Lebesgue 微分定理

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 Hardy–Littlewood 极大函数，下一篇是 恒等逼近的点态收敛。

Lebesgue 微分定理

### 算子族点态收敛定理

定理（算子族点态收敛）. 设 $\{T_{\varepsilon}\}$（$\varepsilon>0$）是将 $L^p(\mathbb{R}^n)$（$1\le p\le\infty$）映入 $\mathbb{R}^n$ 上可测函数空间 $\mathcal{F}$ 的线性算子族，即 $T_{\varepsilon}:L^p(\mathbb{R}^n)\to\mathcal{F}$. 定义 $\{T_{\varepsilon}\}$ 的极大算子 $T^*$：

$$ T^*f(x)=\sup_{\varepsilon>0}\lvert T_{\varepsilon}f(x)\rvert,\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n). $$

如果 $T^*$ 是弱 $(p,q)$ 型算子，$1\le p,q\le\infty$，且对 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中某一稠密子集 $D$ 中任意函数 $g$，都有

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}g(x)=Tg(x),\text{a.e. 且有限}, $$

那么对于任意 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)$ 几乎处处存在且有限，记 $\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f=Tf$，而且 $T$ 也是弱 $(p,q)$ 型.

*证明.* 记

$$ E=\{x\in\mathbb{R}^n:|\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)|>\delta\},\delta>0. $$

只需证明 $\forall \delta>0$，$\lvert E\rvert=0$. 取 $\delta=\dfrac{1}{n}$，记

$$ E_n=\{x\in\mathbb{R}^n:|\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)|>\frac{1}{n}\}. $$

则 $\lvert \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\rvert=0$，且 $\forall x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n^c$，

$$ \lim_{\varepsilon,\varepsilon'\to 0}\lvert T_{\varepsilon}f(x)-T_{\varepsilon'}f(x)\rvert=0. $$

这表明

$$ \lim_{\varepsilon,\varepsilon'\to 0}\lvert T_{\varepsilon}f(x)-T_{\varepsilon'}f(x)\rvert=0,\text{a.e.} $$

也就是说对几乎处处的 $x\in\mathbb{R}^n$，$T_{\varepsilon}f(x)$ 是柯西列，从而 $\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)$ 几乎处处存在.

已知 $D$ 是 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 的稠密子集，则 $\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$\forall \eta>0$，$\exists g\in D$，$\lVert f-g\rVert_p<\eta$. 因为 $\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}g(x)=Tg(x)$，a.e.，所以

$$ |\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}g(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}g(x)|=0,\text{a.e.} $$

利用

$$ \lvert T_{\varepsilon}f(x)-T_{\varepsilon'}f(x)\rvert\le\lvert T_{\varepsilon}g(x)-T_{\varepsilon'}g(x)\rvert+\lvert T_{\varepsilon}(f-g)(x)-T_{\varepsilon'}(f-g)(x)\rvert, $$

可得

$$ \begin{aligned} \lvert E\rvert &=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:|\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)|>\delta\}\rvert \\ &\le\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:|\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}(f-g)(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}(f-g)(x)|>\delta\}\rvert. \end{aligned} $$

从而 (i) 若 $q<\infty$，

$$ \begin{aligned} \lvert E\rvert &\le\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:|\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}(f-g)(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}(f-g)(x)|>\delta\}\rvert \\ &\le\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:2T^*(f-g)(x)>\delta\}\rvert \\ &\le(\frac{2}{\delta})^q\lVert T^*(f-g)\rVert_{q,\infty}^q \\ &\le C(\frac{2}{\delta})^q\lVert f-g\rVert_p^q\lesssim\delta^{-q}\eta^q. \end{aligned} $$

令 $\eta\to 0$，则 $\lvert E\rvert=0$.

(ii) 若 $q=\infty$，

$$ \begin{aligned} \lvert E\rvert &\le\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:|\overline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}(f-g)(x)-\underline{\lim}_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}(f-g)(x)|>\delta\}\rvert \\ &\le\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:2T^*(f-g)(x)>\delta\}\rvert. \end{aligned} $$

若 $\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:2T^*(f-g)(x)>\delta\}\rvert\ne 0$，则 $\lVert T^*(f-g)\rVert_{\infty}>\dfrac{\delta}{2}$. 结合 $T^*$ 的弱 $(p,\infty)$ 型性质，

$$ \frac{\delta}{2}<\lVert T^*(f-g)\rVert_{\infty}\le C\lVert f-g\rVert_p

矛盾！因此 $\lvert E\rvert=0$.

最后由 $\lvert Tf(x)\rvert\le T^*f(x)$，a.e.，可见 $T$ 也是弱 $(p,q)$ 型.

### Lebesgue 微分定理

定理（Lebesgue 微分定理）. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，则

$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}f(y) \mathrm{d}y=f(x),\text{a.e.} $$

*证明.* 只需证明结论对 $f\in L(\mathbb{R}^n)$ 成立. 设 $f\in L(\mathbb{R}^n)$，定义算子 $T_{\varepsilon}:f\mapsto f\ast\varphi_{\varepsilon}$，其中 $\varphi(x)=v_n^{-1}\chi_{B(0,1)}(x)$. 则

$$ T_{\varepsilon}f(x)=(f\ast\varphi_{\varepsilon})(x)=\frac{1}{\lvert B(x,\varepsilon)\rvert}\int_{B(x,\varepsilon)}f(t) \mathrm{d}t. $$

易见

$$ T^*f(x)=\sup_{\varepsilon>0}\lvert T_{\varepsilon}f(x)\rvert\le Mf(x). $$

因为极大算子 $M$ 是弱 $(1,1)$ 型，所以 $T^*$ 也是弱 $(1,1)$ 型.

对于任意的 $g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，由恒等逼近核性质，当 $\varepsilon\to 0$，

$$ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert (g\ast\varphi_{\varepsilon})(x)-g(x)\rvert\to 0. $$

故 $\forall x\in\mathbb{R}^n$，$\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}g(x)=g(x)$.

因为 $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^1(\mathbb{R}^n)$ 中稠密，极大算子 $T^*$ 是弱 $(1,1)$ 型，运用算子族点态收敛定理，$\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)$ 几乎处处存在且有限.

下证 $\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)=f(x)$，a.e. 由恒等逼近核性质，

$$ \lVert T_{\varepsilon}f-f\rVert_1\to 0,\varepsilon\to 0. $$

从而存在 $\{\varepsilon_k\}$ 满足当 $k\to\infty$ 时 $\varepsilon_k\to 0$，使得

$$ \lim_{k\to\infty}T_{\varepsilon_k}f(x)=f(x),\text{a.e.} $$

结合 $\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)$ 几乎处处存在且有限，所以

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)=f(x),\text{a.e.} $$

即

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,\varepsilon)\rvert}\int_{B(x,\varepsilon)}f(y) \mathrm{d}y=f(x),\text{a.e.} $$

### 极大函数性质

性质. $Mf(x)\ge\lvert f(x)\rvert$，a.e.

*证明.* 由 Lebesgue 微分定理

$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y=\lvert f(x)\rvert,\text{a.e.} $$

结合极大函数定义

$$ Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y \ge\lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y=\lvert f(x)\rvert,\text{a.e.} $$

推论. 设 $f\in L_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^n)$，则

$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y=0,\text{a.e.} $$

上述极限成立的点 $x$ 称为 $f$ 的Lebesgue 点.

*证明.* 记 $\mathbb{R}$ 中的全部有理数为 $\mathbb{Q}$. 则 $\forall z\in\mathbb{Q}$

$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-z\rvert \mathrm{d}y=\lvert f(x)-z\rvert,\text{a.e. }x\in\mathbb{R}^n. $$

设 $F_z$ 是使得上述极限不成立的点 $x$ 构成的集合，则

$$ \lvert F_z\rvert=0,\forall z\in\mathbb{Q}. $$

记 $F=\bigcup_{z\in\mathbb{Q}}F_z$，进而 $\lvert F\rvert=\lvert \bigcup_{z\in\mathbb{Q}}F_z\rvert=0$. 注意到 $\lvert \{\lvert f\rvert=\infty\}\rvert=0$，记 $E=\{\lvert f\rvert=\infty\}$.

下证 $\forall x\in\mathbb{R}^n\setminus(E\cup F)$，

$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y=0.\tag{$*$} $$

对于任意的 $x\in\mathbb{R}^n\setminus(E\cup F)$，$\forall \varepsilon>0$，取 $z\in\mathbb{Q}$，使得 $\lvert f(x)-z\rvert<\dfrac{\varepsilon}{2}$. 存在 $\delta>0$，$\forall 0

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y &\le\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-z\rvert \mathrm{d}y +\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(x)-z\rvert \mathrm{d}y \\ &<\lvert f(x)-z\rvert+\varepsilon+\lvert f(x)-z\rvert<2\varepsilon. \end{aligned} $$

故 $(*)$ 成立.

性质. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$，若 $x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点，则 $Mf(x)<\infty$，这表明 $Mf$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上几乎处处有限.

*证明.* 若 $p=\infty$，结论显然. 设 $p<\infty$，如果 $x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点，那么

$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y=0. $$

存在 $\delta>0$，使得 $\forall 0

$$ \frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y<1. $$

于是

$$ \sup_{0

另一方面，当 $r\ge\delta$ 时，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)\rvert \mathrm{d}y &\le\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\lvert B(x,r)\rvert^{1/p'}\lVert f\rVert_p \\ &=v_n^{-1/p}r^{-n/p}\lVert f\rVert_p \le C\delta^{-n/p}\lVert f\rVert_p. \end{aligned} $$

可见若 $x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点，

$$ Mf(x)\le 1+\lvert f(x)\rvert+C\delta^{-n/p}\lVert f\rVert_p<\infty. $$

故 $Mf$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上几乎处处有限.

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