analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 L^1 上的 Fourier 变换，下一篇是 L^2 上的 Fourier 变换。
Fourier 变换的反演
设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，称 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t \] 为 $f$ 的 Fourier 积分.
问题. 对于 $L^1(\mathbb{R}^n)$ 中的函数 $f$，是否有 \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t \] 成立？
这个问题称为 Fourier 变换的反演问题.
例. 设 $t\in\mathbb{R}$， \[ f(t)=\begin{cases} e^{-2\pi t}, & t\ge 0,\\ 0, & t<0. \end{cases} \] 则
$$ \begin{aligned} \widehat{f}(x) &=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t =\int_0^\infty e^{-2\pi(1+ix)t} \mathrm{d}t\\ &=-\frac{1}{2\pi(1+ix)}e^{-2\pi(1+ix)t}\Big|_0^\infty =\frac{1}{2\pi(1+ix)}\notin L^1(\mathbb{R}). \end{aligned} $$
这例子表明 $L^1(\mathbb{R}^n)$ 中函数的 Fourier 变换可能不可积. 因此， $\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t$ 可能不可积. 所以，问题是 $f$ 满足什么条件，下列等式成立 \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t? \]
\paragraph{求和问题.} \[ \lim_{R\to\infty}\int_{B(0,R)}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t=f(x)? \] 考虑 $n=1$，记 $S_R f(x)=\int_{-R}^{R}\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t$. 则
$$ \begin{aligned} S_R f(x) &=\int_{-R}^{R}\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t =\int_{-R}^{R}\Biggl(\int_{-\infty}^\infty f(u)e^{-2\pi i ut} \mathrm{d}u\Biggr)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(u)\Biggl(\int_{-R}^{R}e^{2\pi i(x-u)t} \mathrm{d}t\Biggr) \mathrm{d}u\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(u)\frac{\sin 2\pi R(x-u)}{\pi(x-u)} \mathrm{d}u =\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\frac{\sin 2\pi R t}{\pi t} \mathrm{d}t. \end{aligned} $$
记 $D(t)=\dfrac{\sin 2\pi t}{\pi t}$，称 $D(t)$ 为 Dirichlet 核，则 \[ S_R f(x)=(f*D_{R^{-1}})(x). \] 此外，对于任意的 $f\in L^p(\mathbb{R})$，$1\le p<\infty$，卷积 $(f*D_{R^{-1}})(x)$ 都有定义， 所以可以考虑问题：$\lim_{R\to\infty}S_R f(x)=f(x)$？（依 $L^p$ 范收敛性、点态收敛性）
\paragraph{算术平均求和问题.} 设 $n=1$，对 $T>0$，考虑
$$ \begin{aligned} \sigma_T(x) &=\frac1T\int_0^T S_R f(x) dR =\frac1T\int_0^T\Biggl(\int_{-R}^{R}\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t\Biggr)dR\\ &=\frac1T\int_0^T\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt}\Biggl(\int_t^T dR\Biggr) \mathrm{d}t +\frac1T\int_{-T}^{0}\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt}\Biggl(\int_{-t}^{T}dR\Biggr) \mathrm{d}t\\ &=\int_{-T}^{T}\Biggl(1-\frac{\lvert t\rvert}{T}\Biggr)\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t. \end{aligned} $$
如果 $\lim_{T\to+\infty}\sigma_T(x)=S$，则称 $f$ 的 Fourier 积分在点 $x$ 处可算术平均求和于 $S$. 记 \[ \Phi(t)=\begin{cases} 1-\lvert t\rvert, & \lvert t\rvert\le 1,\\ 0, & \lvert t\rvert>1. \end{cases} \] 则 \[ \sigma_T(x)=\int_{-\infty}^\infty\Phi(\frac tT)\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t. \] 记 $K(t)=\widehat{\Phi}(t)$，计算得
$$ \begin{aligned} K(t) &=\int_{\mathbb{R}}\Phi(x)e^{-2\pi i xt} \mathrm{d}x =\int_{-1}^{1}(1-\lvert x\rvert)e^{-2\pi i xt} \mathrm{d}x\\ &=\int_0^1(1-x) 2\cos(2\pi xt) \mathrm{d}x =\frac{1-\cos 2\pi t}{2\pi^2 t^2} =\Biggl(\frac{\sin\pi t}{\pi t}\Biggr)^2. \end{aligned} $$
引理. 设 $f,\Phi\in L^1(\mathbb{R}^n)$，且 $\varphi(x)=\widehat{\Phi}(x)$. 则对任意的 $\varepsilon>0$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}\Phi(\varepsilon x) \mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi_\varepsilon(x-t) \mathrm{d}x =(f*\widetilde{\varphi}_\varepsilon)(t). \] 记号：$\widetilde{\varphi}(x):=\varphi(-x)$ 是 $\varphi$ 的反射.
*证明.* 运用乘法公式
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}\Phi(\varepsilon x) \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)[e^{2\pi i(\cdot)\cdot t}\Phi(\varepsilon\cdot)]^\wedge(x) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x) T_t(\Phi(\varepsilon\cdot))^\wedge(x) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)(\Phi(\varepsilon\cdot))^\wedge(x-t) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\frac1{\varepsilon^n}\widehat{\Phi}(\frac{x-t}{\varepsilon}) \mathrm{d}x. \end{aligned} $$
又因为 $\varphi(x)=\widehat{\Phi}(x)$，所以
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}\Phi(\varepsilon x) \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\frac1{\varepsilon^n}\varphi(\frac{x-t}{\varepsilon}) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi_\varepsilon(x-t) \mathrm{d}x =(f*\widetilde{\varphi}_\varepsilon)(t). \end{aligned} $$
推论. 设 $f,\Phi\in L^1(\mathbb{R}^n)$，且 $\varphi(x)=\widehat{\Phi}(x)\in L^1(\mathbb{R}^n)$，以及 $\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=1$. 那么
1. \[ \lVert \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot(\cdot)}\Phi(\varepsilon x) \mathrm{d}x-f(\cdot)\rVert_1\to 0, \varepsilon\to 0. \] 2. 若 $\varphi$ 的径向递减控制函数 $\psi\in L^1(\mathbb{R}^n)$，那么 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}\Phi(\varepsilon x) \mathrm{d}x\to f(t),\ \text{a.e.}, \varepsilon\to 0. \]
*证明.* (i) 由引理， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}\Phi(\varepsilon x) \mathrm{d}x=(f*\widetilde{\varphi}_\varepsilon)(t). \] 又因为 $\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=1$，则 $\int_{\mathbb{R}^n}\widetilde{\varphi}(x) \mathrm{d}x=1$. 由恒等逼近算子依 $L^p$ 范数收敛性， \[ \lVert f*\widetilde{\varphi}_\varepsilon-f\rVert_1\to 0,\varepsilon\to 0. \] (ii) 由恒等逼近算子点态收敛性， \[ f*\widetilde{\varphi}_\varepsilon(t)\to f(t),\ \text{a.e.},\varepsilon\to 0. \]
回到 $f$ 的 Fourier 积分的算术平均求和：由引理
$$ \begin{aligned} \sigma_T(x) &=\int_{-\infty}^\infty\Phi(\frac tT)\widehat{f}(t)e^{2\pi i xt} \mathrm{d}t =\int_{-\infty}^\infty f(t)K_{T^{-1}}(t-x) \mathrm{d}t\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(t) T\Biggl[\frac{\sin\pi T(t-x)}{\pi T(t-x)}\Biggr]^2 \mathrm{d}t\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(x+u)\frac1T\Biggl[\frac{\sin\pi T u}{\pi u}\Biggr]^2 \mathrm{d}u\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\frac1T\Biggl[\frac{\sin\pi T t}{\pi t}\Biggr]^2 \mathrm{d}t. \end{aligned} $$
记 $F(x)=(\dfrac{\sin\pi x}{\pi x})^2$，称 $F(x)$ 为 Fejer 核. 从而有 \[ \sigma_T(x)=(f*F_{T^{-1}})(x). \]
令 $\Phi(x)=e^{-\lvert x\rvert}$，如果 \[ \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi\varepsilon\lvert t\rvert}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t=S, \] 则称 $f$ 的 Fourier 积分在点 $x$ 处可 Abel 求和于 $S$.
令 $\Phi(x)=e^{-\lvert x\rvert^2}$，如果 \[ \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert t\rvert^2}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t=S, \] 则称 $f$ 的 Fourier 积分在点 $x$ 处可 Gauss 求和于 $S$.
定理. 1. \[ (e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert \cdot \rvert^2})^\wedge(x) =W(x,\varepsilon)\equiv(4\pi\varepsilon)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4\varepsilon)}. \] 2. \[ (e^{-2\pi\varepsilon\lvert \cdot \rvert})^\wedge(x) =P_\varepsilon(x)\equiv C_n\frac{\varepsilon}{(\varepsilon^2+\lvert x\rvert^2)^{(n+1)/2}}. \]
*证明.* 只需分别验证 \[ (e^{-\pi\lvert \cdot \rvert^2})^\wedge(x)=e^{-\pi\lvert x\rvert^2},
(e^{-2\pi\lvert \cdot \rvert})^\wedge(x)=P(x). \]
(1) 记 \[ F(s)=\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi(x+is)^2} \mathrm{d}x, s\in\mathbb{R}. \] 因为 $\forall s$，
$$ \begin{aligned} F'(s) &=\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi(x+is)^2}(-2\pi i)(x+is) \mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}}i\Biggl(\frac{d}{dx}(e^{-\pi(x+is)^2})\Biggr) \mathrm{d}x=0. \end{aligned} $$
由 $F'(s)=0$，可得 $F(s)$ 为常数， \[ F(s)=F(0)=\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x=1. \] 从而
$$ \begin{aligned} (e^{-\pi\lvert \cdot \rvert^2})^\wedge(\xi) &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi\lvert x\rvert^2}e^{-2\pi i x\cdot\xi} \mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi\lvert x\rvert^2}e^{-2\pi i\sum_{j=1}^n x_j\xi_j} \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi\sum_{j=1}^n(x_j+i\xi_j)^2}e^{\pi\sum_{j=1}^n(i\xi_j)^2} \mathrm{d}x =\Biggl(\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi x^2} \mathrm{d}x\Biggr)^n e^{-\pi\lvert \xi\rvert^2} =e^{-\pi\lvert \xi\rvert^2}. \end{aligned} $$
(2) 令 $\phi(x)=e^{-2\pi\lvert x\rvert}$，利用复分析中的恒等式 \[ e^{-t}=\frac1{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}e^{-t^2/(4u)} \mathrm{d}u, t>0. \] 利用复变函数 $f(z)=\dfrac{1}{1+z^2}e^{itz}$ 在复平面上以原点为中心、$R>1$ 为半径的上半圆周上的积分运用留数定理可得.
计算
$$ \begin{aligned} \widehat{\phi}(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi\lvert y\rvert}e^{-2\pi i x\cdot y} \mathrm{d}y\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\frac1{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}e^{-4\pi^2\lvert y\rvert^2/(4u)} \mathrm{d}u\Biggr)e^{-2\pi i x\cdot y} \mathrm{d}y\\ &=\frac1{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi^2\lvert y\rvert^2/u}e^{-2\pi i x\cdot y} \mathrm{d}y\Biggr) \mathrm{d}u. \end{aligned} $$
由结论 (i) \[ (e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert \cdot \rvert^2})^\wedge(x)=(4\pi\varepsilon)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4\varepsilon)}. \] 令 $\varepsilon=\dfrac{1}{4u}$，则 \[ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi^2\lvert y\rvert^2/u}e^{-2\pi i x\cdot y} \mathrm{d}y =(e^{-\pi^2\lvert \cdot \rvert^2/u})^\wedge(x) =(\frac\pi u)^{-n/2}e^{-u\lvert x\rvert^2}. \] 因此，
$$ \begin{aligned} \widehat{\phi}(x) &=\frac1{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi^2\lvert y\rvert^2/u}e^{-2\pi i x\cdot y} \mathrm{d}y\Biggr) \mathrm{d}u\\ &=\frac1{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}(\frac\pi u)^{-n/2}e^{-u\lvert x\rvert^2} \mathrm{d}u =\pi^{-(n+1)/2}\int_0^\infty e^{-u(1+\lvert x\rvert^2)}u^{(n-1)/2} \mathrm{d}u. \end{aligned} $$
利用变量替换：$s=(1+\lvert x\rvert^2)u$，则
$$ \begin{aligned} \widehat{\phi}(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi\lvert y\rvert}e^{-2\pi i x\cdot y} \mathrm{d}y =\pi^{-(n+1)/2}\int_0^\infty e^{-u(1+\lvert x\rvert^2)}u^{(n-1)/2} \mathrm{d}u\\ &=\pi^{-(n+1)/2}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert^2)^{(n+1)/2}}\int_0^\infty s^{(n-1)/2}e^{-s} \mathrm{d}s =\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{(n+1)/2}}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert^2)^{(n+1)/2}} =P(x). \end{aligned} $$
故 \[ (e^{-2\pi\lvert \cdot \rvert})^\wedge(x)=P(x). \]
定理. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则
1. \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert} \mathrm{d}x =(f*\widetilde{P}_\varepsilon)(t)=(f*P_\varepsilon)(t). \] 2. \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert x\rvert^2} \mathrm{d}x =(f*\widetilde{W}(\cdot,\varepsilon))(t) =(f*W(\cdot,\varepsilon))(t). \]
*证明.* 结合性质 \[ (e^{-2\pi\varepsilon\lvert \cdot \rvert})^\wedge(x)=P_\varepsilon(x),
(e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert \cdot \rvert^2})^\wedge(x)=W(x,\varepsilon). \] 再运用引理可得.
利用恒等逼近核性质可得
推论. (1) 设 $f\in L^1(\mathbb{R})$，则 $f$ 的 Fourier 积分以 $L^1$ 范数可算术平均求和于 $f(x)$，即 \[ \lVert \sigma_T-f\rVert_1\to 0, T\to+\infty. \] (2) 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 $f$ 的 Fourier 积分以 $L^1$ 范数可 Abel 求和于 $f(x)$，可 Gauss 求和于 $f(x)$，即
$$ \begin{aligned} \lVert u(\cdot,\varepsilon)-f\rVert_1&\to 0,\varepsilon\to 0^+,\\ \lVert G(\cdot,\varepsilon)-f\rVert_1&\to 0,\varepsilon\to 0^+. \end{aligned} $$
*证明.* 因为
$$ \begin{aligned} \sigma_T(x)&=(f*F_{T^{-1}})(x),\\ u(x,\varepsilon)&=(f*P_\varepsilon)(x),\\ G(x,\varepsilon)&=(f*W(\cdot,\varepsilon))(x). \end{aligned} $$
注意到 Fejer 核 $F_{T^{-1}}(x)$， \[ F(x)=\Biggl(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\Biggr)^2, \] Poisson 核 $P_\varepsilon(x)$， \[ P(x)=c_n\frac{1}{(1+\lvert x\rvert^2)^{(n+1)/2}}, \] 以及 G–W 核 \[ W(x,\varepsilon)=W_{\sqrt{4\pi\varepsilon}}(x)=(4\pi\varepsilon)^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2/(4\varepsilon)}. \] 都是恒等逼近核：可积且积分为 $1$.
利用恒等逼近算子的点态收敛定理可得
推论. (1) 设 $f\in L^1(\mathbb{R})$，则 $f$ 的 Fourier 积分在 $f$ 的 Lebesgue 点 $x$ 处可算术平均求和于 $f(x)$，即 \[ \sigma_T(x)\to f(x), T\to+\infty. \] 从而可得 $f$ 的 Fourier 积分几乎处处可算术平均求和于 $f(x)$.
(2) 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 $f$ 的 Fourier 积分几乎处处可 Abel 求和于 $f(x)$，几乎处处可 Gauss 求和于 $f(x)$，即
$$ \begin{aligned} \lim_{\varepsilon\to 0^+}u(x,\varepsilon)&=f(x),\ \text{a.e.}\\ \lim_{\varepsilon\to 0^+}G(x,\varepsilon)&=f(x),\ \text{a.e.} \end{aligned} $$
*证明.* 这是因为
$$ \begin{aligned} \sigma_T(x)&=(f*F_{T^{-1}})(x), F(x)=\Biggl(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\Biggr)^2,\\ 0\le F(x)&=\Biggl(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\Biggr)^2\le\frac{C}{1+x^2}\in L^1(\mathbb{R}).\\ u(x,\varepsilon)&=(f*P_\varepsilon)(x), P(x)=\frac1\pi\frac{1}{x^2+1}\in L^1(\mathbb{R}).\\ G(x,\varepsilon)&=(f*W(\cdot,\varepsilon))(x), W(x)=e^{-\pi x^2}\in L^1(\mathbb{R}). \end{aligned} $$
这些核函数都满足恒等逼近算子的点态收敛定理的前提条件.
定理（Fourier 变换反演公式）. 设 $f,\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)$，那么 \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t,\text{a.e.} \] 特别地，上式在 $f$ 的 Lebesgue 点处成立.
*证明.* 由定理 2 知 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert t\rvert^2} \mathrm{d}t =(f*W(\cdot,\varepsilon))(x). \] 因为 \[ \lvert \widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert t\rvert^2}\rvert\le\lvert \widehat{f}(t)\rvert\in L^1(\mathbb{R}^n). \] 运用控制收敛定理
$$ \begin{aligned} \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert t\rvert^2} \mathrm{d}t &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t}\Biggl(\lim_{\varepsilon\to 0}e^{-4\pi^2\varepsilon\lvert t\rvert^2}\Biggr) \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t. \end{aligned} $$
另一方面，由恒等逼近算子点态收敛性 \[ \lim_{\varepsilon\to 0}(f*W(\cdot,\varepsilon))(x)=f(x),\text{a.e.} \] 因此， \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t,\text{a.e.} \]
注. (1) 如果 $f,\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)$ 且 $f$ 连续，那么定理 3 的结论处处成立. 因为如果 $f$ 连续，则每个点都是 Lebesgue 点.
(2) 因为 $(e^{-2\pi\varepsilon\lvert \cdot \rvert})^\wedge(x)=P_\varepsilon(x)$，运用定理 3， \[ e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert}=\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t \] 处处成立. 令 $x=0$，则有 $\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(t) \mathrm{d}t=1$. 同时又有
$$ \begin{aligned} e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert} &=\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(t)e^{-2\pi i x\cdot(-t)} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(-t)e^{-2\pi i x\cdot(-t)} \mathrm{d}t =\widehat{P}_\varepsilon(x). \end{aligned} $$
定理. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，$\widehat{f}(x)\ge 0$ 且 $f$ 在 $x=0$ 处连续，那么 $\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)$，进而有 \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t,\text{a.e.} \] 特别地，$f(0)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t) \mathrm{d}t$.
*证明.* 利用 \[ (e^{-2\pi\varepsilon\lvert \cdot \rvert})^\wedge(x)=P_\varepsilon(x) \] 以及乘法公式， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{-2\pi\varepsilon\lvert t\rvert} \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)P_\varepsilon(t) \mathrm{d}t=(f*P_\varepsilon)(0). \] 因为 $f$ 在 $x=0$ 处连续，则 $x=0$ 是 Lebesgue 点. 故 \[ f(0)=\lim_{\varepsilon\to 0}(f*P_\varepsilon)(0) =\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{-2\pi\varepsilon\lvert t\rvert} \mathrm{d}t. \] 又因为 $\widehat{f}(x)\ge 0$，运用 Fatou 引理，
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t) \mathrm{d}t &=\int_{\mathbb{R}^n}(\lim_{\varepsilon\to 0}e^{-2\pi\varepsilon\lvert t\rvert})\widehat{f}(t) \mathrm{d}t\\ &\le\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{-2\pi\varepsilon\lvert t\rvert} \mathrm{d}t=f(0). \end{aligned} $$
这表明 $\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)$，从而反演公式成立.
定理（$L^1$ 函数 Fourier 变换的唯一性）. 设 $f_1,f_2\in L^1(\mathbb{R}^n)$，且对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，$\widehat{f}_1(x)=\widehat{f}_2(x)$，那么 $f_1=f_2$，a.e.
*证明.* 令 $f=f_1-f_2$，有 $\forall x\in\mathbb{R}^n$ \[ \widehat{f}(x)=\widehat{f}_1(x)-\widehat{f}_2(x)=0. \] 运用反演公式， \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t,\text{a.e.} \] 所以 $f=0$，a.e.，可见 $f_1=f_2$，a.e.
定义. 设 $\alpha>0$，记 $\Phi_\alpha(x)=(1-\lvert x\rvert^2)^\alpha\chi_{\lvert x\rvert<1}$. 称 \[ B_R^\alpha f(x):=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t}\Phi_\alpha(\frac tR) \mathrm{d}t \] 为 $f$ 的 Fourier 积分的 Bochner–Riesz 平均.
问题. $\lim_{R\to\infty}B_R^\alpha f(x)=f(x)$？（依 $L^p$ 范收敛性、点态收敛性）
依 $L^p$ 范收敛性 $\Longleftrightarrow$ $\lVert B_R^\alpha f\rVert_p\le C_p\lVert f\rVert_p$，$\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$. 另一方面，因为 $B_R^\alpha f(x)=B_1^\alpha(f(\cdot/R))(Rx)$，所以 \[ \lVert B_R^\alpha f\rVert_p\le C_p\lVert f\rVert_p \Longleftrightarrow \lVert B_1^\alpha f\rVert_p\le C_p\lVert f\rVert_p. \]
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