analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 恒等逼近的点态收敛，下一篇是 L^1 上的 Fourier 变换。
Riesz 位势
定义（Riesz 位势）. 设 $0<\alpha $$ I_{\alpha}f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{f(y)}{\lvert x-y\rvert^{n-\alpha}} \mathrm{d}y $$ 称为分数次积分算子（也称Riesz 位势）. 定理. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$0<\alpha $$ \lvert I_{\alpha}f(x)\rvert\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}(Mf(x))^{1-\frac{p\alpha}{n}},\forall x\in\mathbb{R}^n. $$ *证明.* 对于任意的 $R>0$， $$ \begin{aligned} I_{\alpha}f(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{f(x-y)}{\lvert y\rvert^{n-\alpha}} \mathrm{d}y \\ &=\int_{\lvert y\rvert 因为 $$ \int_{\lvert y\rvert 由极大函数控制定理，$\forall x\in\mathbb{R}^n$ $$ \begin{aligned} \lvert \int_{\lvert y\rvert 另一方面，$p<\dfrac{n}{\alpha}$，即 $(n-\alpha)p'>n$. 由 Holder 不等式 $$ \begin{aligned} \lvert \int_{\lvert y\rvert\ge R}\frac{f(x-y)}{\lvert y\rvert^{n-\alpha}} \mathrm{d}y\rvert &\le\lVert f\rVert_p(\int_{\lvert y\rvert\ge R}\frac{1}{\lvert y\rvert^{(n-\alpha)p'}} \mathrm{d}y)^{1/p'} \\ &=C_n R^{\alpha-\frac{n}{p}}\lVert f\rVert_p.(p>1) \end{aligned} $$ 特别地，若 $p=1$， $$ \lvert \int_{\lvert y\rvert\ge R}\frac{f(x-y)}{\lvert y\rvert^{n-\alpha}} \mathrm{d}y\rvert \le R^{\alpha-n}\int_{\lvert y\rvert\ge R}\lvert f(x-y)\rvert \mathrm{d}y \le R^{\alpha-n}\lVert f\rVert_1. $$ 从而 $$ \lvert I_{\alpha}f(x)\rvert\le C_n(R^{\alpha}Mf(x)+R^{\alpha-\frac{n}{p}}\lVert f\rVert_p). $$ 取 $R$ 满足 $$ R^{\alpha}Mf(x)=R^{\alpha-\frac{n}{p}}\lVert f\rVert_p. $$ 则 $R=(\dfrac{\lVert f\rVert_p}{Mf(x)})^{p/n}$. 因此 $$ \lvert I_{\alpha}f(x)\rvert\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}(Mf(x))^{1-\frac{p\alpha}{n}}. $$ 定理. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$0<\alpha 1. 当 $p>1$，$\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{p}-\dfrac{\alpha}{n}$，则算子 $I_{\alpha}$ 是 $(p,q)$ 型 $$ \lVert I_{\alpha}f\rVert_q\le C\lVert f\rVert_p. $$ 2. 当 $p=1$，则算子 $I_{\alpha}$ 是弱 $(1,\dfrac{n}{n-\alpha})$ 型 $$ \lVert I_{\alpha}f\rVert_{\frac{n}{n-\alpha},\infty}\le C\lVert f\rVert_1. $$ *证明.* (1) 因为 $$ \lvert I_{\alpha}f(x)\rvert\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}(Mf(x))^{1-\frac{p\alpha}{n}}, $$ 所以 $$ \lVert I_{\alpha}f\rVert_q\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}\lVert (Mf)^{1-\frac{p\alpha}{n}}\rVert_q. $$ 指标为 $p>1$，$q=\dfrac{np}{n-\alpha p}$，于是 $$ \begin{aligned} \lVert I_{\alpha}f\rVert_q &\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}\lVert (Mf)^{1-\frac{p\alpha}{n}}\rVert_q =\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}\lVert Mf\rVert_p^{\frac{p}{q}}. \end{aligned} $$ 又因为极大算子 $M$ 是 $(p,p)$ 型， $$ \lVert I_{\alpha}f\rVert_q\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}\lVert Mf\rVert_p^{\frac{p}{q}}\lesssim\lVert f\rVert_p^{\frac{p\alpha}{n}}\lVert f\rVert_p^{\frac{p}{q}}=\lVert f\rVert_p. $$ (2) 因为 $$ \lvert I_{\alpha}f(x)\rvert\lesssim\lVert f\rVert_1^{\frac{\alpha}{n}}(Mf(x))^{1-\frac{\alpha}{n}}, $$ 以及极大算子 $M$ 是弱 $(1,1)$ 型，所以 $$ \begin{aligned} \lvert \{x\in\mathbb{R}^n:\lvert I_{\alpha}f(x)\rvert>\lambda\}\rvert &\le\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:C\lVert f\rVert_1^{\frac{\alpha}{n}}(Mf(x))^{1-\frac{\alpha}{n}}>\lambda\}\rvert \\ &=\lvert \{x\in\mathbb{R}^n:Mf(x)>(\frac{\lambda}{C\lVert f\rVert_1^{\frac{\alpha}{n}}})^{\frac{n}{n-\alpha}}\}\rvert \\ &\le C(\frac{\lVert f\rVert_1^{\frac{\alpha}{n}}}{\lambda})^{\frac{n}{n-\alpha}}\lVert f\rVert_1 =C\lambda^{-\frac{n}{n-\alpha}}\lVert f\rVert_1^{\frac{n}{n-\alpha}}. \end{aligned} $$ 故 $$ \lVert I_{\alpha}f\rVert_{\frac{n}{n-\alpha},\infty}\le C\lVert f\rVert_1. $$ 注. 由 Young 不等式和 Marcinkiewicz 插值定理也可以推导出算子 $I_{\alpha}$ 的有界性. *证明.* 设 $K(x)=\dfrac{1}{\lvert x\rvert^{n-\alpha}}$，则 $I_{\alpha}f(x)=(f\ast K)(x)$. 记 $$ K_1(x)=K(x)\chi_{\lvert x\rvert\le\delta}, K_2(x)=K(x)\chi_{\lvert x\rvert>\delta}. $$ 则 $K=K_1+K_2$，$K_1\in L^1(\mathbb{R}^n)$，$K_2\in L^{p'}(\mathbb{R}^n)$： $$ \begin{aligned} \lVert K_1\rVert_1&=\int_{\lvert x\rvert\le\delta}\frac{ \mathrm{d}x}{\lvert x\rvert^{n-\alpha}}=C_1\delta^{\alpha}, \\ \lVert K_2\rVert_{p'}&=(\int_{\lvert x\rvert>\delta}\frac{ \mathrm{d}x}{\lvert x\rvert^{(n-\alpha)p'}})^{1/p'}=C_2\delta^{\alpha-\frac{n}{p}}=C_2\delta^{-n/q}. \end{aligned} $$ 由 Young 不等式 $$ \begin{aligned} \lVert f\ast K_1\rVert_p&\le\lVert f\rVert_p\lVert K_1\rVert_1\le\lVert f\rVert_p C_1\delta^{\alpha}, \\ \lVert f\ast K_2\rVert_{\infty}&\le\lVert f\rVert_p\lVert K_2\rVert_{p'}\le\lVert f\rVert_p C_2\delta^{-n/q}. \end{aligned} $$ 因为 $f\ast K=f\ast K_1+f\ast K_2$，则 $$ d_{f\ast K}(2\lambda)\le d_{f\ast K_1}(\lambda)+d_{f\ast K_2}(\lambda). $$ 选取 $\delta$ 使其满足 $$ \lVert f\rVert_p C_2\delta^{-n/q}=\lambda. $$ 于是 $\delta=(\dfrac{C_2\lVert f\rVert_p}{\lambda})^{q/n}$. 此时 $d_{f\ast K_2}(\lambda)=0$. 因此 $\forall \lambda>0$， $$ \begin{aligned} d_{f\ast K}(2\lambda) &\le d_{f\ast K_1}(\lambda)+d_{f\ast K_2}(\lambda) \\ &=d_{f\ast K_1}(\lambda) \\ &\le\lambda^{-p}\lVert f\ast K_1\rVert_p^p \\ &\le\lambda^{-p}\lVert f\rVert_p^p C_1^p\delta^{\alpha p} \le C\lambda^{-q}\lVert f\rVert_p^q. \text{（代入 $\delta$）} \end{aligned} $$ 故 $$ \lVert I_{\alpha}f\rVert_{q,\infty}=\lVert f\ast K\rVert_{q,\infty}\le C\lVert f\rVert_p. $$ 这表明对任意的 $1\le p ### Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式 定理（Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式）. 设 $0<\alpha $$ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(y)\lvert x-y\rvert^{-\alpha} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\rvert\le C\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q. $$ *证明.* 指标关系满足 $\dfrac{1}{q'}=\dfrac{1}{p}-1+\dfrac{\alpha}{n}$， $$ \begin{aligned} \lvert \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(y)\lvert x-y\rvert^{-\alpha} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\rvert &\le\lvert \int_{\mathbb{R}^n}I_{n-\alpha}f(y)g(y) \mathrm{d}y\rvert \\ &\le\lVert I_{n-\alpha}f\rVert_{q'}\lVert g\rVert_q \le C\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q. \end{aligned} $$ 上一篇：恒等逼近的点态收敛。下一篇：L^1 上的 Fourier 变换。回到 目录。