mathrm{d}x =\int_{\{\lvert f\rvert>\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^p\lvert f(x)\rvert^{p_0-p} \mathrm{d}x \leq(\delta\alpha)^{p_0-p}\lVert f\rVert_p^p \end{aligned} $$ 以及 $$ \begin{aligned} \lVert f_1^\alpha\rVert_{p_1}^{p_1} &=\int_{\{\lvert f\rvert\leq\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_1} \mathrm{d}x =\int_{\{\lvert f\rvert\leq\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^p\lvert f(x)\rvert^{p_1-p} \mathrm{d}x \leq(\delta\alpha)^{p_1-p}\lVert f\rVert_p^p. \end{aligned} $$ 由 $T$ 的次线性，$\lvert Tf\rvert\leq\lvert Tf_0^\alpha\rvert+\lvert Tf_1^\alpha\rvert$，得 \[ d_{Tf}(\alpha)\leq d_{Tf_0^\alpha}(\frac{\alpha}{2})+d_{Tf_1^\alpha}(\frac{\alpha}{2}). \] 又因为 $T$ 既是弱 $(p_0,p_0)$ 型，又是弱 $(p_1,p_1)$ 型，则 $$ \begin{aligned} d_{Tf_0^\alpha}(\frac{\alpha}{2}) &\leq(\frac{2}{\alpha})^{p_0}\lVert Tf_0^\alpha\rVert_{p_0,\infty}^{p_0} \leq(\frac{2}{\alpha})^{p_0}A_0^{p_0}\lVert f_0^\alpha\rVert_{p_0}^{p_0} =(\frac{2}{\alpha})^{p_0}A_0^{p_0}\int_{\{\lvert f\rvert>\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_0} \mathrm{d}x, \\ d_{Tf_1^\alpha}(\frac{\alpha}{2}) &\leq(\frac{2}{\alpha})^{p_1}\lVert Tf_1^\alpha\rVert_{p_1,\infty}^{p_1} \leq(\frac{2}{\alpha})^{p_1}A_1^{p_1}\lVert f_1^\alpha\rVert_{p_1}^{p_1} =(\frac{2}{\alpha})^{p_1}A_1^{p_1}\int_{\{\lvert f\rvert\leq\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_1} \mathrm{d}x. \end{aligned} $$ 故 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_p^p &=p\int_0^\infty\alpha^{p-1}d_{Tf}(\alpha) \mathrm{d}\alpha \\ &\leq p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\Biggl(d_{Tf_0^\alpha}(\frac{\alpha}{2})+d_{Tf_1^\alpha}(\frac{\alpha}{2})\Biggr)\mathrm{d}\alpha \\ &\leq p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\alpha^{-p_0}(2A_0)^{p_0}\Biggl(\int_{\{\lvert f\rvert>\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_0} \mathrm{d}x\Biggr)\mathrm{d}\alpha \\ &+p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\alpha^{-p_1}(2A_1)^{p_1}\Biggl(\int_{\{\lvert f\rvert\leq\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_1} \mathrm{d}x\Biggr)\mathrm{d}\alpha. \end{aligned} $$ 应用 Fubini 定理，交换积分顺序 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_p^p &\leq p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\alpha^{-p_0}(2A_0)^{p_0}\Biggl(\int_{\{\lvert f\rvert>\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_0} \mathrm{d}x\Biggr)\mathrm{d}\alpha \\ &+p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\alpha^{-p_1}(2A_1)^{p_1}\Biggl(\int_{\{\lvert f\rvert\leq\delta\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_1} \mathrm{d}x\Biggr)\mathrm{d}\alpha \\ &=p(2A_0)^{p_0}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^{p_0}\Biggl(\int_0^{\lvert f(x)\rvert/\delta}\alpha^{p-1-p_0} \mathrm{d}\alpha\Biggr) \mathrm{d}x \\ &+p(2A_1)^{p_1}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^{p_1}\Biggl(\int_{\lvert f(x)\rvert/\delta}^{+\infty}\alpha^{p-1-p_1} \mathrm{d}\alpha\Biggr) \mathrm{d}x \\ &=\Biggl[\frac{p}{p-p_0}(2A_0)^{p_0}\delta^{p_0-p}+\frac{p}{p_1-p}(2A_1)^{p_1}\delta^{p_1-p}\Biggr]\lVert f\rVert_p^p. \end{aligned} $$ 选取 $\delta>0$ 使得 \[ (2A_0)^{p_0}\delta^{p_0-p}=(2A_1)^{p_1}\delta^{p_1-p}, \] 则 $\delta=[(2A_0)^{p_0}(2A_1)^{-p_1}]^{1/(p_1-p_0)}$. 从而 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_p^p &\leq\Biggl[\frac{p}{p-p_0}(2A_0)^{p_0}\delta^{p_0-p}+\frac{p}{p_1-p}(2A_1)^{p_1}\delta^{p_1-p}\Biggr]\lVert f\rVert_p^p \\ &\leq 2^p\Biggl(\frac{p}{p-p_0}+\frac{p}{p_1-p}\Biggr)A_0^{\theta p}A_1^{(1-\theta)p}\lVert f\rVert_p^p. \end{aligned} $$ (ii) 若 $p_1=\infty$，对于任意的 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$\forall\alpha>0$，记 \[ f_0^\alpha(x)=\begin{cases} f(x),& \lvert f(x)\rvert>\gamma\alpha,\\ 0,& \lvert f(x)\rvert\leq\gamma\alpha, \end{cases} f_1^\alpha(x)=f(x)-f_0^\alpha(x)=\begin{cases} f(x),& \lvert f(x)\rvert\leq\gamma\alpha,\\ 0,& \lvert f(x)\rvert>\gamma\alpha, \end{cases} \] 其中 $\gamma>0$ 待定. 同样，易可验证 $f=f_0^\alpha+f_1^\alpha$，$f_0^\alpha\in L^{p_0}(\mathbb{R}^n)$，$f_1^\alpha\in L^\infty(\mathbb{R}^n)$. 则 \[ d_{Tf}(\alpha)\leq d_{Tf_0^\alpha}(\frac{\alpha}{2})+d_{Tf_1^\alpha}(\frac{\alpha}{2}). \] 由算子 $T$ 的弱 $(p_0,p_0)$ 型， $$ \begin{aligned} d_{Tf_0^\alpha}(\frac{\alpha}{2}) &\leq(\frac{2}{\alpha})^{p_0}\lVert Tf_0^\alpha\rVert_{p_0,\infty}^{p_0} \leq(\frac{2}{\alpha})^{p_0}A_0^{p_0}\lVert f_0^\alpha\rVert_{p_0}^{p_0} =(\frac{2}{\alpha})^{p_0}A_0^{p_0}\int_{\{\lvert f\rvert>\gamma\alpha\}}\lvert f(x)\rvert^{p_0} \mathrm{d}x. \end{aligned} $$ 令 $\gamma=(2A_1)^{-1}$，因为算子 $T$ 是 $(\infty,\infty)$ 型，则 \[ \lVert Tf_1^\alpha\rVert_\infty\leq A_1\lVert f_1^\alpha\rVert_\infty\leq A_1\gamma\alpha=\frac{\alpha}{2}. \] 故 \[ d_{Tf_1^\alpha}(\frac{\alpha}{2})=0. \] 因此 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_p^p &=p\int_0^\infty\alpha^{p-1}d_{Tf}(\alpha) \mathrm{d}\alpha \\ &\leq p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\Biggl(d_{Tf_0^\alpha}(\frac{\alpha}{2})+d_{Tf_1^\alpha}(\frac{\alpha}{2})\Biggr)\mathrm{d}\alpha \\ &\leq p\int_0^\infty\alpha^{p-1}\alpha^{-p_0}(2A_0)^{p_0}\Biggl(\int_{\{\lvert f\rvert>\alpha/(2A_1)\}}\lvert f(x)\rvert^{p_0} \mathrm{d}x\Biggr)\mathrm{d}\alpha \\ &\stackrel{\text{换序}}{=}p(2A_0)^{p_0}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert^{p_0}\Biggl(\int_0^{2A_1\lvert f(x)\rvert}\alpha^{p-1-p_0} \mathrm{d}\alpha\Biggr) \mathrm{d}x \\ &=\frac{p}{p-p_0} 2^p A_0^{p_0}A_1^{p-p_0}\lVert f\rVert_p^p. \end{aligned} $$ 定理（Riesz–Thorin 插值定理）. 设 $T$ 是线性算子，$1\leq p_0,p_1,q_0,q_1\leq\infty$. 若 $T$ 既是 $(p_0,q_0)$ 型，又是 $(p_1,q_1)$ 型，即 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_{q_0}&\leq M_0\lVert f\rVert_{p_0},\forall f\in L^{p_0}(\mathbb{R}^n);\\ \lVert Tf\rVert_{q_1}&\leq M_1\lVert f\rVert_{p_1},\forall f\in L^{p_1}(\mathbb{R}^n). \end{aligned} $$ 那么对任意的 $\theta\in(0,1)$， \[ \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}, \frac{1}{q}=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}, \] $T$ 也是 $(p,q)$ 型的，且 \[ \lVert Tf\rVert_q\leq M_0^{1-\theta}M_1^\theta\lVert f\rVert_p. \] 定理（三线定理）. 设复值函数 $F$ 在复平面的闭子集 \[ S=\{z=x+iy\in\mathbb{C}:0\leq x\leq 1,\ y\in\mathbb{R}\} \] 上连续且有界，而且在 $S$ 的内部解析. 若 $F$ 在 $S$ 的边界上满足 \[ \lvert F(iy)\rvert\leq K_0,\lvert F(1+iy)\rvert\leq K_1,\forall y\in\mathbb{R}, \] 其中 $0 *证明.* 记 \[ G(z)=\frac{F(z)}{K_0^{1-z}K_1^z}. \] 则只需证若 $G$ 在 $S$ 上连续有界，且在 $S$ 的内部解析，又满足 \[ \lvert G(iy)\rvert\leq 1,\lvert G(1+iy)\rvert\leq 1,\forall y\in\mathbb{R}, \] 则 $F$ 在 $S$ 的内部满足 \[ \lvert G(x+iy)\rvert\leq 1,\forall x\in(0,1),\ \forall y\in\mathbb{R}. \] (i) 若 $G(z)$ 满足 \[ \lim_{\lvert y\rvert\to\infty}\max_{0\leq x\leq 1}\lvert G(x+iy)\rvert=0, \] 则存在 $y_0>0$，使得 \[ \lvert G(x+iy)\rvert\leq 1,\forall x\in[0,1],\ \forall\lvert y\rvert\geq y_0. \] 记 $Q$ 为以 $iy_0$，$1+iy_0$，$1-iy_0$，$-iy_0$ 为顶点的矩形. 则 \[ \lvert G(z)\rvert\leq 1, z\in\partial Q; \lvert G(z)\rvert\leq 1, z\in S\setminus Q. \] 由解析函数最大模原理，$\lvert G(z)\rvert\leq 1$，$z\in Q$. 故 $\lvert G(z)\rvert\leq 1$，$z\in S$. (ii) 对于一般的函数 $G(z)$，令 \[ G_m(z)=G(z) e^{(z^2-1)/m}, m\in\mathbb{N}. \] 设 $\lvert G(z)\rvert\leq M$，$\forall x\in S$. 则 \[ \max_{0\leq x\leq 1}\lvert G_m(z)\rvert\leq M e^{-y^2/m}\to 0,\lvert y\rvert\to\infty. \] 对 $G_m$ 运用结论 (i)，有 \[ \lvert G_m(z)\rvert\leq 1, z\in S. \] 再令 $m\to\infty$，有 \[ \lvert G(z)\rvert\leq 1, z\in S. \] *证明.* 令 \[ \alpha_j=\frac{1}{p_j},\beta_j=\frac{1}{q_j},\ j=0,1, \alpha=\frac{1}{p},\beta=\frac{1}{q}, \] \[ \alpha(z)=(1-z)\alpha_0+z\alpha_1, \beta(z)=(1-z)\beta_0+z\beta_1. \] 则 $\alpha(j)=\alpha_j$，$\beta(j)=\beta_j$，$j=0,1$，$\alpha(\theta)=\alpha$，$\beta(\theta)=\beta$. 设 $f,g$ 是简单函数，定义 \[ f_z(u)=e^{i\operatorname{arg}f}\lvert f(u)\rvert^{\alpha(z)/\alpha}, g_z(u)=e^{i\operatorname{arg}g}\lvert g(u)\rvert^{(1-\beta(z))/(1-\beta)}. \] \[ F(z)=\int_{\mathbb{R}^n}Tf_z(u) g_z(u) \mathrm{d}u. \] 则 $f_\theta(u)=f(u)$，$g_\theta(u)=g(u)$. 易见 $F(z)$ 是闭区域 $S$ 上的有界解析函数. 由 \[ \alpha(iy)=\alpha_0+iy(\alpha_1-\alpha_0), 1-\beta(iy)=(1-\beta_0)-iy(\beta_1-\beta_0), \] 可得 $$ \begin{aligned} \lvert f_{iy}(u)\rvert^{p_0} &=\lvert e^{i\operatorname{arg}f}\lvert f(u)\rvert^{\alpha(iy)/\alpha}\rvert^{p_0} =\lvert \lvert f(u)\rvert^{iy(\alpha_1-\alpha_0)/\alpha}\lvert f(u)\rvert^{\alpha_0/\alpha}\rvert^{p_0} =\lvert f(u)\rvert^p, \\ \lvert g_{iy}(u)\rvert^{q_0'} &=\lvert e^{i\operatorname{arg}g}\lvert g(u)\rvert^{(1-\beta(iy))/(1-\beta)}\rvert^{q_0'} =\lvert \lvert g(u)\rvert^{-iy(\beta_1-\beta_0)/(1-\beta)}\lvert g(u)\rvert^{(1-\beta_0)/(1-\beta)}\rvert^{q_0'} =\lvert g(u)\rvert^{q'}. \end{aligned} $$ 从而对于任意 $\lVert f\rVert_p=1$，$\lVert g\rVert_{q'}=1$，有 $$ \begin{aligned} \lvert F(iy)\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}Tf_{iy}(u) g_{iy}(u) \mathrm{d}u\rvert \leq\lVert Tf_{iy}\rVert_{q_0}\lVert g_{iy}\rVert_{q_0'} \\ &\leq M_0\lVert f_{iy}\rVert_{p_0}\lVert g_{iy}\rVert_{q_0'} =M_0\lVert f\rVert_p^{p/p_0}\lVert g\rVert_{q'}^{q'/q_0'} \leq M_0. \end{aligned} $$ 同理可得 $\lvert F(1+iy)\rvert\leq M_1$. 运用三线定理， \[ \lvert F(\theta)\rvert\leq M_0^{1-\theta}M_1^\theta. \] 由定义 $F(z)=\int_{\mathbb{R}^n}Tf_z(u) g_z(u) \mathrm{d}u$，可见 \[ \lvert F(\theta)\rvert=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}Tf(u) g(u) \mathrm{d}u\rvert\leq M_0^{1-\theta}M_1^\theta, \forall\lVert f\rVert_p=1,\ \lVert g\rVert_{q'}=1. \] 由简单函数过渡到一般的函数. 对于任意函数 $f\in L^p$，记 \[ f^0=f\chi_{\{x:\lvert f(x)\rvert>1\}}, f^1=f\chi_{\{x:\lvert f(x)\rvert\leq 1\}}. \] 则 \[ f=f^0+f^1, f^0\in L^{p_0}\cap L^p, f^1\in L^{p_1}\cap L^p. \] 存在简单函数列 $\{g_m\}$，$\{h_m\}$ \[ \lVert g_m-f^0\rVert_p\to 0,\lVert h_m-f^1\rVert_p\to 0, m\to\infty. \] 令 $\tilde g_m=g_m\chi_{\{x:\lvert f(x)\rvert>1\}}$，$\tilde h_m=h_m\chi_{\{x:\lvert f(x)\rvert\leq 1\}}$，则 $$ \begin{aligned} \lVert \tilde g_m-f^0\rVert_{p_0} &\leq\lvert \{\lvert f\rvert>1\}\rvert^{1/p_0-1/p}\lVert g_m-f^0\rVert_p, \\ \lVert \tilde h_m-f^1\rVert_{p_1} &\lesssim\lVert h_m-f^1\rVert_p^{p/p_1}. \end{aligned} $$ 因为 $T$ 既是 $(p_0,q_0)$ 型，又是 $(p_1,q_1)$ 型，则 $$ \begin{aligned} \lVert T(\tilde g_m-f^0)\rVert_{q_0} &\leq M_0\lVert \tilde g_m-f^0\rVert_{p_0}\lesssim\lVert g_m-f^0\rVert_p\to 0; \\ \lVert T(\tilde h_m-f^1)\rVert_{q_1} &\leq M_1\lVert \tilde h_m-f^1\rVert_{p_1}\lesssim\lVert h_m-f^1\rVert_p^{p/p_1}\to 0. \end{aligned} $$ 于是，$\{\tilde g_m\}$，$\{\tilde h_m\}$ 存在子列，方便起见仍记为 $\{\tilde g_m\}$，$\{\tilde h_m\}$，使得 \[ T\tilde g_m(x)\to Tf^0(x),\ \text{a.e.} T\tilde h_m(x)\to Tf^1(x),\ \text{a.e.} \] 记 $f_m=\tilde g_m+\tilde h_m$ 为简单函数列，由 $T$ 的线性性质，当 $m\to\infty$ $$ \begin{aligned} Tf_m(x) &=T\tilde g_m(x)+T\tilde h_m(x) \longrightarrow Tf^0(x)+Tf^1(x)=Tf(x),\ \text{a.e.} \end{aligned} $$ 同时， $$ \begin{aligned} \lVert f_m-f\rVert_p &\leq\lVert \tilde g_m-f^0\rVert_p+\lVert \tilde h_m-f^1\rVert_p \leq\lVert g_m-f^0\rVert_p+\lVert h_m-f^1\rVert_p\to 0, m\to\infty. \end{aligned} $$ 从而 \[ \lVert f_m\rVert_p\to\lVert f\rVert_p, m\to\infty. \] 因此，运用 Fatou 引理 \[ \lVert Tf\rVert_q\leq\liminf_{m\to\infty}\lVert Tf_m\rVert_q\leq\liminf_{m\to\infty}M\lVert f_m\rVert_p=M\lVert f\rVert_p. \] 定理（Young 不等式）. 设 $1\leq p,q,r\leq\infty$，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}+1$. 若 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^q(\mathbb{R}^n)$，则 $f\ast g\in L^r(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert f\ast g\rVert_r\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q. \] *证明.* 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，定义算子 $T:g\mapsto f\ast g$，下证 $T$ 是 $(1,p)$ 型的，也是 $(p',\infty)$ 型的. 一方面， $$ \begin{aligned} \lVert Tg\rVert_p &=\lVert f\ast g\rVert_p \leq\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-y)\rvert\lvert g(y)\rvert \mathrm{d}y\Biggr)^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \\ &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(y)\rvert\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-y)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} \mathrm{d}y =\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_1. \end{aligned} $$ 另一方面，由 Holder 不等式，$\forall x\in\mathbb{R}^n$ \[ \lvert f\ast g(x)\rvert\leq\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-y)g(y)\rvert \mathrm{d}y\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{p'}. \] 故 \[ \lVert Tg\rVert_\infty=\lVert f\ast g\rVert_\infty\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{p'}. \] 运用 Riesz–Thorin 插值定理，$T$ 是 $(q,r)$ 型算子，其中 \[ \frac{1}{q}=\frac{\theta}{1}+\frac{1-\theta}{p'}, \frac{1}{r}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{\infty}, \theta=\frac{p}{r}\in(0,1). \] \[ \lVert f\ast g\rVert_r=\lVert Tg\rVert_r\leq\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q. \] 若 $p=r$，则 $q=1$，上述已证. 定理（Marcinkiewicz 限制型插值定理）. 设 $0 定理（弱型 Young 不等式的推广）. 设 $1 *证明.* 设 $g\in L^{q,\infty}(\mathbb{R}^n)$，定义算子 $T:f\mapsto f\ast g$. 对于任意的 $1 $$ \begin{aligned} \lVert Tf\rVert_{r_0,\infty}&=\lVert f\ast g\rVert_{r_0,\infty}\leq C_1\lVert f\rVert_{p_0}\lVert g\rVert_{q,\infty}, \\ \lVert Tf\rVert_{r_1,\infty}&=\lVert f\ast g\rVert_{r_1,\infty}\leq C_2\lVert f\rVert_{p_1}\lVert g\rVert_{q,\infty}. \end{aligned} $$ 也就是说 $T$ 是弱 $(p_0,r_0)$ 型，也是弱 $(p_1,r_1)$ 型. 因为 $r\geq p$，运用 Marcinkiewicz 限制型插值定理， \[ \lVert Tf\rVert_r=\lVert f\ast g\rVert_r\leq C\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_{q,\infty}. \] 上一篇：恒等逼近核。下一篇：Hardy–Littlewood 极大函数。回到 目录。