analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 复测度的 Fourier 变换，下一篇是 Schwartz 函数。
复测度的卷积
设 $E\in\mathcal{B}$. 记 $E_{(2)}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n:x+y\in E\}$. 则 $E_{(2)}$ 是 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ 中的 Borel 集.
令 $E_{(1)}=E\times\mathbb{R}^n$，则 $E_{(1)}$ 是 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ 中的 Borel 集. 作映射 $\varphi:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$，满足 $\varphi((x,y))=(x-y,y)$，则 $\varphi$ 是双射，且 $\varphi$，$\varphi^{-1}$ 均连续. 易见 $\varphi(E_{(1)})=E_{(2)}$，故 $E_{(2)}$ 是 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ 中的 Borel 集.
定义. 设 $\mu,\nu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，测度 $\mu$ 和 $\nu$ 的卷积 $\mu*\nu$ 为 \[ (\mu*\nu)(E)=(\mu\times\nu)(E_{(2)}), E\in\mathcal{B}. \]
定理. 设 $\mu,\nu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，则
1. $\mu*\nu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$. 2. 对任意的 $E\in\mathcal{B}$ 和 $x\in\mathbb{R}^n$，记 $E-x=\{y-x:y\in E\}$，那么 \[ (\mu*\nu)(E)=\int_{\mathbb{R}^n}\nu(E-x) d\mu(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\mu(E-y) d\nu(y). \] 3. $\mu*\nu=\nu*\mu$. 4. 对于 $\mathbb{R}^n$ 上任意复值有界的 Borel 可测函数 $f$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x) d(\mu*\nu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x+y) d\mu(x) d\nu(y). \] 5. $\lVert \mu*\nu\rVert_{\mathcal{M}}\le\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\lVert \nu\rVert_{\mathcal{M}}$.
*证明.* (a) 首先验证满足可数可加性. 设 $\{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal{B}$ 且当 $j\neq k$ 时，$E_j\cap E_k=\emptyset$. 设 $E=\bigcup_{j=1}^\infty E_j$，由定义
$$ \begin{aligned} (\mu*\nu)(E) &=(\mu*\nu)\Biggl(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\Biggr) =(\mu\times\nu)\Biggl(\bigcup_{j=1}^\infty(E_j)_{(2)}\Biggr)\\ &=\sum_{j=1}^\infty(\mu\times\nu)((E_j)_{(2)}) =\sum_{j=1}^\infty(\mu*\nu)(E_j). \end{aligned} $$
再验证正则性. 由 Jordan 分解定理，只需假设 $\mu$ 和 $\nu$ 是测度. 设 $E\in\mathcal{B}$. 一方面，对任意的紧集 $K\subset E$，都有 \[ (\mu*\nu)(K)\le(\mu*\nu)(E). \] 另一方面，由乘积测度 $\mu\times\nu$ 的正则性，$\forall\varepsilon>0$，存在紧集 $F\subset E_{(2)}$，使得 \[ (\mu\times\nu)(F)>(\mu\times\nu)(E_{(2)})-\varepsilon. \] 记 $\phi:(x,y)\to x+y$ 是 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 的映射. 令 $H=\phi(F)$，则有 \[ H=\phi(F)\subset\phi(E_{(2)})\subset E. \] 由 $\phi$ 的连续性，$H$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的紧集. 又因为 $F\subset\phi^{-1}(H)=H_{(2)}$，所以
$$ \begin{aligned} (\mu*\nu)(H) &=(\mu\times\nu)(H_{(2)}) \ge(\mu\times\nu)(F)\\ &>(\mu\times\nu)(E_{(2)})-\varepsilon =(\mu*\nu)(E)-\varepsilon. \end{aligned} $$
因此 \[ \sup(\mu*\nu)(K)=(\mu*\nu)(E), \] 其中上确界取遍所有包含于 $E$ 中的紧集 $K$，故 $\mu*\nu$ 满足内正则条件. 同理可证 $\mu*\nu$ 满足外正则条件.
(b) 设 $E\in\mathcal{B}$， \[ (\mu*\nu)(E)=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x) d(\mu*\nu)(x), \] 因为 $(x,y)\in E_{(2)}\iff x+y\in E$，所以
$$ \begin{aligned} (\mu*\nu)(E) &=(\mu\times\nu)(E_{(2)}) =\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{E_{(2)}}(x,y) d(\mu\times\nu)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x+y) d(\mu\times\nu). \end{aligned} $$
运用 Fubini 定理，
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x) d(\mu*\nu)(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x+y) d(\mu\times\nu)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x+y) d\mu(x) d\nu(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x+y) d\nu(y) d\mu(x). \end{aligned} $$
又因为 $\chi_E(x+y)=\chi_{E-x}(y)$，所以
$$ \begin{aligned} (\mu*\nu)(E) &=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x) d(\mu*\nu)(x) =\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x+y) d\nu(y) d\mu(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\nu(E-x) d\mu(x). \end{aligned} $$
同理可证 \[ (\mu*\nu)(E)=\int_{\mathbb{R}^n}\mu(E-y) d\nu(y). \]
(c) 由 (b) 可得 \[ (\nu*\mu)(E)=\int_{\mathbb{R}^n}\nu(E-y) d\mu(y)=(\mu*\nu)(E). \]
(d) 由 (b) 的证明可得对于 $\mathbb{R}^n$ 上任意简单 Borel 可测函数 $\varphi$， \[ \int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d(\mu*\nu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x+y) d\mu(x) d\nu(y). \] 设 $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的复值有界 Borel 可测函数，存在一列简单 Borel 可测函数 $\{\varphi_k\}$，使得 \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert \varphi_k(x)-f(x)\rvert\to 0, k\to\infty. \] 运用控制收敛定理
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k(x) d(\mu*\nu)(x)&\to\int_{\mathbb{R}^n}f(x) d(\mu*\nu)(x);\\ \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k(x+y) d\mu(x) d\nu(y)&\to\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x+y) d\mu(x) d\nu(y). \end{aligned} $$
(e) 由 Riesz 表示定理 \[ \lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}} =\sup_{\substack{f\in C_0(\mathbb{R}^n)\\ \lVert f\rVert_\infty\le 1}}\lvert \langle \mu,f\rangle\rvert =\sup_{\substack{f\in C_0(\mathbb{R}^n)\\ \lVert f\rVert_\infty\le 1}}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f(x) d\mu(x)\rvert. \] 所以
$$ \begin{aligned} \lVert \mu*\nu\rVert_{\mathcal{M}} &=\sup_{f\in C_0, \lVert f\rVert_\infty\le 1}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}f d(\mu*\nu)\rvert\\ &=\sup_{f\in C_0, \lVert f\rVert_\infty\le 1}\lvert \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x+y) d\mu(x) d\nu(y)\rvert\\ &\le\sup_{f\in C_0, \lVert f\rVert_\infty\le 1}\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(x+y)\rvert d\lvert \mu\rvert(x) d\lvert \nu\rvert(y)\\ &\le\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}d\lvert \mu\rvert\Biggr)\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}d\lvert \nu\rvert\Biggr) =\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\lVert \nu\rVert_{\mathcal{M}}. \end{aligned} $$
性质. 设 $\mu,\nu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，则 \[ \widehat{\mu*\nu}(x)=\widehat{\mu}(x)\widehat{\nu}(x). \]
*证明.* 由定义
$$ \begin{aligned} \widehat{\mu*\nu}(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d(\mu*\nu)(t)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot(t+y)} d\mu(t) d\nu(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot t} d\mu(t)\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i x\cdot y} d\nu(y) =\widehat{\mu}(x)\widehat{\nu}(x). \end{aligned} $$
上一篇：复测度的 Fourier 变换。下一篇：Schwartz 函数。回到 目录。