analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 反演公式，下一篇是 复测度的 Fourier 变换。
Fourier 变换的 $L^2$ 理论
定理（Plancherel）. 设 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，则 $\widehat{f}\in L^2(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert f\rVert_2=\lVert \widehat{f}\rVert_2. \]
*证明.* 对任意的 $f\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，令 \[ g(x)=\overline{f(-x)}, \] 则 $g\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，且 $\widehat{g}=\overline{\widehat{f}}$. 记 $h=f*g$，由 Young 不等式，$h\in L^1(\mathbb{R}^n)$ 且
$$ \begin{aligned} \widehat{h}(x) &=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x)=\widehat{f}(x)\overline{\widehat{f}(x)} =\lvert \widehat{f}(x)\rvert^2\ge 0. \end{aligned} $$
由卷积的一致连续性，$h$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致连续.
可见 $h\in L^1(\mathbb{R}^n)$，$h$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致连续，且 $\widehat{h}(x)\ge 0$. 最后应用 3.2 节定理 4， \[ h(0)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{h}(x) \mathrm{d}x. \] 因此
$$ \begin{aligned} \lVert \widehat{f}\rVert_2^2 &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{h}(x) \mathrm{d}x=h(0)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)g(-t) \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\overline{f(t)} \mathrm{d}t=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(t)\rvert^2 \mathrm{d}t =\lVert f\rVert_2^2. \end{aligned} $$
定义（$L^2(\mathbb{R}^n)$ 上的 Fourier 变换）. 因为 $L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中的稠密性，则 $\forall g\in L^2(\mathbb{R}^n)$，取 $\{g_k\}\subset L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 $\lVert g_k-g\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 从而 \[ \lVert \widehat{g}_k-\widehat{g}_l\rVert_2=\lVert (g_k-g_l)^\wedge\rVert_2=\lVert g_k-g_l\rVert_2\to 0, k,l\to\infty. \] 这表明 $\{\widehat{g}_k\}$ 为 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中的柯西列，故存在 $\widetilde{g}\in L^2(\mathbb{R}^n)$， \[ \lVert \widehat{g}_k-\widetilde{g}\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 定义 $\widehat{g}(x)=\widetilde{g}(x)$. 由 Plancherel 定理， \[ \lVert \widehat{g}\rVert_2=\lim_{k\to\infty}\lVert \widehat{g}_k\rVert_2=\lim_{k\to\infty}\lVert g_k\rVert_2=\lVert g\rVert_2. \]
对任意的 $g\in L^2(\mathbb{R}^n)$，$\widetilde{g}$ 在几乎处处意义下是唯一的. 设存在 $\{g_k\},\{h_k\}\subset L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert g_k-g\rVert_2\to 0, \lVert h_k-g\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 分别记 $\{\widehat{g}_k\}$ 和 $\{\widehat{h}_k\}$ 在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中极限为 $\widetilde{g}$ 和 $\widetilde{h}$. 下证 $\widetilde{g}=\widetilde{h}$，a.e.
$$ \begin{aligned} \lVert \widetilde{g}-\widetilde{h}\rVert_2 &\le\lVert \widetilde{g}-\widehat{g}_k\rVert_2+\lVert \widehat{g}_k-\widehat{h}_k\rVert_2+\lVert \widehat{h}_k-\widetilde{h}\rVert_2\\ &\le\lVert \widetilde{g}-\widehat{g}_k\rVert_2+\lVert g_k-h_k\rVert_2+\lVert \widehat{h}_k-\widetilde{h}\rVert_2\\ &\le\lVert \widetilde{g}-\widehat{g}_k\rVert_2+\lVert g_k-g\rVert_2+\lVert g-h_k\rVert_2+\lVert \widehat{h}_k-\widetilde{h}\rVert_2\\ &\to 0(k\to\infty). \end{aligned} $$
故 $\widetilde{g}=\widetilde{h}$，a.e.
至此，我们定义了 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中函数的 Fourier 变换. 由上面讨论可知，$L^2(\mathbb{R}^n)$ 中函数 $f$ 的 Fourier 变换与基本列的选取无关，通常作如下选取比较方便： \[ f_k(x)=f(x)\chi_{\lvert x\rvert\le k}, k\in\mathbb{N}. \] 则 $\widehat{f}(x)$ 是 \[ \int_{B(0,k)}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t \] 在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中的极限.
定理. 对任意的 $f,g\in L^2(\mathbb{R}^n)$，
1. 乘法公式 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x. \] 2. Parseval 等式 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x. \]
*证明.* (a) 由 3.1 节得对任意的 $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，乘法公式成立.
(1) 先考虑任意的 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，取 $f_k\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ \lVert f_k-f\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 从而对于任意的 $\widehat{g}\in L^2(\mathbb{R}^n)$，有 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f_k(x)-f(x)\rvert \lvert \widehat{g}(x)\rvert \mathrm{d}x\le\lVert f_k-f\rVert_2\lVert \widehat{g}\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 这表明 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f_k(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x\to\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x, k\to\infty. \] 因为乘法公式对 $f_k,g$ 成立： \[ \int_{\mathbb{R}^n}f_k(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}_k(x)g(x) \mathrm{d}x. \] 前面已得 \[ \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x. \] 同样，因为 $\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 所以 \[ \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}_k(x)g(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x. \] 因此 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x. \]
(2) 再考虑任意的 $f,g\in L^2(\mathbb{R}^n)$，取 $g_k\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ \lVert g_k-g\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 由 (1) 的结论， \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}_k(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g_k(x) \mathrm{d}x. \] 因为 $\lVert g_k-g\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 故 \[ \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g_k(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x. \] 另一方面，$\lVert \widehat{g}_k-\widehat{g}\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 故 \[ \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}_k(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x. \] 从而 $\forall f,g\in L^2(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x. \]
(b) 由 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的极化恒等式
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x &=\langle f,g\rangle =\frac14\{\lVert f+g\rVert_2^2-\lVert f-g\rVert_2^2+i\lVert f+ig\rVert_2^2-i\lVert f-ig\rVert_2^2\}, \end{aligned} $$
以及
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x &=\langle \widehat{f},\widehat{g}\rangle =\frac14\{\lVert \widehat{f}+\widehat{g}\rVert_2^2-\lVert \widehat{f}-\widehat{g}\rVert_2^2+i\lVert \widehat{f}+i\widehat{g}\rVert_2^2-i\lVert \widehat{f}-i\widehat{g}\rVert_2^2\}. \end{aligned} $$
再利用 Plancherel 定理：$\lVert \widehat{f}\rVert_2=\lVert f\rVert_2$，可推导出 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x. \]
定理. 设 $\mathcal{F}$ 是 Fourier 变换，则 $\mathcal{F}$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的有界线性算子，且为等距双射，即 $\mathcal{F}$ 既是双射，对任意的 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$，有 $\lVert \mathcal{F}f\rVert_2=\lVert f\rVert_2$.
*证明.* 由 Plancherel 定理得 \[ \lVert \mathcal{F}f\rVert_2=\lVert \widehat{f}\rVert_2=\lVert f\rVert_2. \] 从而 $\mathcal{F}$ 必是单射. 下证 $\mathcal{F}$ 是满射.
令 \[ E=\{\widehat{g}:g\in L^2(\mathbb{R}^n)\}. \] 则 $E$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的闭子空间.
原因如下，$\forall\{\widehat{f}_k\}\subset E$，且 $\lVert \widehat{f}_k-g\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 由 Plancherel 定理 \[ \lVert f_m-f_n\rVert_2=\lVert \widehat{f}_m-\widehat{f}_n\rVert_2\to 0, m,n\to\infty. \] 所以 $\{f_k\}$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中的柯西列. 故存在 $f_0\in L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ \lVert f_k-f_0\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 应用 Plancherel 定理， \[ \lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}_0\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 又因为 $\lim_{k\to\infty}\lVert \widehat{f}_k-g\rVert_2=0$，所以 $g(x)=\widehat{f}_0(x)$，a.e. 这表明 $E$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的闭子空间.
假如 $E$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的闭真子空间，由 Hilbert 空间的正交分解定理，存在非零函数 $g\in L^2(\mathbb{R}^n)\setminus E$，且 $\forall\widehat{f}\in E$，有 $\langle \widehat{f},g\rangle=0$. 利用乘法公式，$\forall f\in L^2(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x=0. \] 进而有 \[ \lVert g\rVert_2=\lVert \overline{g}\rVert_2=\lVert \widehat{g}\rVert_2 =\sup_{\lVert f\rVert_2\le 1}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x\rvert=0. \] 则 $g=0$，a.e. 这表明 $E$ 不是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 的闭真子空间，故 $E=L^2(\mathbb{R}^n)$.
定理. 对任意的 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$，有 $\widehat{\widehat{f}}(-x)=f(x)$，a.e.，换言之，$\widehat{\widehat{f}}=\widetilde{f}$，a.e.
*证明.* (1) 先证明 $\forall\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，$\widehat{\widehat{f}}(-x)=f(x)$，a.e.
(i) $\forall g\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\widehat{f}}(-x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\Biggr)\overline{g(x)} \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\overline{g(x)}e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}x\Biggr)\widehat{f}(t) \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)\overline{\widehat{g}(t)} \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\overline{g(t)} \mathrm{d}t. \end{aligned} $$
(ii) $\forall g\in L^2(\mathbb{R}^n)$，取 $\{g_k\}\subset L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 $\lVert g_k-g\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 由 (i) 的结论， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\widehat{f}}(-x)\overline{g_k(x)} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g_k(x)} \mathrm{d}x. \] 因为 $\lim_{k\to\infty}\lVert g_k-g\rVert_2=0$，对上式取极限得 $\forall g\in L^2(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\widehat{f}}(-x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x. \] 所以 $\forall\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，$\widehat{\widehat{f}}(-x)=f(x)$，a.e.
(2) 再考虑 $\forall\widehat{f}\in L^2(\mathbb{R}^n)$，存在 $\{\widehat{f}_k\}\subset L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 $\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\to 0$，$k\to\infty$. 由 (1) 的结论，$\widehat{\widehat{f}_k}=\widetilde{f}_k$，a.e. 于是 \[ \lVert \widehat{\widehat{f}_k}-\widetilde{f}\rVert_2=\lVert \widetilde{f}_k-\widetilde{f}\rVert_2=\lVert f_k-f\rVert_2=\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\to 0. \] 另一方面， \[ \lVert \widehat{\widehat{f}_k}-\widehat{\widehat{f}}\rVert_2=\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\to 0. \] 综合两式可得 $\widehat{\widehat{f}}=\widetilde{f}$，a.e.
推论（$L^2$ 函数 Fourier 变换的唯一性）. 设 $f_1,f_2\in L^2(\mathbb{R}^n)$，且对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，$\widehat{f}_1(x)=\widehat{f}_2(x)$，则 $f_1=f_2$，a.e.
*证明.* 由定理 4， \[ (\widehat{f}_1-\widehat{f}_2)^\wedge=\widetilde{f}_1-\widetilde{f}_2,\text{a.e.} \] 因为 \[ \widehat{f}_1(x)=\widehat{f}_2(x),\forall x\in\mathbb{R}^n, \] 所以 $\widetilde{f}_1(x)-\widetilde{f}_2(x)=0$，a.e. 故 $f_1=f_2$，a.e.
或运用 Plancherel 定理， \[ \lVert f_1-f_2\rVert_2=\lVert \widehat{f}_1-\widehat{f}_2\rVert_2=0. \] 故 $f_1=f_2$，a.e.
定理. 设 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 \[ (f*g)^\wedge(x)=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x),\text{a.e.} \]
*证明.* 取 $\{f_k\}\subset L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ \lVert f_k-f\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 由 Plancherel 定理 \[ \lVert (f_k*g)^\wedge-(f*g)^\wedge\rVert_2=\lVert f_k*g-f*g\rVert_2. \] 再利用 Young 不等式 \[ \lVert (f_k*g)^\wedge-(f*g)^\wedge\rVert_2=\lVert f_k*g-f*g\rVert_2\le\lVert f_k-f\rVert_2\lVert g\rVert_1\to 0. \] 另一方面， \[ (f_k*g)^\wedge=\widehat{f}_k(x)\widehat{g}(x). \] 从而
$$ \begin{aligned} \lVert (f_k*g)^\wedge-\widehat{f}\widehat{g}\rVert_2 &=\lVert \widehat{f}_k\widehat{g}-\widehat{f}\widehat{g}\rVert_2 =\lVert (\widehat{f}_k-\widehat{f})\widehat{g}\rVert_2\\ &\le\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\lVert \widehat{g}\rVert_\infty \le\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\lVert g\rVert_1 \le\lVert f_k-f\rVert_2\lVert g\rVert_1\to 0. \end{aligned} $$
综合可得 \[ (f*g)^\wedge(x)=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x),\text{a.e.} \]
定义（$L^p(\mathbb{R}^n)$ 上的 Fourier 变换（$1
当 $1 性质. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$g\in L^1(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le 2$，则 \[ (f*g)^\wedge(x)=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x),\text{a.e.} \] *证明.* 记 $h=f*g$，则 $h\in L^p(\mathbb{R}^n)$，故 $h$ 的 Fourier 变换有意义. 分解 $f=f_1+f_2$，其中 $f_1\in L^1(\mathbb{R}^n)$，$f_2\in L^2(\mathbb{R}^n)$. 于是 $$ \begin{aligned} \widehat{h}(x) &=(f_1*g)^\wedge(x)+(f_2*g)^\wedge(x) =\widehat{f}_1(x)\widehat{g}(x)+\widehat{f}_2(x)\widehat{g}(x)\\ &=(\widehat{f}_1+\widehat{f}_2)\widehat{g}(x)=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x),\text{a.e.} \end{aligned} $$ 性质（Hausdorff–Young 不等式）. 设 $1\le p\le 2$，Fourier 变换 $\mathcal{F}$ 是 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^{p'}(\mathbb{R}^n)$ 的有界线性算子，且 $\lVert \widehat{f}\rVert_{p'}\le\lVert f\rVert_p$. *证明.* 因为 Fourier 变换 $\mathcal{F}$ 是 $(1,\infty)$ 型：$\lVert \widehat{f}\rVert_\infty\le\lVert f\rVert_1$；Fourier 变换 $\mathcal{F}$ 也是 $(2,2)$ 型：$\lVert \widehat{f}\rVert_2\le\lVert f\rVert_2$. 运用 Riesz–Thorin 插值定理，Fourier 变换 $\mathcal{F}$ 是 $(p,p')$ 型：$\lVert \widehat{f}\rVert_{p'}\le\lVert f\rVert_p$. 注. 对 $L^p(\mathbb{R}^n)$（$1\le p\le 2$）的函数 $f$ 的 Fourier 变换已有定义，但当 $f\notin L^1(\mathbb{R}^n)$，$\widehat{f}(x)$ 不能写成 $\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t$. 上一篇：反演公式。下一篇：复测度的 Fourier 变换。回到 目录。