Hardy–Littlewood 极大函数

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 插值定理，下一篇是 Lebesgue 微分定理。

Hardy–Littlewood 极大函数

定义（中心 Hardy–Littlewood 极大函数）. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，$f$ 的中心 Hardy–Littlewood 极大函数 $Mf$ 为

$$ Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y, \forall x\in\mathbb{R}^n. $$

注. 1. $Mf=M\lvert f\rvert\ge 0$. 2. $M$ 是次线性算子，即 $$ M(f+g)(x)\le Mf(x)+Mg(x), M(\alpha f)(x)=\lvert \alpha\rvertMf(x). $$ 3. $M$ 是 $(\infty,\infty)$ 型算子，即 $\lVert Mf\rVert_{\infty}\le\lVert f\rVert_{\infty}$. 4. $Mf(x)\ge\lvert f(x)\rvert$，a.e. 5. 记 $\varphi(t)=\dfrac{1}{v_n}\chi_{B(0,1)}(t)$，则 $$ Mf(x)=\sup_{r>0}(\varphi_r\ast\lvert f\rvert)(x), \varphi_r(t)=\frac{1}{r^n}\varphi(\frac{t}{r}). $$ 6. 若存在 $x_0\in\mathbb{R}^n$，使得 $Mf(x_0)=0$，则 $f=0$，a.e. 7. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，$Mf\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 $f=0$，a.e.

*证明.* 由定义知 $\forall x\in\mathbb{R}^n$，

$$ Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t\le\lVert f\rVert_{\infty}. $$

故 $\lVert Mf\rVert_{\infty}\le\lVert f\rVert_{\infty}$.

*证明.* 因为 $Mf(x_0)=0$，由定义

$$ \sup_{r>0}\frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\int_{B(x_0,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y=0. $$

若 $f\not=0$，a.e.，那么存在 $r$，使得

$$ \frac{1}{\lvert B(x_0,r)\rvert}\int_{B(x_0,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y>0, $$

矛盾.

*证明.* 记 $f_R(x)=f(x)\chi_{\lvert x\rvert\le R}$，$R>0$. 因为 $\forall x\in\mathbb{R}^n$，$B(0,R)\subset B(x,\lvert x\rvert+R)$，所以

$$ \begin{aligned} Mf(x) &\ge Mf_R(x) \ge\frac{1}{\lvert B(x,\lvert x\rvert+R)\rvert}\int_{B(x,\lvert x\rvert+R)}\lvert f_R(y)\rvert \mathrm{d}y \\ &\ge\frac{1}{v_n(\lvert x\rvert+R)^n}\int_{B(0,R)}\lvert f_R(y)\rvert \mathrm{d}y =\frac{\lVert f_R\rVert_1}{v_n(\lvert x\rvert+R)^n}. \end{aligned} $$

又因为 $Mf\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 $\dfrac{\lVert f_R\rVert_1}{v_n(\lvert x\rvert+R)^n}\in L^1(\mathbb{R}^n)$. 可见 $\lVert f_R\rVert_1=0$. 故 $f_R=0$，a.e. 由 $R$ 的任意性，$f=0$，a.e.

问题. 设 $f=\chi_{[0,1]}$，$[0,1]\subset\mathbb{R}$. 求 $f$ 的中心 Hardy–Littlewood 极大函数 $Mf$.

定义（非中心 Hardy–Littlewood 极大函数）. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，$f$ 的非中心 Hardy–Littlewood 极大函数 $\widetilde{M}f$ 为

$$ \widetilde{M}f(x)=\sup_{\substack{\delta>0\\ \lvert y-x\rvert<\delta}}\frac{1}{\lvert B(y,\delta)\rvert}\int_{B(y,\delta)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t, \forall x\in\mathbb{R}^n. $$

注. $Mf(x)\le\widetilde{M}f(x)$，$\widetilde{M}f(x)\le 2^n Mf(x)$.

问题. 设 $f=\chi_{[0,1]}$，$[0,1]\subset\mathbb{R}$. 求 $f$ 的非中心 Hardy–Littlewood 极大函数 $\widetilde{M}f$.

### 极大函数的下半连续性

定理. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，则 $Mf$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上是下半连续的.

*证明.* 只需要证 $\forall \lambda>0$，$E=\{x\in\mathbb{R}^n:Mf(x)\le\lambda\}$ 是闭集. 设 $\{x_k\}_{k=1}^{\infty}\subset E$，且 $x_k\to x$，$k\to\infty$，下证 $Mf(x)\le\lambda$.

$\forall r>0$，令

$$ f_k(t)=f(t)\chi_{B(x,r)\triangle B(x_k,r)}(t), k=1,2,\dots $$

则 $\lvert f_k(t)\rvert\le\lvert f(t)\rvert$，且 $f_k(t)\to 0$，a.e.，当 $k\to\infty$. 运用控制收敛定理，

$$ \lim_{k\to\infty}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f_k(t)\rvert \mathrm{d}t=0. $$

从而 $\forall r>0$，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t &\le\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)\setminus B(x_k,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t +\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x_k,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f_k(t)\rvert \mathrm{d}t +\frac{1}{\lvert B(x_k,r)\rvert}\int_{B(x_k,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t \\ &\le\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f_k(t)\rvert \mathrm{d}t+\lambda. \end{aligned} $$

令 $k\to\infty$，则有 $\forall r>0$，

$$ \frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t\le\lambda. $$

故 $Mf(x)\le\lambda$.

### Vitali 覆盖引理

引理（Vitali 覆盖引理）. 1. 设 $\{B_1,B_2,\dots,B_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有限球族，则存在互不相交的球列 $\{B_{j_1},B_{j_2},\dots,B_{j_l}\}\subset\{B_1,B_2,\dots,B_k\}$，使得 $$ \lvert \bigcup_{i=1}^{k}B_i\rvert\le 3^n\sum_{r=1}^{l}\lvert B_{j_r}\rvert. $$ 2. 设 $E\subset\mathbb{R}^n$ 可测，球族 $\mathcal{B}_{\Lambda}=\{B_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 覆盖 $E$，且满足 $\sup\{d(B_{\lambda}):\lambda\in\Lambda\}<\infty$，则存在互不相交的球列 $\{B_k\}_{k=1}^{\infty}\subset\mathcal{B}_{\Lambda}$，使得 $$ \lvert E\rvert\le 5^n\sum_{k=1}^{\infty}\lvert B_k\rvert. $$

*证明.* (1) 记 $B^1$ 是 $\{B_1,\dots,B_k\}$ 中直径最大的球，选取 $B^2$ 是和 $B^1$ 不相交且直径最大的球（因为球的个数有限，总可以实现）. 如此继续，选取 $B^3$ 是和 $B^1,B^2$ 都不相交且直径最大的球，有限次过程后结束，把选取的球记为 $\{B_{j_1},\dots,B_{j_l}\}$.

若

$$ B\in\{B_1,\dots,B_k\}, B\notin\{B_{j_1},\dots,B_{j_l}\}. $$

这表明 $B$ 与 $\{B_{j_1},\dots,B_{j_l}\}$ 中某个球相交，设 $B_{j_i}$ 是 $\{B_{j_1},\dots,B_{j_l}\}$ 中第一个与 $B$ 相交的球，则 $B\cap B_{j_i}\ne\emptyset$，$d(B_{j_i})>d(B)$.

因此，$B\subset 3B_{j_i}$（三倍同心扩张）. 由 $B$ 的任意性，

$$ \lvert \bigcup_{i=1}^{k}B_i\rvert\le 3^n\sum_{r=1}^{l}\lvert B_{j_r}\rvert. $$

(2) 设 $l_0=\sup\{d(B):B\in\mathcal{B}_{\Lambda}\}$. 任取 $B_1\in\mathcal{B}_{\Lambda}$，使得 $d(B_1)>\frac12 l_0$. 选取 $B_2\in\mathcal{B}_{\Lambda}$，使得 $B_2\cap B_1=\emptyset$ 且

$$ d(B_2)>\frac12\sup\{d(B):B\in\mathcal{B}_{\Lambda}, B\cap B_1=\emptyset\}. $$

一般地，假设 $\{B_1,\dots,B_k\}$ 已取好，我们作如下选取 $B_{k+1}$，使其满足

1. $B_{k+1}\cap(\bigcup_{j=1}^{k}B_j)=\emptyset$; 2. $d(B_{k+1})>\dfrac12\sup\{d(B):B\in\mathcal{B}_{\Lambda}, B\cap(\bigcup_{j=1}^{k}B_j)=\emptyset\}$.

用如此方法得到 $B_1,B_2,\dots,B_k,\dots$

(a) 若选取的球为有限个 $\{B_1,\dots,B_k\}$，则

$$ \forall B\in\mathcal{B}_{\Lambda}, B\cap(\bigcup_{j=1}^{k}B_j)\ne\emptyset. $$

所以 $\forall x\in E$，$\exists B_x\in\mathcal{B}_{\Lambda}$，使得 $B_x\cap(\bigcup_{j=1}^{k}B_j)\ne\emptyset$.

设 $B_i$ 是 $\{B_1,\dots,B_k\}$ 中第一个与 $B_x$ 相交的球，由我们的选法，$d(B_i)>\frac12 d(B_x)$. 故 $B_x\subset 5B_i$（五倍同心扩张）. 由 $B_x$ 的任意性，

$$ E\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\subset\bigcup_{j=1}^{k}5B_j, $$

从而 $\lvert E\rvert\le 5^n\sum_{j=1}^{k}\lvert B_j\rvert$.

(b) 若选取的球为无穷个 $\{B_1,\dots,B_k,\dots\}$，如果 $\sum_{j=1}^{\infty}\lvert B_j\rvert=\infty$，结论自然成立. 因此，设 $\sum_{j=1}^{\infty}\lvert B_j\rvert<\infty$，则

$$ d(B_k)\to 0, k\to\infty. $$

故 $\forall B\in\mathcal{B}_{\Lambda}$，$\exists k$，使得 $d(B_{k+1})\le\frac12 d(B)$. 设 $k$ 是满足此条件的最小下标，则 $B$ 必定与 $\{B_1,\dots,B_k\}$ 中某个球相交，否则 $d(B_{k+1})>\frac12 d(B)$，矛盾！

记 $B_j$ 是 $\{B_1,\dots,B_k\}$ 中第一个与 $B$ 相交的球，由我们的选法，$d(B_j)>\frac12 d(B)$. 故 $B\subset 5B_j$（五倍同心扩张）. 由 $B$ 的任意性，

$$ E\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}5B_j\implies\lvert E\rvert\le 5^n\sum_{j=1}^{\infty}\lvert B_j\rvert. $$

### 弱 $(1,1)$ 与强 $(p,p)$ 有界性

定理. 极大算子 $M$ 是弱 $(1,1)$ 型：

$$ \sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:Mf(x)>\alpha\}\rvert\le 5^n\lVert f\rVert_1. $$

*证明.* $\forall \alpha>0$，记 $E_{\alpha}=\{x\in\mathbb{R}^n:Mf(x)>\alpha\}$. 由 $Mf$ 的下半连续性，得 $E_{\alpha}$ 为开集，故可测. 由 $Mf$ 的定义得 $\forall x\in E_{\alpha}$，$\exists B_x$，

$$ \frac{1}{\lvert B_x\rvert}\int_{B_x}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t>\alpha. $$

从而 $\forall x\in E_{\alpha}$，

$$ \lvert B_x\rvert<\frac{1}{\alpha}\int_{B_x}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t\le\frac{1}{\alpha}\lVert f\rVert_1. $$

记 $\mathcal{B}=\{B_x:x\in E_{\alpha}\}$，球族 $\mathcal{B}$ 覆盖 $E_{\alpha}$，且

$$ \sup\{d(B_x):x\in E_{\alpha}\}<\infty. $$

运用 Vitali 覆盖引理，存在互不相交的球列 $\{B_j\}_{j=1}^{\infty}\subset\mathcal{B}$，使得

$$ \begin{aligned} \lvert E_{\alpha}\rvert &\le 5^n\sum_{j=1}^{\infty}\lvert B_j\rvert \le 5^n\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha}\int_{B_j}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t \\ &=5^n\frac{1}{\alpha}\int_{\bigcup_{j}B_j}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t \le 5^n\frac{1}{\alpha}\lVert f\rVert_1. \end{aligned} $$

从而 $\forall \alpha>0$，

$$ \alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:Mf(x)>\alpha\}\rvert\le 5^n\lVert f\rVert_1. $$

故 $M$ 是弱 $(1,1)$ 型.

定理. 极大算子 $M$ 是 $(p,p)$ 型，$1

*证明.* 由定义知

$$ Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t\le\lVert f\rVert_{\infty}. $$

故

$$ \lVert Mf\rVert_{\infty}\le\lVert f\rVert_{\infty}. $$

另一方面，

$$ \lVert Mf\rVert_{1,\infty}\le 5^n\lVert f\rVert_1. $$

由 Marcinkiewicz 插值定理，算子 $M$ 是 $(p,p)$ 型，$1

### 二进极大函数

记

$$ \mathcal{M}_0=\{Q\subset\mathbb{R}^n:Q\text{ 是边长为 }1\text{，顶点属于 }\mathbb{Z}^n\text{ 的左闭右开方体}\}, $$

记 $\mathcal{M}_j=2^{-j}\mathcal{M}_0$，$j\in\mathbb{Z}$. 称 $\bigcup_{j\in\mathbb{Z}}\mathcal{M}_j$ 中的方体为二进方体.

二进方体有如下性质：

1. $\forall x\in\mathbb{R}^n$，$\forall j$，存在唯一的方体 $Q\in\mathcal{M}_j$，使得 $x\in Q$. 2. 任意两个二进方体要么不相交，要么是包含关系. 3. $\forall Q_j\in\mathcal{M}_j$，它包含 $2^n$ 个 $\mathcal{M}_{j+1}$ 中的方体. 4. $\forall Q_j\in\mathcal{M}_j$，$\forall k

定义（二进极大函数）. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，称

$$ M_d f(x)=\sup_{\substack{x\in Q\\ Q\text{ 二进方体}}}\frac{1}{\lvert Q\rvert}\int_Q\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t, \forall x\in\mathbb{R}^n, $$

为 $f$ 的二进极大函数.

注. $M_d f(x)\lesssim\widetilde{M}f(x)$，但是 $\widetilde{M}f(x)\not\lesssim M_d f(x)$.

例. 设 $f=\chi_{[0,1]}$. 对于 $x<0$，$\widetilde{M}f(x)=\dfrac{1}{1-x}$. 因为包含 $x$ 的任意二进区间 $Q$，有 $Q\subset(-\infty,0)$，从而 $M_d f(x)=0$.

定理. 二进极大算子 $M_d$ 是弱 $(1,1)$ 型：

$$ \sup_{\alpha>0}\alpha\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:M_d f(x)>\alpha\}\rvert\le\lVert f\rVert_1. $$

*证明.* 记

$$ E_k f(x)=\sum_{Q\in\mathcal{M}_k}(\frac{1}{\lvert Q\rvert}\int_Q\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t)\chi_Q(x), $$

则 $\forall \alpha>0$，

$$ \{x\in\mathbb{R}^n:M_d f(x)>\alpha\}=\bigcup_k\Omega_k, $$

其中

$$ \Omega_k=\{x\in\mathbb{R}^n:E_k f(x)>\alpha\text{ 且 }E_j f(x)\le\alpha, \forall j

其过程即找包含 $x\in\{x\in\mathbb{R}^n:M_d f(x)>\alpha\}$ 满足

$$ \alpha<\frac{1}{\lvert Q\rvert}\int_Q\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t $$

最大的二进方体 $Q$.

最大的二进方体总是存在的，因为

$$ \alpha<\frac{1}{\lvert Q\rvert}\int_Q\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t\le\frac{1}{\lvert Q\rvert}\lVert f\rVert_1\implies\lvert Q\rvert<\frac{1}{\alpha}\lVert f\rVert_1. $$

注意到 $\{\Omega_k\}_k$ 是两两不交的，而且每个 $\Omega_k$ 都可以表示成 $\mathcal{M}_k$ 中的方体并. 因此

$$ \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:M_d f(x)>\alpha\}\rvert=\sum_k\lvert \Omega_k\rvert\le\sum_k\frac{1}{\alpha}\int_{\Omega_k}\lvert E_k f(x)\rvert \mathrm{d}x, $$

以及

$$ \frac{1}{\alpha}\sum_k\int_{\Omega_k}\lvert E_k f(x)\rvert \mathrm{d}x=\frac{1}{\alpha}\sum_k\int_{\Omega_k}\lvert f(x)\rvert \mathrm{d}x\le\frac{1}{\alpha}\lVert f\rVert_1. $$

### $L\log L$

定理. 设 $B\subset\mathbb{R}^n$ 为有限测度集，$f\in L\log^+ L(\mathbb{R}^n)$，则 $Mf\in L(B)$，且

$$ \int_B Mf(x) \mathrm{d}x\le 2\lvert B\rvert+C\int_{\mathbb{R}^n}(\lvert f\rvert\log^+\lvert f\rvert)(x) \mathrm{d}x, $$

其中 $\log^+ t=\max\{\log t,0\}$.

*证明.* 运用分布函数计算

$$ \begin{aligned} \int_B Mf(x) \mathrm{d}x &=2\int_0^{\infty}\lvert \{x\in B:Mf(x)>2\alpha\}\rvert \mathrm{d}\alpha \\ &\le 2(\lvert B\rvert+\int_1^{\infty}\lvert \{x\in B:Mf(x)>2\alpha\}\rvert \mathrm{d}\alpha). \end{aligned} $$

将 $f$ 分成两部分，$f_1=f\chi_{\lvert f\rvert>\alpha}$，$f_2=f\chi_{\lvert f\rvert\le\alpha}$，则 $f=f_1+f_2$，

$$ \begin{aligned} \lvert \{x\in B:Mf(x)>2\alpha\}\rvert &\le\lvert \{x\in B:Mf_1(x)>\alpha\}\rvert+\lvert \{x\in B:Mf_2(x)>\alpha\}\rvert. \end{aligned} $$

又因为

$$ \lVert Mf_2\rVert_{\infty}\le\lVert f_2\rVert_{\infty}\le\alpha, $$

所以

$$ \lvert \{x\in B:Mf_2(x)>\alpha\}\rvert=0. $$

因此

$$ \lvert \{x\in B:Mf(x)>2\alpha\}\rvert\le\lvert \{x\in B:Mf_1(x)>\alpha\}\rvert. $$

由 $M$ 的弱 $(1,1)$ 型，

$$ \begin{aligned} \int_1^{\infty}\lvert \{x\in B:Mf(x)>2\alpha\}\rvert \mathrm{d}\alpha &\le\int_1^{\infty}\lvert \{x\in B:Mf_1(x)>\alpha\}\rvert \mathrm{d}\alpha \\ &\le\int_1^{\infty}C\alpha^{-1}\lVert f_1\rVert_1 \mathrm{d}\alpha \\ &=C\int_1^{\infty}\alpha^{-1}(\int_{\{\lvert f\rvert>\alpha\}}\lvert f(x)\rvert \mathrm{d}x) \mathrm{d}\alpha \\ &\le C\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert(\int_1^{\max\{\lvert f(x)\rvert,1\}}\alpha^{-1} \mathrm{d}\alpha) \mathrm{d}x \\ &=C\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert\log^+\lvert f(x)\rvert \mathrm{d}x. \end{aligned} $$

### 极大函数控制定理

定理. 设 $\varphi\in L(\mathbb{R}^n)$，记 $\varphi_{\varepsilon}(x)=\dfrac{1}{\varepsilon^n}\varphi(\dfrac{x}{\varepsilon})$. 令

$$ \psi(x)=\sup_{\lvert t\rvert\ge\lvert x\rvert}\lvert \varphi(t)\rvert\in L(\mathbb{R}^n), $$

称 $\psi$ 为 $\varphi$ 的径向递减控制函数. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，那么有

$$ \sup_{\varepsilon>0}\lvert (f\ast\varphi_{\varepsilon})(x)\rvert\le C_n\lVert \psi\rVert_1 Mf(x),\forall x\in\mathbb{R}^n. $$

*证明.* 因为 $\psi$ 为径向递减函数，由球坐标变换

$$ \begin{aligned} \lVert \psi\rVert_1 &=\int_0^{\infty}\int_{S^{n-1}}\psi(r\xi) \mathrm{d}\sigma(\xi) r^{n-1} \mathrm{d}r \\ &=\sigma(S^{n-1})\int_0^{\infty}\psi(r)r^{n-1} \mathrm{d}r =w_{n-1}\int_0^{\infty}\psi(\frac{r}{\varepsilon})(\frac{r}{\varepsilon})^{n-1}\mathrm{d}(\frac{r}{\varepsilon}) =w_{n-1}\frac{1}{\varepsilon^n}\int_0^{\infty}\psi(\frac{r}{\varepsilon})r^{n-1} \mathrm{d}r \\ &=w_{n-1}\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{2^{k-1}}^{2^k}\psi(\frac{r}{\varepsilon})r^{n-1} \mathrm{d}r \\ &\ge w_{n-1}\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})\int_{2^{k-1}}^{2^k}r^{n-1} \mathrm{d}r \\ &=w_{n-1}\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})\frac{2^{kn}-2^{(k-1)n}}{n} \\ &=v_n\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})[2^{kn}-2^{(k-1)n}]. \end{aligned} $$

另一方面，$\forall \varepsilon>0$，

$$ \begin{aligned} \lvert (f\ast\varphi_{\varepsilon})(x)\rvert &\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-t)\rvert\psi(\frac{t}{\varepsilon})\frac{1}{\varepsilon^n} \mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{2^k<\lvert t\rvert\le 2^{k+1}}\lvert f(x-t)\rvert\psi(\frac{t}{\varepsilon}) \mathrm{d}t \\ &\le\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_k\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})\int_{2^k<\lvert t\rvert\le 2^{k+1}}\lvert f(x-t)\rvert \mathrm{d}t \\ &\le\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_k\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})v_n(2^{k+1})^n\frac{1}{v_n(2^{k+1})^n}\int_{\lvert t\rvert\le 2^{k+1}}\lvert f(x-t)\rvert \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

因此

$$ \begin{aligned} \lvert (f\ast\varphi_{\varepsilon})(x)\rvert &\le\frac{1}{\varepsilon^n}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})v_n(2^{k+1})^n\frac{1}{v_n(2^{k+1})^n}\int_{\lvert t\rvert\le 2^{k+1}}\lvert f(x-t)\rvert \mathrm{d}t \\ &\le v_n\frac{1}{\varepsilon^n}Mf(x)\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})2^{kn+n} \\ &\le C_n v_n\frac{1}{\varepsilon^n}Mf(x)\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi(\frac{2^k}{\varepsilon})[2^{kn}-2^{(k-1)n}]. \end{aligned} $$

因此

$$ \sup_{\varepsilon>0}\lvert (f\ast\varphi_{\varepsilon})(x)\rvert\le C_n\lVert \psi\rVert_1 Mf(x). $$

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