L^1 上的 Fourier 变换

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 Riesz 位势，下一篇是 反演公式。

Fourier 变换的 $L^1$ 理论

定义. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，称 \[ \widehat{f}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t, \forall x\in\mathbb{R}^n \] 为 $f$ 的 Fourier 变换.

注. (1) Fourier 变换是 $(1,\infty)$ 型的线性算子.

*证明.* 因为 $\lvert e^{-2\pi i x\cdot t}\rvert\le 1$，所以 \[ \lvert \widehat{f}(x)\rvert =\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\rvert \le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(t)\rvert \mathrm{d}t. \] 故 $\lVert \widehat{f}\rVert_\infty\le\lVert f\rVert_1$.

注. (2) 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 $\widehat{f}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致连续.

*证明.* 对于任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，$h\in\mathbb{R}^n$，

$$ \begin{aligned} \lvert \widehat{f}(x+h)-\widehat{f}(x)\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(t)[e^{-2\pi i(x+h)\cdot t}-e^{-2\pi i x\cdot t}] \mathrm{d}t\rvert\\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(t)\rvert \lvert e^{-2\pi i(x+h)\cdot t}-e^{-2\pi i x\cdot t}\rvert \mathrm{d}t\\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(t)\rvert \lvert e^{-2\pi i h\cdot t}-1\rvert \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(t)\rvert \lvert \cos(2\pi h\cdot t)-1-i\sin(2\pi h\cdot t)\rvert \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(t)\rvert \lvert 2\sin(\pi h\cdot t)\rvert \mathrm{d}t\to 0 (\lvert h\rvert\to 0). \end{aligned} $$

收敛性由控制收敛定理可得.

引理（Riemann–Lebesgue）. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 $\widehat{f}\in C_0(\mathbb{R}^n)$.

*证明.* (i) 记长方体 $I=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]\subset\mathbb{R}^n$. 则

$$ \begin{aligned} \widehat{\chi_I}(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_I(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{a_1}^{b_1}e^{-2\pi i x_1 t_1}\dt_1\cdots\int_{a_n}^{b_n}e^{-2\pi i x_n t_n}\dt_n\\ &=\prod_{j=1}^n\frac{1}{2\pi i x_j}[e^{-2\pi i a_j x_j}-e^{-2\pi i b_j x_j}]. \end{aligned} $$

当 $\lvert x\rvert\to\infty$ 时，至少存在 $j$，使得 $\lvert x_j\rvert\to\infty$. 不妨设 $\lvert x_1\rvert\to\infty$，则易见 $\lim_{\lvert x\rvert\to\infty}\widehat{\chi_I}(x)=0$. 因此对于任意阶梯函数 $g$， $\lim_{\lvert x\rvert\to\infty}\widehat{g}(x)=0$.

(ii) 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，对于任意的 $\varepsilon>0$，存在阶梯函数 $g$ 使得 \[ \lVert f-g\rVert_1<\varepsilon. \] 因为对充分大的 $\lvert x\rvert$，有 $\lvert \widehat{g}(x)\rvert<\varepsilon$. 所以

$$ \begin{aligned} \lvert \widehat{f}(x)\rvert &\le\lvert \widehat{f}(x)-\widehat{g}(x)\rvert+\lvert \widehat{g}(x)\rvert\\ &\le\lVert f-g\rVert_1+\lvert \widehat{g}(x)\rvert<2\varepsilon. \end{aligned} $$

故 $\widehat{f}\in C_0(\mathbb{R}^n)$.

定理（Fourier 变换与卷积的关系）. 设 $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 \[ \widehat{f*g}(x)=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x). \]

*证明.* 由定义

$$ \begin{aligned} \widehat{f*g}(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}(\int_{\mathbb{R}^n}f(t-y)g(y) \mathrm{d}y)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}g(y)(\int_{\mathbb{R}^n}f(t-y)e^{-2\pi i(t-y)\cdot x} \mathrm{d}t)e^{-2\pi i y\cdot x} \mathrm{d}y\\ &=\widehat{f}(x)\int_{\mathbb{R}^n}g(y)e^{-2\pi i y\cdot x} \mathrm{d}y =\widehat{f}(x)\widehat{g}(x). \end{aligned} $$

定理（Fourier 变换与平移的关系）. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，$h\in\mathbb{R}^n$，平移算子 $T_h$ 定义为 \[ T_h f(x)=f(x-h), x\in\mathbb{R}^n. \] 则有 \[ (T_h f)^\wedge(x)=e^{-2\pi i x\cdot h}\widehat{f}(x),

T_h\widehat{f}(x)=(e^{2\pi i(\cdot)\cdot h}f(\cdot))^\wedge(x). \]

*证明.* 由定义

$$ \begin{aligned} (T_h f)^\wedge(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}T_h f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t-h)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=e^{-2\pi i x\cdot h}\int_{\mathbb{R}^n}f(t-h)e^{-2\pi i x\cdot(t-h)} \mathrm{d}t =e^{-2\pi i x\cdot h}\widehat{f}(x). \end{aligned} $$

另一方面

$$ \begin{aligned} T_h\widehat{f}(x) &=\widehat{f}(x-h) =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i(x-h)\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{2\pi i h\cdot t}e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t =(e^{2\pi i(\cdot)\cdot h}f(\cdot))^\wedge(x). \end{aligned} $$

定理（Fourier 变换与线性变换的关系）. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$.

1. 设 $T$ 是可逆线性变换，用 $T$ 记其矩阵，记 $T^t$ 为其转置. 则 \[ (f(T\cdot))^\wedge(x)=\lvert \det(T)\rvert^{-1}\widehat{f}(T^{-t}x). \] 2. 设 $a\neq 0$，伸缩变换 $\eta_a$ 定义为 $\eta_a f(x)=f(ax)$，$x\in\mathbb{R}^n$. 则 \[ (\eta_a f)^\wedge(x)=\frac{1}{\lvert a\rvert^n}\eta_{a^{-1}}\widehat{f}(x). \] 3. $L^1(\mathbb{R}^n)$ 上 Fourier 变换与正交变换可交换：对于任意的正交矩阵 $O$，有 \[ (f(O\cdot))^\wedge(x)=\widehat{f}(Ox). \] 4. $L^1(\mathbb{R}^n)$ 中径向函数的 Fourier 变换仍为径向函数.

*证明.* (i) 利用变量替换 $u=T(t)$，

$$ \begin{aligned} (f(T\cdot))^\wedge(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}f(T(t))e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(u)e^{-2\pi i x\cdot T^{-1}u}\lvert \det(T^{-1})\rvert \mathrm{d}u\\ &=\lvert \det(T)\rvert^{-1}\int_{\mathbb{R}^n}f(u)e^{-2\pi i T^{-t}x\cdot u} \mathrm{d}u =\lvert \det(T)\rvert^{-1}\widehat{f}(T^{-t}x). \end{aligned} $$

注（内积性质）. \[ x\cdot T^{-1}u=x^t T^{-1}u=(T^{-t}x)^t u=T^{-t}x\cdot u. \]

*证明.* (ii) 伸缩变换 $\eta_a$ 的矩阵为 $aI$，利用结论 (i) \[ (\eta_a f)^\wedge(x) =\lvert \det(aI)\rvert^{-1}\widehat{f}((aI)^{-t}x) =\frac{1}{\lvert a\rvert^n}\widehat{f}(a^{-1}x) =\frac{1}{\lvert a\rvert^n}\eta_{a^{-1}}\widehat{f}(x). \]

(iii) 正交矩阵 $O$ 满足 $\lvert \det(O)\rvert=1$，$O^t=O^{-1}$，利用结论 (i) \[ (f(O\cdot))^\wedge(x) =\lvert \det(O)\rvert^{-1}\widehat{f}(O^{-t}x)=\widehat{f}(Ox). \]

(iv) $f$ 是径向函数：对任意的旋转变换 $\rho$，满足 $f(\rho x)=f(x)$，$\forall x\in\mathbb{R}^n$. 利用结论 (iii) \[ (f(\rho\cdot))^\wedge(x)=\widehat{f}(\rho x). \] 则 $\widehat{f}(\rho x)=\widehat{f}(x)$. 故 $\widehat{f}$ 为径向函数.

定义. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p<\infty$. 若存在 $g\in L^p(\mathbb{R}^n)$，使得对任意的 $h=(0,\dots,0,h_k,0,\dots,0)$， \[ \lim_{h_k\to 0}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert \frac{f(x+h)-f(x)}{h_k}-g(x)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p}=0, \] 则称 $f$ 按 $L^p$ 范关于 $x_k$ 可导，称 $g$ 为 $f$ 按 $L^p$ 范关于 $x_k$ 的偏导数.

显然，如果 $f$ 按 $L^p$ 范关于 $x_k$ 可导，那么在几乎处处相等的意义下偏导数是唯一的.

定理（Fourier 变换与微分的关系）. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$.

1. 若 $x_k f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，那么 $\dfrac{\partial\widehat{f}}{\partial x_k}$ 存在，且 \[ \frac{\partial\widehat{f}}{\partial x_k}(x)=(-2\pi i t_k f(t))^\wedge(x). \] 2. 若 $g$ 是 $f$ 按 $L^1$ 范关于 $x_k$ 的偏导数，那么 \[ \widehat{g}(x)=2\pi i x_k\widehat{f}(x). \] 3. 若 $f\in C^1(\mathbb{R}^n)$，$\dfrac{\partial f}{\partial x_k}\in L^1(\mathbb{R}^n)$，那么 \[ (\frac{\partial f}{\partial t_k})^\wedge(x)=2\pi i x_k\widehat{f}(x). \]

*证明.* (i) 设 $h=(0,\dots,0,h_k,0,\dots,0)$，对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，

$$ \begin{aligned} \frac{\widehat{f}(x+h)-\widehat{f}(x)}{h_k} &=\frac{1}{h_k}[T_{-h}\widehat{f}(x)-\widehat{f}(x)]\\ &=\frac{1}{h_k}[(e^{-2\pi i(\cdot)\cdot h}f(\cdot))^\wedge(x)-\widehat{f}(x)]\\ &=\Biggl[\frac{e^{-2\pi i(\cdot)\cdot h}-1}{h_k}f(\cdot)\Biggr]^\wedge(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\frac{e^{-2\pi i t\cdot h}-1}{h_k}e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

因为 \[ \lvert \frac{e^{-2\pi i t\cdot h}-1}{h_k}\rvert \le\frac{\lvert 2\sin(\pi t\cdot h)\rvert}{\lvert h_k\rvert} \le\frac{\lvert 2\pi t\cdot h\rvert}{\lvert h_k\rvert}=2\pi\lvert t_k\rvert, \] 以及 $x_k f(x)\in L^1(\mathbb{R}^n)$，和 \[ \lim_{h_k\to 0}\frac{e^{-2\pi i t\cdot h}-1}{h_k}=-2\pi i t_k. \] 运用控制收敛定理得

$$ \begin{aligned} \lim_{h_k\to 0}\frac{\widehat{f}(x+h)-\widehat{f}(x)}{h_k} &=\lim_{h_k\to 0}\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\frac{e^{-2\pi i t\cdot h}-1}{h_k}e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t}\Biggl[\lim_{h_k\to 0}\frac{e^{-2\pi i t\cdot h}-1}{h_k}\Biggr] \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t}(-2\pi i t_k) \mathrm{d}t =(-2\pi i t_k f(t))^\wedge(x). \end{aligned} $$

所以 \[ \frac{\partial\widehat{f}}{\partial x_k}(x)=(-2\pi i t_k f(t))^\wedge(x). \]

(ii) 因为 $(T_{-h}f)^\wedge(x)=e^{2\pi i x\cdot h}\widehat{f}(x)$，所以

$$ \begin{aligned} \lvert \widehat{g}(x)-\frac{e^{2\pi i x\cdot h}-1}{h_k}\widehat{f}(x)\rvert &=\lvert \Biggl(g(\cdot)-\frac{f(\cdot+h)-f(\cdot)}{h_k}\Biggr)^\wedge(x)\rvert\\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(t)-\frac{f(t+h)-f(t)}{h_k}\rvert \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

若 $g$ 是 $f$ 按 $L^1$ 范关于 $x_k$ 的偏导数，则

$$ \begin{aligned} \lim_{h_k\to 0}\lvert \widehat{g}(x)-\frac{e^{2\pi i x\cdot h}-1}{h_k}\widehat{f}(x)\rvert &\le\lim_{h_k\to 0}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(t)-\frac{f(t+h)-f(t)}{h_k}\rvert \mathrm{d}t=0. \end{aligned} $$

又因为 \[ \lim_{h_k\to 0}\frac{e^{2\pi i x\cdot h}-1}{h_k}=2\pi i x_k, \] 所以 \[ \widehat{g}(x)=\lim_{h_k\to 0}\frac{e^{2\pi i x\cdot h}-1}{h_k}\widehat{f}(x)=2\pi i x_k\widehat{f}(x). \]

(iii) 对任意的 $A,B>0$，运用分部积分

$$ \begin{aligned} &\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\Biggl(\int_{-B}^{A}\frac{\partial f}{\partial t_k}(t)e^{-2\pi i t_k x_k}\dt_k\Biggr) e^{-2\pi i\sum_{j\neq k}t_j x_j}\prod_{j\neq k}\dt_j\\ &=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\Biggl[ f(t)e^{-2\pi i t_k x_k}\Big|_{-B}^{A} -(-2\pi i x_k)\int_{-B}^{A}f(t)e^{-2\pi i t_k x_k}\dt_k \Biggr] e^{-2\pi i\sum_{j\neq k}t_j x_j}\prod_{j\neq k}\dt_j. \end{aligned} $$

若一元函数 $\varphi\in C^1(\mathbb{R})$ 满足条件 $\varphi'(x)\in L(\mathbb{R})$，则 \[ \varphi(x)-\varphi(0)=\int_0^x\varphi'(t) \mathrm{d}t,\forall x\in\mathbb{R}. \] 而且

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)-\varphi(0)&=\int_0^{+\infty}\varphi'(t) \mathrm{d}t=c_1;\\ \lim_{x\to-\infty}\varphi(x)-\varphi(0)&=-\int_{-\infty}^{0}\varphi'(t) \mathrm{d}t=c_2. \end{aligned} $$

可见 $\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)$，$\lim_{x\to-\infty}\varphi(x)$ 极限存在. 若再满足条件 $\varphi\in L(\mathbb{R})$，那么 \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=\lim_{x\to-\infty}\varphi(x)=0. \] 由上述性质以及控制收敛定理，可得

$$ \begin{aligned} &\lim_{A,B\to+\infty} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}\Biggl[ f(t)e^{-2\pi i t_k x_k}\Big|_{-B}^{A} -(-2\pi i x_k)\int_{-B}^{A}f(t)e^{-2\pi i t_k x_k}\dt_k \Biggr] e^{-2\pi i\sum_{j\neq k}t_j x_j}\prod_{j\neq k}\dt_j\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}(2\pi i x_k)f(t)e^{-2\pi i t\cdot x} \mathrm{d}t=2\pi i x_k\widehat{f}(x). \end{aligned} $$

此外，当 $A,B\to+\infty$，

$$ \begin{aligned} &\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\Biggl(\int_{-B}^{A}\frac{\partial f}{\partial t_k}(t)e^{-2\pi i t_k x_k}\dt_k\Biggr) e^{-2\pi i\sum_{j\neq k}t_j x_j}\prod_{j\neq k}\dt_j\\ &\to\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\partial f}{\partial t_k}(t)e^{-2\pi i t\cdot x} \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

因此 \[ (\frac{\partial f}{\partial t_k})^\wedge(x) =\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\partial f}{\partial t_k}(t)e^{-2\pi i t\cdot x} \mathrm{d}t =2\pi i x_k\widehat{f}(x). \]

定理 4 可推广为：设 $f\in L(\mathbb{R}^n)$，

1. 如果对于任意 $\alpha\in\Z_+^n$，$\lvert \alpha\rvert\le m$，有 $x^\alpha f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，那么 $\widehat{f}\in C^m(\mathbb{R}^n)$，且 \[ D^\alpha\widehat{f}(x)=[(-2\pi i t)^\alpha f(t)]^\wedge(x). \] 2. 若 $f\in C^m(\mathbb{R}^n)$，且当 $\lvert \alpha\rvert\le m$，有 $D^\alpha f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，那么 \[ (D^\alpha f)^\wedge(x)=(2\pi i x)^\alpha\widehat{f}(x). \]

注. 设 $m\in\mathbb{N}$，$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\Z_+^n$. 记 \[ P(x)=\sum_{\lvert \alpha\rvert\le m}a_\alpha x^\alpha \] 为 $m$ 次 $n$ 元多项式，则微分算子 $P(D)=\sum_{\lvert \alpha\rvert\le m}a_\alpha D^\alpha$. 由定理 4 可知

$$ \begin{aligned} P(D)\widehat{f}(x)&=(P(-2\pi i t)f(t))^\wedge(x),\\ (P(D)f)^\wedge(x)&=P(2\pi i x)\widehat{f}(x). \end{aligned} $$

定理（乘法公式）. 设 $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x. \]

*证明.* 由定义和 Fubini 定理

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}(\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t)g(x) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)(\int_{\mathbb{R}^n}g(x)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}x) \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\widehat{g}(t) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

定理. 不存在 $L^1(\mathbb{R})$ 中的函数 $f$，使得 $\lVert f\rVert_1>0$，且 $\operatorname{supp} f$ 和 $\operatorname{supp}\widehat{f}$ 同时为紧集.

*证明.* （反证法）假如存在 $f\in L^1(\mathbb{R})$，满足 $\lVert f\rVert_1>0$，且 $\operatorname{supp} f$ 和 $\operatorname{supp}\widehat{f}$ 同时为紧集.

对任意的复数 $z=x+iy$，记 \[ F(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi i z\cdot t} \mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi i(x+iy)\cdot t} \mathrm{d}t. \] 则 $F$ 为解析函数且非零. 令 $y=0$，则 $F(x)=\widehat{f}(x)$.

设 $\operatorname{supp} f\subset[a,b]$，因为 $F$ 为连续函数，且对任意的闭路径 $\Gamma$，都有

$$ \begin{aligned} \int_\Gamma\Biggl(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi i z\cdot t} \mathrm{d}t\Biggr)dz &=\int_\Gamma\Biggl(\int_a^b f(t)e^{-2\pi i z\cdot t} \mathrm{d}t\Biggr)dz\\ &=\int_a^b f(t)\Biggl(\int_\Gamma e^{-2\pi i z\cdot t}dz\Biggr) \mathrm{d}t=0. \end{aligned} $$

故 $F$ 为解析函数.

另一方面，因为 $\operatorname{supp}\widehat{f}$ 也为紧集，令 $y=0$，则 $F(x)=\widehat{f}(x)$ 在实轴的一个正测度子集上为零. 这与“非零解析函数的零点是孤立点”相矛盾.

最后给出一个 $C_0(\mathbb{R})$ 中的函数，但不是 $L^1(\mathbb{R})$ 函数的 Fourier 变换的例子，这表明 $\widehat{L^1}\subsetneq C_0$.

引理. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，且 $\widehat{f}$ 为奇函数，那么 \[ \lim_{\substack{\varepsilon\to 0\\ N\to\infty}}\int_\varepsilon^N\frac{\widehat{f}(t)}{t} \mathrm{d}t \] 存在且有限.

*证明.* 若 $\widehat{f}$ 为奇函数，则

$$ \begin{aligned} \widehat{f}(t) &=\frac12\int_{\mathbb{R}}f(x)[e^{-2\pi i xt}-e^{2\pi i xt}] \mathrm{d}x\\ &=-i\int_{\mathbb{R}}f(x)\sin(2\pi xt) \mathrm{d}x\\ &=i\int_{\mathbb{R}}f(-x)\sin(2\pi xt) \mathrm{d}x \text{（变量替换）}. \end{aligned} $$

于是 \[ 2\widehat{f}(t)=\int_{\mathbb{R}}[if(-x)-if(x)]\sin(2\pi xt) \mathrm{d}x. \] 令 $F(x)=\dfrac{if(-x)-if(x)}{2}$，从而有 \[ \widehat{f}(t)=\int_{\mathbb{R}}F(x)\sin(2\pi xt) \mathrm{d}x. \] 因此

$$ \begin{aligned} \int_\varepsilon^N\frac{\widehat{f}(t)}{t} \mathrm{d}t &=\int_\varepsilon^N\frac1t\Biggl(\int_{\mathbb{R}}F(x)\sin(2\pi xt) \mathrm{d}x\Biggr) \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}}F(x)\Biggl(\int_\varepsilon^N\frac{\sin(2\pi xt)}{t} \mathrm{d}t\Biggr) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}}F(x)\Biggl(\int_{2\pi\varepsilon x}^{2\pi N x}\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t\Biggr) \mathrm{d}x \text{（变量替换）}. \end{aligned} $$

因为 \[ \int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t=\frac\pi2, \] 且 $F\in L^1(\mathbb{R}^n)$，以及 \[ \lvert \int_a^b\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t\rvert\le 4,\forall 0

$$ \begin{aligned} \lim_{\substack{\varepsilon\to 0\\ N\to\infty}}\int_\varepsilon^N\frac{\widehat{f}(t)}{t} \mathrm{d}t &=\lim_{\substack{\varepsilon\to 0\\ N\to\infty}} \int_{\mathbb{R}}F(x)\Biggl(\int_{2\pi\varepsilon x}^{2\pi N x}\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t\Biggr) \mathrm{d}x\\ &=\frac\pi2\int_{\mathbb{R}}F(x) \mathrm{sgn} x \mathrm{d}x<\infty. \end{aligned} $$

例（$\widehat{L^1}\subsetneq C_0$）. 令 \[ g(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\log x}, & x>e,\\[4pt] \dfrac{x}{e}, & -e\le x\le e,\\[4pt] -\dfrac{1}{\log(-x)}, & x<-e. \end{cases} \] 则 $g\in C_0(\mathbb{R})$，且 $g$ 为奇函数. 但是 \[ \lim_{N\to\infty}\int_e^N\frac{g(t)}{t} \mathrm{d}t =\lim_{N\to\infty}\int_e^N\frac{ \mathrm{d}t}{t\log t} =\lim_{N\to\infty}\log(\log N)=\infty. \] 由上述引理可得 $g$ 不是任何 $L^1(\mathbb{R})$ 函数的 Fourier 变换.

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