恒等逼近的点态收敛

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 Lebesgue 微分定理，下一篇是 Riesz 位势。

恒等逼近算子的点态收敛

### 恒等逼近算子在点态意义下的收敛性

定理. 设 $K\in L(\mathbb{R}^n)$ 且 $\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x=1$，$\varphi$ 是 $K$ 的径向递减控制函数，即

$$ \varphi(x):=\sup_{\lvert t\rvert\ge\lvert x\rvert}\lvert K(t)\rvert. $$

如果 $\varphi\in L(\mathbb{R}^n)$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p<\infty$，那么

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}(K_{\varepsilon}\ast f)(x)=f(x),\text{a.e.} $$

*证明.* 利用 $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中的稠密性. 结论对 $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 中函数成立：$\forall g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，由恒等逼近核性质

$$ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert (K_{\varepsilon}\ast g)(x)-g(x)\rvert\to 0,\varepsilon\to 0. $$

所以 $\forall g\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，$\lim_{\varepsilon\to 0}(K_{\varepsilon}\ast g)(x)=g(x)$. 令

$$ T_{\varepsilon}f(x)=(K_{\varepsilon}\ast f)(x), $$

由 2.1 节极大函数控制定理

$$ \sup_{\varepsilon>0}\lvert T_{\varepsilon}f(x)\rvert=\sup_{\varepsilon>0}\lvert K_{\varepsilon}\ast f(x)\rvert\le C_n Mf(x). $$

记 $T^*f(x)=\sup_{\varepsilon>0}\lvert T_{\varepsilon}f(x)\rvert$，则 $T^*$ 是 $(p,p)$ 型的，也是弱 $(p,p)$ 型的. 运用算子族点态收敛定理，$\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)$ 几乎处处存在且有限. 下证

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)=f(x),\text{a.e.} $$

由恒等逼近核性质

$$ \lVert T_{\varepsilon}f-f\rVert_p=\lVert K_{\varepsilon}\ast f-f\rVert_p\to 0,\varepsilon\to 0. $$

所以存在 $\{\varepsilon_k\}$ 满足当 $k\to\infty$ 时 $\varepsilon_k\to 0$，使得

$$ \lim_{k\to\infty}T_{\varepsilon_k}f(x)=f(x),\text{a.e.} $$

又因为 $\lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)$ 几乎处处存在且有限，则

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}T_{\varepsilon}f(x)=f(x),\text{a.e.} $$

注. 1. 若 $\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x=a$，其他条件一样，则结论为 $$ \lim_{\varepsilon\to 0}(K_{\varepsilon}\ast f)(x)=f(x)\int_{\mathbb{R}^n}K(x) \mathrm{d}x. $$ 2. 把定理中条件 $\varphi(x)=\sup_{\lvert y\rvert\ge\lvert x\rvert}\lvert K(y)\rvert$ 换成存在非负径向递减函数 $\psi\in L^1(\mathbb{R}^n)$，使得 $$ \lvert K(x)\rvert\le\psi(x),\text{a.e. }x\in\mathbb{R}^n, $$ 结论仍成立. 3. 我们还可证明出在 $f$ 的 Lebesgue 点处，都有 $$ \lim_{\varepsilon\to 0}(K_{\varepsilon}\ast f)(x)=f(x). $$

*证明.* 由定义

$$ \begin{aligned} \lvert (K_{\varepsilon}\ast f)(x)-f(x)\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}K(y)[f(x-\varepsilon y)-f(x)] \mathrm{d}y\rvert \\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(y)\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert(\int_0^{\infty}\chi_{\{\varphi>t\}}(y) \mathrm{d}t) \mathrm{d}y \\ &=\int_0^{\infty}(\int_{\{\varphi>t\}}\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

因为 $\varphi$ 是径向递减控制函数，可记

$$ \{y\in\mathbb{R}^n:\varphi(y)>t\}=B(0,r(t)),\forall t>0. $$

从而

$$ \begin{aligned} \lvert K_{\varepsilon}\ast f(x)-f(x)\rvert &=\int_0^{\infty}(\int_{\{\varphi>t\}}\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y) \mathrm{d}t \\ &=\int_0^{\infty}\frac{\lvert B(0,r(t))\rvert}{\lvert B(0,r(t))\rvert}\int_{B(0,r(t))}\lvert f(x-\varepsilon y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y \mathrm{d}t \\ &=\int_0^{\infty}\frac{\lvert B(0,r(t))\rvert}{\lvert B(0,\varepsilon r(t))\rvert}\int_{B(0,\varepsilon r(t))}\lvert f(x-y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

若 $x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点，则 $\forall t$

$$ \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\lvert B(0,\varepsilon r(t))\rvert}\int_{B(0,\varepsilon r(t))}\lvert f(x-y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y=0. $$

此外

$$ \begin{aligned} \frac{\lvert B(0,r(t))\rvert}{\lvert B(0,\varepsilon r(t))\rvert}\int_{B(0,\varepsilon r(t))}\lvert f(x-y)-f(x)\rvert \mathrm{d}y &\le\lvert B(0,r(t))\rvert[Mf(x)+\lvert f(x)\rvert] \\ &=d_{\varphi}(t)[Mf(x)+\lvert f(x)\rvert]\in L^1(0,\infty). \end{aligned} $$

运用控制收敛定理，

$$ (K_{\varepsilon}\ast f)(x)-f(x)\to 0,\varepsilon\to 0. $$

### Poisson 积分和 Gauss–Weierstrass 积分

定义. 称

$$ P(x)=\frac{C_n}{(1+\lvert x\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}} $$

为Poisson 核，其中常数 $C_n=\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}$. 则

$$ P_{\varepsilon}(x)=C_n\frac{\varepsilon}{(\varepsilon^2+\lvert x\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}},\varepsilon>0. $$

称

$$ W(x)=e^{-\pi\lvert x\rvert^2} $$

为Gauss–Weierstrass 核. 则

$$ W(x,\varepsilon):=W_{\sqrt{4\pi\varepsilon}}(x)=(4\pi\varepsilon)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\lvert x\rvert^2}{4\varepsilon}}. $$

性质. $\forall \varepsilon>0$，

$$ \int_{\mathbb{R}^n}P_{\varepsilon}(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}W(x,\varepsilon) \mathrm{d}x=1. $$

*证明.* 只需考虑 $\varepsilon=1$ 的情况. 利用积分

$$ \int_{\mathbb{R}}e^{-x^2} \mathrm{d}x=\sqrt{\pi}, $$

推得

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}W(x,1) \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}(4\pi)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\lvert x\rvert^2}{4}} \mathrm{d}x \\ &=\int_{\mathbb{R}}\cdots\int_{\mathbb{R}}[(4\pi)^{-\frac12}e^{-\frac{x_1^2}{4}}]\cdots[(4\pi)^{-\frac12}e^{-\frac{x_n^2}{4}}]\dx_1\cdots\dx_n=1. \end{aligned} $$

运用球坐标变换公式

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\frac{ \mathrm{d}x}{(1+\lvert x\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}} &=\int_{S^{n-1}}\int_0^{\infty}\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^{\frac{n+1}{2}}} \mathrm{d}r \mathrm{d}\sigma(\xi) \\ &=w_{n-1}\int_0^{\infty}\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^{\frac{n+1}{2}}} \mathrm{d}r \\ &=w_{n-1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}\theta \mathrm{d}\theta (r=\tan\theta) \\ &=\frac{w_{n-1}}{2}B(\frac{n}{2},\frac12) =\frac{w_{n-1}}{2}\frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}. \end{aligned} $$

利用欧拉函数

$$ B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}. $$

此外，单位球面测度为

$$ w_{n-1}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}. $$

原因如下，因为 $\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2} \mathrm{d}x=\sqrt{\pi}$，所以

$$ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\lvert x\rvert^2} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}}\cdots\int_{\mathbb{R}}e^{-x_1^2}\cdots e^{-x_n^2}\dx_1\cdots\dx_n=\pi^{\frac{n}{2}}. $$

另一方面，运用球坐标变换公式

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\lvert x\rvert^2} \mathrm{d}x &=\int_{S^{n-1}}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r^{n-1} \mathrm{d}r \mathrm{d}\sigma(\xi) \\ &=w_{n-1}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r^{n-1} \mathrm{d}r =\frac{w_{n-1}}{2}\Gamma(\frac{n}{2}). \end{aligned} $$

两方面比较可得

$$ w_{n-1}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}. $$

因此

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\frac{ \mathrm{d}x}{(1+\lvert x\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}} &=\frac{w_{n-1}}{2}\frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n+1}{2})} \\ &=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac{n+1}{2})} \\ &=\frac{\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}=\frac{1}{C_n}. \end{aligned} $$

故

$$ \int_{\mathbb{R}^n}P(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{C_n}{(1+\lvert x\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}} \mathrm{d}x=1. $$

定义. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$，$\forall \varepsilon>0$，称

$$ u(x,\varepsilon):=(f\ast P_{\varepsilon})(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)P_{\varepsilon}(x-y) \mathrm{d}y $$

为 $f$ 的Poisson 积分；称

$$ G(x,\varepsilon):=(f\ast W(\cdot,\varepsilon))(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)W(x-y,\varepsilon) \mathrm{d}y $$

为 $f$ 的Gauss–Weierstrass 积分.

性质. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p<\infty$，则 $f$ 的 Poisson 积分和 Gauss–Weierstrass 积分满足下列性质：

1. $\forall \varepsilon>0$， $$ \lVert f\ast P_{\varepsilon}\rVert_p\le\lVert f\rVert_p,\lVert f\ast W(\cdot,\varepsilon)\rVert_p\le\lVert f\rVert_p. $$ 2. 对于 $1\le p<\infty$，有 $$ \lim_{\varepsilon\to 0}\lVert f\ast P_{\varepsilon}-f\rVert_p=0,\lim_{\varepsilon\to 0}\lVert f\ast W(\cdot,\varepsilon)-f\rVert_p=0. $$ 3. 对于 $1\le p<\infty$，在 $f$ 的 Lebesgue 点处有 $$ \lim_{\varepsilon\to 0}(f\ast P_{\varepsilon})(x)=f(x),\lim_{\varepsilon\to 0}(f\ast W(\cdot,\varepsilon))(x)=f(x). $$

*证明.* (1) 由性质 1，

$$ \lVert P_{\varepsilon}\rVert_1=\lVert W(\cdot,\varepsilon)\rVert_1=1. $$

利用 Young 不等式

$$ \begin{aligned} \lVert f\ast P_{\varepsilon}\rVert_p&\le\lVert f\rVert_p\lVert P_{\varepsilon}\rVert_1=\lVert f\rVert_p, \\ \lVert f\ast W(\cdot,\varepsilon)\rVert_p&\le\lVert f\rVert_p\lVert W(\cdot,\varepsilon)\rVert_1=\lVert f\rVert_p. \end{aligned} $$

(2) 利用恒等逼近算子依 $L^p$ 范数收敛性：

$$ \begin{aligned} \lVert f\ast P_{\varepsilon}-f\rVert_p&\to 0,\varepsilon\to 0, \\ \lVert f\ast W(\cdot,\varepsilon)-f\rVert_p&\to 0,\varepsilon\to 0. \end{aligned} $$

(3) 利用恒等逼近算子点态收敛性：若 $x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点，则

$$ \begin{aligned} (f\ast P_{\varepsilon})(x)&\to f(x),\varepsilon\to 0, \\ (f\ast W(\cdot,\varepsilon))(x)&\to f(x),\varepsilon\to 0. \end{aligned} $$

性质. 设 $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，有如下结论：

1. 若 $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)\cap C(\mathbb{R}^n)$，$(f\ast P_{\varepsilon})(x)$ 在任一紧集 $F$ 上一致收敛于 $f(x)$. 2. 若 $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)\cap C_0(\mathbb{R}^n)$，$(f\ast P_{\varepsilon})(x)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致收敛于 $f(x)$. 3. 若 $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，则 $\forall \varphi\in L^1(\mathbb{R}^n)$， $$ \int_{\mathbb{R}^n}(f\ast P_{\varepsilon})(x)\varphi(x) \mathrm{d}x\to\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x) \mathrm{d}x,\varepsilon\to 0. $$

*证明.* (1) 和 (2) 可由恒等逼近算子一致收敛性推出.

(3) 若 $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，则 $(f\ast P_{\varepsilon})(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. 对于任意的 $\varphi\in L^1(\mathbb{R}^n)$，

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}(f\ast P_{\varepsilon})(x)\varphi(x) \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(y)P_{\varepsilon}(x-y)\varphi(x) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)(\varphi\ast P_{\varepsilon})(y) \mathrm{d}y. \end{aligned} $$

从而当 $\varepsilon\to 0$，

$$ \begin{aligned} \lvert \int_{\mathbb{R}^n}[(f\ast P_{\varepsilon})(x)\varphi(x)-f(x)\varphi(x)] \mathrm{d}x\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}[f(y)(\varphi\ast P_{\varepsilon})(y)-f(y)\varphi(y)] \mathrm{d}y\rvert \\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert\lvert (\varphi\ast P_{\varepsilon})(y)-\varphi(y)\rvert \mathrm{d}y \\ &\le\lVert f\rVert_{\infty}\lVert \varphi\ast P_{\varepsilon}-\varphi\rVert_1\to 0. \end{aligned} $$

### 径向极大函数

定义. 对于 $\R_+^{n+1}$ 上的可测函数 $F(x,y)$，其径向极大函数 $F_+^*$ 定义为

$$ F_+^*(x)=\sup_{y>0}\lvert F(x,y)\rvert,\forall x\in\mathbb{R}^n. $$

设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$，其 Poisson 积分和 Gauss–Weierstrass 积分的径向极大函数分别记为 $u_+^*$，$G_+^*$.

由 2.1 节可知对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，

$$ u_+^*(x)\le C_n Mf(x), G_+^*(x)\le C_n Mf(x). $$

在一定条件下，极大函数 $Mf$ 能被 Poisson 积分的径向极大函数 $u_+^*$ 点态控制.

定理. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$，$f\ge 0$. 则对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，

$$ Mf(x)\le C_n u_+^*(x). $$

*证明.* 由径向极大函数定义

$$ \begin{aligned} u_+^*(x) &=\sup_{\varepsilon>0}\lvert u(x,\varepsilon)\rvert =\sup_{\varepsilon>0}(f\ast P_{\varepsilon})(x) \\ &\ge C_n\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)\frac{\varepsilon}{(\varepsilon^2+\lvert y\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}} \mathrm{d}y \\ &\ge C_n\int_{B(0,\varepsilon)}f(x-y)\frac{\varepsilon}{(\varepsilon^2+\lvert y\rvert^2)^{\frac{n+1}{2}}} \mathrm{d}y \\ &\ge\frac{C_n}{\varepsilon^n}\int_{B(0,\varepsilon)}f(x-y) \mathrm{d}y,\forall \varepsilon>0. \end{aligned} $$

因此 $u_+^*(x)\ge C_n Mf(x)$.

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