复测度的 Fourier 变换

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 L^2 上的 Fourier 变换，下一篇是 复测度的卷积。

复测度的 Fourier 变换

\paragraph{回顾：复测度.} 设 $\mathcal{B}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 Borel 代数. 称集合函数 $\mu$ 是 $\mathcal{B}$ 上的复测度，如果 $\mu$ 满足

1. $\mu:\mathcal{B}\to\mathbb{C}$； 2. $\mu(\emptyset)=0$； 3. 可列可加性，即 \[ \mu\Biggl(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\Biggr)=\sum_{j=1}^\infty\mu(E_j), \] 其中 $\{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal{B}$ 且当 $j\neq k$ 时，$E_j\cap E_k=\emptyset$.

显然，$\mathcal{B}$ 上的有限测度就是非负实值的复测度.

性质. 设 $\mu$ 是 $\mathcal{B}$ 上的复测度，记 \[ \lvert \mu\rvert(E)=\sup_{\substack{E=\bigcup E_j\\ E_j\cap E_k=\emptyset}}\sum_{j=1}^\infty\lvert \mu(E_j)\rvert, E_j\in\mathcal{B}. \] 则

1. $\lvert \mu\rvert$ 是 $\mathcal{B}$ 上的有限测度，即 $\lvert \mu\rvert(\mathbb{R}^n)<\infty$. 2. 对任意的 $E\in\mathcal{B}$，有 $\lvert \mu(E)\rvert\le\lvert \mu\rvert(E)\le\lvert \mu\rvert(\mathbb{R}^n)$.

设 $\mu$ 是 $\mathcal{B}$ 上的复测度，若对任意的 $E\in\mathcal{B}$，有 \[ \sup\lvert \mu\rvert(K)=\lvert \mu\rvert(E)=\inf\lvert \mu\rvert(V), \] 则称 $\mu$ 是复正则测度，其中上确界取遍所有包含在 $E$ 中的紧集 $K$，下确界取遍所有包含 $E$ 的开集 $V$. 第一个等式称为内正则条件，第二个等式称为外正则条件. 记 $\mathcal{B}$ 上复正则测度的全体为 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$.

例. 设 $a\in\mathbb{R}^n$，定义在 $a$ 点的 Dirac 测度 $\delta_a$ 为：对于 Borel 可测集 $E$， \[ \delta_a(E)=\begin{cases} 1, & a\in E,\\ 0, & a\notin E. \end{cases} \] 当 $a=0$，将 $\delta_0$ 简记为 $\delta$.

例. 设 $\varphi\in L(\mathbb{R}^n)$，对于 Borel 可测集 $E$，令 \[ \mu_\varphi(E)=\int_E\varphi(x) \mathrm{d}x. \] 那么 $\lvert \mu_\varphi\rvert(E)=\int_E\lvert \varphi(x)\rvert \mathrm{d}x$.

定义. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$m$ 是 $\mathcal{B}$ 上的 $\sigma$-有限测度.

1. 如果对于任一个使得 $m(E)=0$ 的集合 $E\in\mathcal{B}$，都有 $\mu(E)=0$，则称 $\mu$ 关于 $m$ 绝对连续，记为 $\mu\ll m$. 2. 如果存在 $A\in\mathcal{B}$，使得 $\lvert \mu\rvert(A)=0$，$m(A^c)=0$，则称 $\mu$ 和 $m$ 为相互奇异的，记为 $\mu\perp m$.

性质（Jordan 分解定理）. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，则有下面的唯一分解 \[ \mu=\mu_1-\mu_2+i(\mu_3-\mu_4), \] 其中 $\mu_j\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$\mu_j\ge 0$，$1\le j\le 4$. 此外，$\mu_1\perp\mu_2$，$\mu_3\perp\mu_4$.

性质（Radon–Nikodym 定理）. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$m$ 是 $\mathcal{B}$ 上的 $\sigma$-有限测度. 如果 $\mu\ll m$，那么存在 $f\in L^1(m)$，使得对所有的 $E\in\mathcal{B}$，有 \[ \mu(E)=\int_E f dm. \] 此外，$\lvert \mu\rvert(\mathbb{R}^n)=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f\rvert dm=\lVert f\rVert_{L^1(m)}$.

性质（Lebesgue 分解定理）. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$m$ 是 $\mathcal{B}$ 上的 $\sigma$-有限测度. 则存在唯一的 $\mu_a,\mu_s\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，使得 $\mu=\mu_a+\mu_s$，其中 $\mu_a\ll m$ 且 $\mu_s\perp m$.

在 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 中定义加法和数乘：

$$ \begin{aligned} (\mu+\nu)(E)&=\mu(E)+\nu(E), \mu,\nu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n),\ E\in\mathcal{B};\\ (c\mu)(E)&=c\mu(E), E\in\mathcal{B},\ c\in\mathbb{C}. \end{aligned} $$

则 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的向量空间. 此外，如果记 $\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}=\lvert \mu\rvert(\mathbb{R}^n)$，则 $(\mathcal{M}(\mathbb{R}^n),\lVert \cdot \rVert_{\mathcal{M}})$ 为完备的赋范空间.

由 Riesz 表示定理，$\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 是 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 上的连续线性泛函全体：$\forall f\in C_0(\mathbb{R}^n)$ \[ \langle \mu,f\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x). \]

上述内容参考 Rudin：《实分析与复分析》第六章.

### 3.4 复测度的 Fourier 变换

定义. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ 且是 Borel 可测函数，$1\le p\le\infty$. 则 $f$ 与 $\mu$ 的卷积定义为 \[ (f*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-t) d\mu(t), x\in\mathbb{R}^n. \]

例. 对于 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$. 若 $\mu=\delta_a$，则 \[ (f*\delta_a)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-t) d\delta_a(t)=f(x-a). \] 若 $\mu=\mu_\varphi$，则 \[ (f*\mu_\varphi)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-t)\varphi(t) \mathrm{d}t=(f*\varphi)(x). \]

定理. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ 且是 Borel 可测函数，$1\le p\le\infty$，则 $f*\mu\in L^p(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert f*\mu\rVert_p\le\lVert f\rVert_p\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \]

*证明.* 若 $1\le p<\infty$，利用 Minkowski 积分不等式

$$ \begin{aligned} \Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert (f*\mu)(x)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p} &=\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x-t) d\mu(t)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p}\\ &\le\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-t)\rvert d\lvert \mu\rvert(t)\Biggr)^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p}\\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-t)\rvert^p \mathrm{d}x\Biggr)^{1/p}d\lvert \mu\rvert(t) =\lVert f\rVert_p\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \end{aligned} $$

若 $p=\infty$，Minkowski 积分不等式仍成立.

若将 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 看作是商空间 $L^p(\mathbb{R}^n)/N$，其中 \[ N=\{f:\lVert f\rVert_p=0\}. \] 那么 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中元素 $f$ 是 $f$ 所在等价类的代表. 此外，对任意的 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，存在 $\mathbb{R}^n$ 上的 Borel 可测函数 $g$，使得 $g=f$，a.e. 因此在讨论 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 函数与 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 中测度的卷积时，将此函数理解为 Borel 可测函数. 在此意义下，也可以定义 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 函数与 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 测度的卷积.

定义. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$. 则 $f$ 与 $\mu$ 的卷积定义为 \[ (f*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-t) d\mu(t), x\in\mathbb{R}^n. \]

定理. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$，则 $f*\mu\in L^p(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert f*\mu\rVert_p\le\lVert f\rVert_p\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \]

定理. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，$f\in C_0(\mathbb{R}^n)$，则 $f*\mu\in C_0(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \lVert f*\mu\rVert_\infty\le\lVert f\rVert_\infty\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \]

*证明.* 由 Riesz 表示定理，对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，$(f*\mu)(x)$ 均有限. 运用控制收敛定理，当 $x\to x_0$， \[ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}[f(x-t)-f(x_0-t)]d\mu(t)\rvert \le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-t)-f(x_0-t)\rvert d\lvert \mu\rvert(t)\to 0. \] 以及当 $\lvert x\rvert\to\infty$， \[ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x-t) d\mu(t)\rvert\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x-t)\rvert d\lvert \mu\rvert(t)\to 0. \]

定义. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，测度 $\mu$ 的 Poisson 积分为 \[ u(x,\varepsilon)\equiv(P_\varepsilon*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(x-t) d\mu(t) (\varepsilon>0), \] 其中 $P_\varepsilon(x)$ 为 Poisson 核.

同样，可以定义测度 $\mu$ 的 Gauss 积分： \[ G(x,\varepsilon)=(W(\cdot,\varepsilon)*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}W(x-t,\varepsilon) d\mu(t). \]

定理. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，那么有

1. 对 $\forall\varepsilon>0$，$\mu$ 的 Poisson 积分在 $\mathbb{R}^n$ 上处处存在. 2. 对任意的 $\varepsilon>0$，有 $\lVert P_\varepsilon*\mu\rVert_1\le\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}$. 3. 对任意的 $\varphi\in C_0(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)u(x,\varepsilon) \mathrm{d}x\to\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x) \mathrm{d}x,\varepsilon\to 0. \]

*证明.* (i) 注意到 $P_\varepsilon\in C_0$，结论由定理 2 可推得.

(ii) 因为 $P_\varepsilon\in L^1$，由定理 1， \[ \lVert P_\varepsilon*\mu\rVert_1\le\lVert P_\varepsilon\rVert_1\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}=\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \]

(iii) $\forall\varphi\in C_0(\mathbb{R}^n)$，

$$ \begin{aligned} &\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)u(x,\varepsilon) \mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x) \mathrm{d}x\rvert\\ &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(x-t) d\mu(t)\Biggr)\varphi(x) \mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x) \mathrm{d}x\rvert\\ &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(x-t)\varphi(x) \mathrm{d}x\Biggr)d\mu(t)-\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x) \mathrm{d}x\rvert\\ &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}(P_\varepsilon*\varphi)(t) d\mu(t)-\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x) \mathrm{d}x\rvert\\ &\le\lVert P_\varepsilon*\varphi-\varphi\rVert_\infty\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\to 0 (\varepsilon\to 0). \end{aligned} $$

定义. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，测度 $\mu$ 的 Fourier 变换为 \[ \widehat{\mu}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\mu(t), x\in\mathbb{R}^n. \]

例. Dirac 测度 $\delta_a$ 的 Fourier 变换为 \[ \widehat{\delta}_a(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\delta_a(t)=e^{-2\pi i x\cdot a}. \]

下面讨论测度 $\mu$ 的 Fourier 变换的性质.

定理. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，则

1. $\widehat{\mu}\in L^\infty$ 且 $\lVert \widehat{\mu}\rVert_\infty\le\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}$. 2. $\widehat{\mu}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致连续.

*证明.* (i) 由定义 \[ \lvert \widehat{\mu}(x)\rvert=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\mu(t)\rvert\le\int_{\mathbb{R}^n}d\lvert \mu\rvert(t)=\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \] (ii) 对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，$h\in\mathbb{R}^n$，

$$ \begin{aligned} \lvert \widehat{\mu}(x+h)-\widehat{\mu}(x)\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}[e^{-2\pi i(x+h)\cdot t}-e^{-2\pi i x\cdot t}]d\mu(t)\rvert\\ &\le\int_{\mathbb{R}^n}\lvert e^{-2\pi i h\cdot t}-1\rvert d\lvert \mu\rvert(t) =\int_{\mathbb{R}^n}\lvert 2\sin(\pi h\cdot t)\rvert d\lvert \mu\rvert(t)\to 0 (\lvert h\rvert\to 0). \end{aligned} $$

注. Riemann–Lebesgue 引理对 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 测度不成立.

例. $\widehat{\delta}\equiv 1\notin C_0$.

定理. 设 $\mu,\nu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$.

1. 乘法公式： \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\mu}(x) d\nu(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\nu}(x) d\mu(x). \] 2. 与卷积的关系：若 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le 2$，那么 \[ (f*\mu)^\wedge(x)=\widehat{f}(x)\widehat{\mu}(x). \] 3. 若 $f,\widehat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)$ 且 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上连续，那么 $$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x)&=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\widehat{\mu}(-\xi) \mathrm{d}\xi,\\ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x) d\mu(x)&=\int_{\mathbb{R}^n}f(\xi)\widehat{\mu}(\xi) \mathrm{d}\xi. \end{aligned} $$

*证明.* (i) 利用 Fubini 定理

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\mu}(x) d\nu(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\mu(t)\Biggr)d\nu(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\nu(x)\Biggr)d\mu(t) =\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\nu}(t) d\mu(t). \end{aligned} $$

(ii) 因为 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le 2$，由定理 1， \[ f*\mu\in L^p(\mathbb{R}^n), 1\le p\le 2. \] 从而 $(f*\mu)^\wedge$ 有定义. 先考虑 $\forall f\in L^1(\mathbb{R}^n)$，则 \[ \widehat{f}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t. \]

$$ \begin{aligned} (f*\mu)^\wedge(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}f(t-y) d\mu(y)\Biggr)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}f(t-y)e^{-2\pi i x\cdot(t-y)} \mathrm{d}t\Biggr)e^{-2\pi i x\cdot y} d\mu(y)\\ &=\widehat{f}(x)\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot y} d\mu(y)=\widehat{f}(x)\widehat{\mu}(x). \end{aligned} $$

再考虑 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$，取 $\{f_k\}\subset L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ \lVert f_k-f\rVert_2\to 0, k\to\infty. \] 由第一步得知 \[ (f_k*\mu)^\wedge(x)=\widehat{f}_k(x)\widehat{\mu}(x). \] 令 $k\to\infty$，由 Plancherel 定理和定理 1，

$$ \begin{aligned} \lVert (f_k*\mu)^\wedge-(f*\mu)^\wedge\rVert_2 &=\lVert f_k*\mu-f*\mu\rVert_2\le\lVert f_k-f\rVert_2\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\to 0,\\ \lVert \widehat{f}_k\widehat{\mu}-\widehat{f}\widehat{\mu}\rVert_2 &\le\lVert \widehat{f}_k-\widehat{f}\rVert_2\lVert \widehat{\mu}\rVert_\infty \le\lVert f_k-f\rVert_2\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\to 0. \end{aligned} $$

综合可得 $\forall f\in L^2(\mathbb{R}^n)$， \[ (f*\mu)^\wedge(x)=\widehat{f}(x)\widehat{\mu}(x). \] 最后证明 $\forall f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le 2$，分解 \[ f=f_1+f_2, f_1\in L^1(\mathbb{R}^n),\ f_2\in L^2(\mathbb{R}^n). \] 从而 \[ (f*\mu)^\wedge=(f_1*\mu)^\wedge+(f_2*\mu)^\wedge=\widehat{f}_1\widehat{\mu}+\widehat{f}_2\widehat{\mu}=\widehat{f}\widehat{\mu}. \]

(iii) 利用反演公式：$\forall x\in\mathbb{R}^n$， \[ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi} \mathrm{d}\xi \] 可推出

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi} \mathrm{d}\xi\Biggr)d\mu(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{2\pi i x\cdot\xi} d\mu(x)\Biggr) \mathrm{d}\xi =\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\widehat{\mu}(-\xi) \mathrm{d}\xi. \end{aligned} $$

另一方面，

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x) d\mu(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t\Biggr)d\mu(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\mu(x)\Biggr) \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\widehat{\mu}(t) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

推论. 设 $\varphi$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的连续函数，则 $\varphi$ 是 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 中测度的 Fourier 变换的充要条件是：存在常数 $C>0$，使得对任意的 $f\in C_0(\mathbb{R}^n)\cap L^1(\mathbb{R}^n)$ 且 $\widehat{f}$ 具有紧支集，都有 \[ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\varphi(-\xi) \mathrm{d}\xi\rvert\le C\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert. \]

*证明.* (1) 若 $\varphi=\widehat{\mu}$，其中 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$. 由定理 5，

$$ \begin{aligned} \lvert \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\varphi(-\xi) \mathrm{d}\xi\rvert &=\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\widehat{\mu}(-\xi) \mathrm{d}\xi\rvert =\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x)\rvert \le\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert \lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}. \end{aligned} $$

(2) 反之，记 $K=\{\check{g}:g\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\}$，则 $K$ 在 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 中稠密. 若对任意的 $f\in C_0(\mathbb{R}^n)\cap L^1(\mathbb{R}^n)$ 满足 $\widehat{f}$ 具有紧支集，有 \[ \lvert \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\varphi(-\xi) \mathrm{d}\xi\rvert\le C\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert f(x)\rvert. \] 这表明 \[ L:f\mapsto\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\varphi(-\xi) \mathrm{d}\xi \] 是 $K$ 上的连续线性泛函. 由稠密性 $L$ 可延拓为 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 上的连续线性泛函. 再应用 Riesz 表示定理，存在 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ L(f)=\langle \mu,f\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x), \] 且 $\lVert L\rVert=\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}$. 下证 $\varphi=\widehat{\mu}$.

应用定理 5，则对任意的 $f\in K$ \[ L(f)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\widehat{\mu}(-\xi) \mathrm{d}\xi=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)\varphi(-\xi) \mathrm{d}\xi. \] 即 $\forall\widehat{f}\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$，有 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(\xi)[\widehat{\mu}(-\xi)-\varphi(-\xi)] \mathrm{d}\xi=0. \] 由 $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ 在 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 中的稠密性，$\forall g\in C_c(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}g(\xi)[\widehat{\mu}(-\xi)-\varphi(-\xi)] \mathrm{d}\xi=0. \] 记 $u(\xi)=\widehat{\mu}(-\xi)-\varphi(-\xi)\in C(\mathbb{R}^n)$，令 $g_k=\overline{u} \chi_{B(0,k)}\in C_c(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}g_k(\xi)u(\xi) \mathrm{d}\xi=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert u(\xi)\rvert^2\chi_{B(0,k)} \mathrm{d}\xi=0. \] 利用单调递增收敛定理， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert u(\xi)\rvert^2 \mathrm{d}\xi=0. \] 故 $u=0$，所以 $\varphi=\widehat{\mu}$.

定义. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，测度 $\mu$ 的 Fourier 积分为 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\mu}(t)e^{2\pi i x\cdot t} \mathrm{d}t. \] 测度 $\mu$ 的 Fourier 积分的 Abel 平均定义为 \[ A_\varepsilon(\mu)(x):=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\mu}(t)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-2\pi\varepsilon\lvert t\rvert} \mathrm{d}t. \] 同样，可以定义测度 $\mu$ 的 Fourier 积分的 Gauss 平均.

定理. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，则

1. $A_\varepsilon(\mu)(x)=(P_\varepsilon*\mu)(x)$. 2. 对任意的 $\varphi\in C_0(\mathbb{R}^n)$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)A_\varepsilon(\mu)(x) \mathrm{d}x\to\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x) \mathrm{d}x,\varepsilon\to 0. \]

*证明.* (1) 首先论证 $A_\varepsilon(\mu)(t)=(P_\varepsilon*\mu)(t)$. 记 $d\nu(x)=e^{2\pi i x\cdot t}e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert} \mathrm{d}x$，则

$$ \begin{aligned} A_\varepsilon(\mu)(t) &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\mu}(x)e^{2\pi i x\cdot t}e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert} \mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\mu}(x) d\nu(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{\nu}(y) d\mu(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot y} d\nu(x)\Biggr)d\mu(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot y}e^{2\pi i x\cdot t}e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert} \mathrm{d}x\Biggr)d\mu(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot(y-t)}e^{-2\pi\varepsilon\lvert x\rvert} \mathrm{d}x\Biggr)d\mu(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}P_\varepsilon(y-t) d\mu(y)=(P_\varepsilon*\mu)(t). \end{aligned} $$

(2) 应用定理 3 可得结论.

推论（测度 $\mu$ 的 Fourier 变换的唯一性）. 设 $\mu_1,\mu_2\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，且 $\widehat{\mu}_1=\widehat{\mu}_2$，那么 $\mu_1=\mu_2$.

*证明.* 令 $\mu=\mu_1-\mu_2$，则 $\widehat{\mu}=0$. 从而 $A_\varepsilon(\mu)=0$. 应用定理 6 可得 $\mu=0$，即 $\mu_1=\mu_2$.

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