analysis
这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 复测度的卷积，下一篇是 分布与缓增分布。
Schwartz 函数及其 Fourier 变换
定义（Schwartz 函数）. 若 $f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，且对任意多重指标 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，都有 \[ \rho_{\alpha,\beta}(f):=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta f(x)\rvert<\infty, \] 则称 $f$ 是 Schwartz 函数（速降函数）. Schwartz 函数全体记为 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$.
注. 对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，$\rho_{\alpha,\beta}$ 是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的半范. $\{\rho_{\alpha,\beta}\}$ 是一可列具有分离性的半范族，则可以诱导出 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的 Hausdorff 局部凸拓扑 $(\mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\tau)$. 对于任意的 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，$n\in\mathbb{N}$，记 \[ V(\rho_{\alpha,\beta},n)=\{x\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n):\rho_{\alpha,\beta}(x)<\tfrac1n\}. \] 令 \[ \mathcal{B}=\{V(\rho_{\alpha,\beta},n)\text{ 有限交}:\alpha,\beta\in\Z_+^n, n\in\mathbb{N}\}, \] 则 $\mathcal{B}$ 是 $(\mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\tau)$ 的局部基.
设 $f_j,f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，如果有 $\forall\alpha,\beta\in\Z_+^n$， \[ \rho_{\alpha,\beta}(f_j-f)\to0, j\to\infty, \] 就称 $\{f_j\}$ 在 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中收敛到 $f$，记为 \[ f_j\xrightarrow{\mathcal{S}}f, j\to\infty. \]
设 $f_j\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，如果有 \[ f_j-f_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0, j,k\to\infty, \] 就称 $\{f_j\}$ 是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中的基本列.
注. 参考泛函分析的“拓扑线性空间”内容.
性质（多重指标）. 对于任意多重指标 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\Z_+^n$， \[ \lvert \alpha\rvert=\alpha_1+\cdots+\alpha_n, x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \] 则有 \[ \lvert x^\alpha\rvert\le C_{n,\alpha}\lvert x\rvert^{\lvert \alpha\rvert}. \] 反之，对任意的 $k\in\Z_+$， \[ \lvert x\rvert^k\le C_{n,k}\sum_{\lvert \beta\rvert=k}\lvert x^\beta\rvert. \]
性质（Schwartz 函数等价刻画）. 对任意的 $\alpha\in\Z_+^n$，$N\in\mathbb{N}$，存在常数 $C_{\alpha,N}>0$，有 \[ \lvert D^\alpha f(x)\rvert\le C_{\alpha,N}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert)^N}. \] 由此可见 $f$ 和它的各阶微商在无穷远处趋于零的速度比 $\lvert x\rvert$ 的任意次负幂都快. 所以它们在无穷远处急速下降到零，故称 $f$ 为速降函数.
性质（莱布尼茨法则）. 设 $f,g\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，多重指标 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$. 则 \[ D^\alpha(fg)=\sum_{\substack{\lvert \beta\rvert\le\lvert \alpha\rvert\\ \beta_j\le\alpha_j}}C_{\alpha_1}^{\beta_1}\cdots C_{\alpha_n}^{\beta_n}(D^{\alpha-\beta}f)(D^\beta g). \]
例. 1. $e^{-\lvert x\rvert^2}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，但是 $e^{-\lvert x\rvert}\notin\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$（在零点不可微）. 2. $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 中的函数都是 Schwartz 函数. 由此可见 \[ C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\subset\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset C^\infty(\mathbb{R}^n). \] 3. $\dfrac{1}{1+\lvert x\rvert^4}\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，但 $\dfrac{1}{1+\lvert x\rvert^4}\notin\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 4. 若 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，$P(x)$ 是多项式函数，那么 $P(x)f(x)\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 5. 若 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，那么对于任意多重指标 $\alpha$，有 $D^\alpha f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 6. 若 $f,g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，那么 $fg\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$.
定理. 1. 若 $1\le p<\infty$，$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^p(\mathbb{R}^n)$，且当 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有 \[ \lVert f\rVert_p\le C_{n,p}\sum_{\alpha}\rho_{\alpha,0}(f), \] 其中 $\sum_{\alpha}$ 为有限和. 2. 若 $p=\infty$，$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset C_0(\mathbb{R}^n)\subset L^\infty(\mathbb{R}^n)$.
*证明.* (i) 若 $1\le p<\infty$，对任意 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，
$$ \begin{aligned} \lVert f\rVert_p &\le(\int_{\lvert x\rvert\le1}\lvert f(x)\rvert^p \mathrm{d}x)^{1/p} +(\int_{\lvert x\rvert>1}\lvert f(x)\rvert^p \mathrm{d}x)^{1/p}\\ &\le\lVert f\rVert_\infty(\int_{\lvert x\rvert\le1} \mathrm{d}x)^{1/p} +(\int_{\lvert x\rvert>1}[\lvert x\rvert^{2n}\lvert f(x)\rvert \lvert x\rvert^{-2n}]^p \mathrm{d}x)^{1/p}\\ &\le v_n^{1/p}\lVert f\rVert_\infty +\sup_{x\in\mathbb{R}^n}(\lvert x\rvert^{2n}\lvert f(x)\rvert) (\int_{\lvert x\rvert>1}\lvert x\rvert^{-2np} \mathrm{d}x)^{1/p}. \end{aligned} $$
因为 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则
$$ \begin{aligned} \lVert f\rVert_p &\le v_n^{1/p}\lVert f\rVert_\infty +\sup_{x\in\mathbb{R}^n}(\lvert x\rvert^{2n}\lvert f(x)\rvert) (\int_{\lvert x\rvert>1}\lvert x\rvert^{-2np} \mathrm{d}x)^{1/p}\\ &= v_n^{1/p}\lVert f\rVert_\infty +C_{n,p}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}(\lvert x\rvert^{2n}\lvert f(x)\rvert)\\ &\le C_{n,p}\sum_{\lvert \alpha\rvert\le 2n}\rho_{\alpha,0}(f). \end{aligned} $$
最后一个不等式用了性质 \[ \lvert x\rvert^{2n}\lvert f(x)\rvert\le C_n\sum_{\lvert \beta\rvert=2n}\lvert x^\beta f(x)\rvert. \]
(ii) 若 $p=\infty$，对任意 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ \lVert f\rVert_\infty\le\rho_{0,0}(f)<\infty. \] 故 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^\infty(\mathbb{R}^n)$. 而且存在常数 $M>0$，有 \[ \lvert f(x)\rvert\le\frac{M}{1+\lvert x\rvert}. \] 故 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset C_0(\mathbb{R}^n)$.
定理. $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中的基本列是收敛列，从而 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 是完备的.
*证明.* 若 $\{f_j\}$ 是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中的基本列，则对任意的 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$， \[ \rho_{\alpha,\beta}(f_k-f_l)\to0, k,l\to\infty. \] 于是对任意 $\beta\in\Z_+^n$， \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert D^\beta f_k(x)-D^\beta f_l(x)\rvert\to0. \] 这表明 $\{D^\beta f_k\}$ 是 $C(\mathbb{R}^n)$ 中的基本列，故对任意 $\beta\in\Z_+^n$，$\{D^\beta f_k\}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致收敛. 从而存在 $\varphi$，使得对任意 $\beta\in\Z_+^n$， \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert D^\beta f_k(x)-D^\beta\varphi(x)\rvert\to0. \] 同理，因为对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$， \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta f_k(x)-D^\beta f_l(x)\rvert\to0, \] 可推得 \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta f_k(x)-D^\beta\varphi(x)\rvert\to0. \] 因此，对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，有 \[ \rho_{\alpha,\beta}(f_k-\varphi)\to0, k\to\infty. \] 最后，对于任意的 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，都可以找到某个 $k_0$，使得 \[ \rho_{\alpha,\beta}(\varphi)\le\rho_{\alpha,\beta}(f_{k_0}-\varphi)+\rho_{\alpha,\beta}(f_{k_0})<\infty. \] 这说明 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 故 $f_j\xrightarrow{\mathcal{S}}\varphi$.
$(\mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\tau)$ 是可度量化的. 对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，记 \[ d_{\alpha,\beta}(f,g)=\rho_{\alpha,\beta}(f-g),\forall f,g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 可将 $\{d_{\alpha,\beta}(f,g):\alpha,\beta\in\Z_+^n\}$ 排成一列，并记为 $\{d_n(f,g)\}_{n=1}^\infty$，则对任意 $f,g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，令 \[ d(f,g)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{d_n(f,g)}{1+d_n(f,g)}. \] 则当 $k\to\infty$， \[ d(f_k,g)\to0\iff d_n(f_k,g)\to0,\ \forall n. \] 由 $d_n$ 的构造，它们还等价于 \[ \rho_{\alpha,\beta}(f_k-g)\to0,\forall\alpha,\beta\in\Z_+^n. \] 这表明距离 $d$ 和半范族 $\{\rho_{\alpha,\beta}\}$ 诱导了 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的同一拓扑.
一方面，若存在某个 $n$，$d_n(f_k,g)\not\to0$，显然 \[ \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{d_n(f_k,g)}{1+d_n(f_k,g)}\not\to0. \] 另一方面，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N>0$，使得 \[ \sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac{d_n(f_k,g)}{1+d_n(f_k,g)}\le\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}<\frac{\varepsilon}{2}. \] 因为对任意 $n$，都有 $d_n(f_k,g)\to0$. 则存在 $k_0$，使得对任意 $k>k_0$， \[ \sum_{n=1}^{N-1}2^{-n}d_n(f_k,g)<\frac{\varepsilon}{2}. \] 从而
$$ \begin{aligned} d(f_k,g) &=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\frac{d_n(f_k,g)}{1+d_n(f_k,g)}\\ &\le\sum_{n=1}^{N-1}2^{-n}d_n(f_k,g) +\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}\frac{d_n(f_k,g)}{1+d_n(f_k,g)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned} $$
因此 \[ d(f_k,g)\to0\iff d_n(f_k,g)\to0,\ \forall n. \]
定理. 1. 设 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，映射 \[ T:\varphi\mapsto x^\alpha D^\beta\varphi \] 是连续的. 2. 设 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，平移变换 \[ T_h\varphi(x)\xrightarrow{\mathcal{S}}\varphi(x),\lvert h\rvert\to0. \] 3. 设 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，$h=(0,\dots,0,h_k,0,\dots,0)\in\mathbb{R}^n$，则 \[ \frac{\varphi(x)-\varphi(x-h)}{h_k}\xrightarrow{\mathcal{S}}\frac{\partial\varphi}{\partial x_k},\lvert h\rvert\to0. \] 4. 设 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le\infty$，$\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，那么 $f*\varphi\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，且对任意 $\alpha\in\Z_+^n$，$D^\alpha(f*\varphi)(x)=(f*D^\alpha\varphi)(x)$.
*证明.* (1) 只需证明当 $\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$，则有 \[ x^\alpha D^\beta\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0, k\to\infty. \] 也就是证明对任意 $\gamma,\delta\in\Z_+^n$ 多重指标，有 $\rho_{\gamma,\delta}(x^\alpha D^\beta\varphi_k)\to0$. 因为 \[ \rho_{\gamma,\delta}(x^\alpha D^\beta\varphi_k)\le C\sum_{\alpha',\beta'}\rho_{\alpha',\beta'}(\varphi_k), \lvert \alpha'\rvert\le\lvert \alpha\rvert+\lvert \gamma\rvert,\ \lvert \beta'\rvert\le\lvert \beta\rvert+\lvert \delta\rvert. \] 又因为 $\varphi_k\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，所以 \[ \rho_{\gamma,\delta}(x^\alpha D^\beta\varphi_k)\le C\sum_{\alpha',\beta'}\rho_{\alpha',\beta'}(\varphi_k)\to0, k\to\infty. \] （关键：$\sum_{\alpha',\beta'}$ 是有限和.）
(2) 对于任意的多重指标 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，当 $\lvert h\rvert$ 充分小，
$$ \begin{aligned} \lvert x^\alpha D^\beta(T_h\varphi-\varphi)(x)\rvert &=\lvert x^\alpha(D^\beta\varphi(x-h)-D^\beta\varphi(x))\rvert\\ &\le\lvert x^\alpha\rvert\lvert \nabla(D^\beta\varphi)(x-\theta h)\rvert\lvert h\rvert\\ &\le\lvert (x-\theta h+\theta h)^\alpha\rvert\sum_{\lvert \beta'\rvert=\lvert \beta\rvert+1}\lvert D^{\beta'}\varphi(x-\theta h)\rvert\lvert h\rvert\\ &\le\Biggl\lvert\sum_{\gamma+\gamma'=\alpha}C_{\gamma,\gamma'}(x-\theta h)^\gamma(\theta h)^{\gamma'}\Biggr\rvert \sum_{\lvert \beta'\rvert=\lvert \beta\rvert+1}\lvert D^{\beta'}\varphi(x-\theta h)\rvert\lvert h\rvert\\ &\le C\sum_{\substack{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \alpha\rvert\\ \lvert \beta'\rvert=\lvert \beta\rvert+1}}\lvert (x-\theta h)^\gamma\rvert\lvert D^{\beta'}\varphi(x-\theta h)\rvert\lvert h\rvert\\ &\le C\lvert h\rvert\sum_{\substack{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \alpha\rvert\\ \lvert \beta'\rvert=\lvert \beta\rvert+1}}\rho_{\gamma,\beta'}(\varphi). \end{aligned} $$
因为 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则
$$ \begin{aligned} \rho_{\alpha,\beta}(T_h\varphi-\varphi) &=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha D^\beta(T_h\varphi-\varphi)(x)\rvert\\ &\le C\lvert h\rvert\sum_{\substack{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \alpha\rvert\\ \lvert \beta'\rvert=\lvert \beta\rvert+1}}\rho_{\gamma,\beta'}(\varphi)\to0 (\lvert h\rvert\to0). \end{aligned} $$
(3) 对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，对任意 $h=(0,\dots,0,h_k,0,\dots,0)$，
$$ \begin{aligned} &\Biggl\lvert x^\alpha D^\beta\Biggl(\frac{\varphi(x)-\varphi(x-h)}{h_k}-\frac{\partial\varphi}{\partial x_k}(x)\Biggr)\Biggr\rvert\\ &=\Biggl\lvert x^\alpha\Biggl[\frac{D^\beta\varphi(x)-D^\beta\varphi(x-h)}{h_k}-D^\beta\Biggl(\frac{\partial\varphi}{\partial x_k}\Biggr)(x)\Biggr]\Biggr\rvert\\ &\le\lvert x^\alpha\rvert\Biggl\lvert\frac{\partial(D^\beta\varphi)}{\partial x_k}(x-\theta h)-\frac{\partial(D^\beta\varphi)}{\partial x_k}(x)\Biggr\rvert\\ &\le\lvert x^\alpha\rvert\Biggl\lvert\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}(D^\beta\varphi)(x-\theta'h)\Biggr\rvert\lvert \theta h\rvert. \end{aligned} $$
因此 \[ \Biggl\lvert x^\alpha D^\beta\Biggl(\frac{\varphi(x)-\varphi(x-h)}{h_k}-\frac{\partial\varphi}{\partial x_k}(x)\Biggr)\Biggr\rvert \le\lvert x^\alpha\rvert\Biggl\lvert\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}(D^\beta\varphi)(x-\theta'h)\Biggr\rvert\lvert \theta h\rvert. \] 因为 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，由 Schwartz 函数等价刻画， \[ \Biggl\lvert\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}(D^\beta\varphi)(x-\theta'h)\Biggr\rvert \le\frac{C_M}{(1+\lvert x-\theta'h\rvert)^M},\forall x\in\mathbb{R}^n. \] 这里选取 $M$ 满足 $M>2\lvert \alpha\rvert$. 从而
$$ \begin{aligned} \sup_{\lvert x\rvert>1}\lvert x^\alpha\rvert\Biggl\lvert\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}(D^\beta\varphi)(x-\theta'h)\Biggr\rvert\lvert \theta h\rvert &\le\sup_{\lvert x\rvert>1}\lvert x^\alpha\rvert\frac{C_M}{(1+\lvert x-\theta'h\rvert)^M}\lvert \theta h\rvert\\ &\le\sup_{\lvert x\rvert>1}C\frac{\lvert x\rvert^{\lvert \alpha\rvert}}{(1+\lvert x\rvert)^M}\lvert h\rvert \le C\lvert h\rvert\to0. \end{aligned} $$
另一方面
$$ \begin{aligned} \sup_{\lvert x\rvert\le1}\lvert x^\alpha\rvert\Biggl\lvert\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}(D^\beta\varphi)(x-\theta'h)\Biggr\rvert\lvert \theta h\rvert &\le\sup_{\lvert x\rvert\le1}\Biggl\lvert\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}(D^\beta\varphi)(x-\theta'h)\Biggr\rvert\lvert h\rvert\\ &\le\sum_{\lvert \beta'\rvert=\lvert \beta\rvert+2}\rho_{0,\beta'}(\varphi)\lvert h\rvert\to0. \end{aligned} $$
因此 \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\Biggl\lvert x^\alpha D^\beta\Biggl(\frac{\varphi(x)-\varphi(x-h)}{h_k}-\frac{\partial\varphi}{\partial x_k}(x)\Biggr)\Biggr\rvert\to0, \lvert h\rvert\to0. \] 即 \[ \frac{\varphi(x)-\varphi(x-h)}{h_k}\xrightarrow{\mathcal{S}}\frac{\partial\varphi}{\partial x_k},\lvert h\rvert\to0. \]
(4) 因为 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，由 Schwartz 函数的等价刻画：对任意 $\alpha\in\Z_+^n$， \[ \lvert D^\alpha\varphi(x-y)\rvert\le\frac{C_\alpha}{(1+\lvert x-y\rvert)^{n+1}}. \] 对任意的有界集 $E\subset\mathbb{R}^n$，不妨设 $E\subset B(0,M)$，$M>0$. 则 \[ (M+1)(1+\lvert x-y\rvert)\ge M+1+\lvert y\rvert-\lvert x\rvert\ge 1+\lvert y\rvert,\forall x\in E,\ y\in\mathbb{R}^n. \] 因此 \[ \sup_{x\in E}\lvert D^\alpha\varphi(x-y)\rvert\le\frac{C_{\alpha,E}}{(1+\lvert y\rvert)^{n+1}}. \] 由 Weierstrass 判别法，$\int_{\mathbb{R}^n}f(y)D^\alpha\varphi(x-y) \mathrm{d}y$ 关于参变量 $x\in E$ 一致收敛（内闭一致收敛）. 故
$$ \begin{aligned} D^\alpha(f*\varphi)(x) &=D^\alpha\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\varphi(x-y) \mathrm{d}y\Biggr)\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)D^\alpha\varphi(x-y) \mathrm{d}y=(f*D^\alpha\varphi)(x). \end{aligned} $$
定理. 1. 对于 $1\le p<\infty$，$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中稠密. 对于 $p=\infty$，$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 中按 $L^\infty$ 范数稠密. 2. 对于 $1\le p<\infty$，$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中稠密. 对于 $p=\infty$，$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 在 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 中按 $L^\infty$ 范数稠密.
*证明.* (1) 若 $1\le p<\infty$，因为具有紧支集的 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 函数全体在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中是稠密的，则对任意 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，对任意充分小的 $\delta>0$，存在具有紧支集的函数 $g\in L^p(\mathbb{R}^n)$，使得 $\lVert f-g\rVert_p<\delta$. 选取辅助函数 $\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，满足 $\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=1$. 构造 $g*\varphi_\varepsilon\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. 利用恒等逼近核性质， \[ \lVert g*\varphi_\varepsilon-g\rVert_p\to0,\varepsilon\to0. \] 从而有 $\lVert g*\varphi_\varepsilon-f\rVert_p\to0$.
若 $p=\infty$，因为 $C_c(\mathbb{R}^n)$ 在 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 中是稠密的，则对任意 $f\in C_0(\mathbb{R}^n)$，对任意充分小的 $\delta>0$，存在 $g\in C_c(\mathbb{R}^n)$，使得 $\lVert f-g\rVert_\infty<\delta$. 选取同样的辅助函数 $\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，满足 $\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=1$. 则 $g*\varphi_\varepsilon\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. 利用恒等逼近核性质， \[ \lVert g*\varphi_\varepsilon-g\rVert_\infty\to0,\varepsilon\to0. \] 从而有 $\lVert g*\varphi_\varepsilon-f\rVert_\infty\to0$.
(2) 因为若 $1\le p<\infty$， \[ C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\subset\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^p(\mathbb{R}^n); \] 若 $p=\infty$，有 \[ C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\subset\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset C_0(\mathbb{R}^n). \]
### Schwartz 函数的 Fourier 变换
定理. Fourier 变换是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\to\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的连续线性算子，且为双射，其逆变换也连续.
*证明.* (1) 要证 Fourier 变换 $\mathcal{F}$ 连续，只需证当 $\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$，$k\to\infty$，则 $\widehat{\varphi}_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$.
对任意的多重指标 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有
$$ \begin{aligned} \lvert x^\alpha(D^\beta\widehat{\varphi})(x)\rvert &=\lvert x^\alpha[(-2\pi i\cdot)^\beta\varphi]^\wedge(x)\rvert\\ &=\frac{1}{\lvert (2\pi i)^{\lvert \alpha\rvert}\rvert}\Biggl\lvert(D^\alpha[(-2\pi i\cdot)^\beta\varphi])^\wedge(x)\Biggr\rvert\\ &\le\frac{1}{(2\pi)^{\lvert \alpha\rvert}}\lVert D^\alpha[(-2\pi i\cdot)^\beta\varphi]\rVert_1. \end{aligned} $$
于是
$$ \begin{aligned} \lvert x^\alpha(D^\beta\widehat{\varphi})(x)\rvert &\le\frac{1}{(2\pi)^{\lvert \alpha\rvert}}\lVert D^\alpha[(-2\pi i\cdot)^\beta\varphi]\rVert_1\\ &\le C\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(1+\lvert t\rvert^2)^n}(1+\lvert t\rvert^2)^n\lvert D^\alpha[(-2\pi it)^\beta\varphi(t)]\rvert \mathrm{d}t\\ &\le C\sum_{\alpha',\beta'}\rho_{\alpha',\beta'}(\varphi)\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(1+\lvert t\rvert^2)^n} \mathrm{d}t \le C\sum_{\alpha',\beta'}\rho_{\alpha',\beta'}(\varphi). \end{aligned} $$
因此 $\widehat{\varphi}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 若 $\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$，则对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，$\rho_{\alpha,\beta}(\varphi_k)\to0$. 从而 \[ \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha(D^\beta\widehat{\varphi}_k)(x)\rvert\to0, \] 即 $\rho_{\alpha,\beta}(\widehat{\varphi}_k)\to0$，$k\to\infty$.
(2) 因为 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset L^1(\mathbb{R}^n)$，$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset C_0(\mathbb{R}^n)$. 此外对任意 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有 $\widehat{f}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 于是反演公式对每一点都成立，由反演公式可得 $\mathcal{F}$ 是单射.
再次运用反演公式，对任意 $x\in\mathbb{R}^n$，
$$ \begin{aligned} f(x) &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(t)e^{2\pi ix\cdot t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(-t)e^{-2\pi ix\cdot t} \mathrm{d}t =(\widetilde{\widehat{f}})^\wedge(x). \end{aligned} $$
显然 $\widetilde{\widehat{f}}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 可见 $\mathcal{F}$ 是满射.
(3) 由 $(\widetilde{\widehat{f}})^\wedge=f$，可知 \[ \mathcal{F}^{-1}(f)=\widetilde{\widehat{f}}. \] 由 (1) 的过程推得 $\mathcal{F}^{-1}$ 在 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上也连续.
推论. 设 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，$g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则 $f*g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，且 \[ D^\alpha(f*g)=f*D^\alpha g=D^\alpha f*g. \]
*证明.* 因为 $f,g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则 $\widehat{f},\widehat{g}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 从而 $\widehat{f}\widehat{g}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 再利用 \[ (f*g)^\wedge(x)=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x). \] 故 $f*g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 由定理 3，可得 \[ D^\alpha(f*g)=f*D^\alpha g=D^\alpha f*g. \]
定理. 设 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，$g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，
1. 乘法公式 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{g}(x) \mathrm{d}x. \] 2. Parseval 等式 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x. \]
*证明.* (1) 乘法公式和 $L^1$ 函数 Fourier 变换的证明一样.
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)g(x) \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi ix\cdot t} \mathrm{d}t\Biggr)g(x) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}g(x)e^{-2\pi ix\cdot t} \mathrm{d}x\Biggr) \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\widehat{g}(t) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$
(2) Parseval 等式的证明可以利用 $\overline{g}=(\overline{\widehat{g}})^\wedge$.
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)(\overline{\widehat{g}})^\wedge(x) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\overline{\widehat{g}(x)} \mathrm{d}x \text{（乘法公式）}. \end{aligned} $$
\subsection*{$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 函数的 Fourier 变换公式表}
$$ \begin{aligned} (\widehat{f})^\wedge(x)&=\widetilde{f}(x),& (\widetilde{f})^\wedge(x)&=\widehat{f}(-x)=\widetilde{\widehat{f}}(x),& (\overline{f})^\wedge(x)&=\overline{\widehat{f}(-x)},\\ (T_hf)^\wedge(x)&\equiv(f(\cdot-h))^\wedge=e^{-2\pi ix\cdot h}\widehat{f}(x),\\ (e^{2\pi i(\cdot)\cdot h}f)^\wedge(x)&=T_h\widehat{f}(x)\equiv\widehat{f}(x-h),\\ (\eta_af)^\wedge(x)&\equiv(f(a\cdot))^\wedge(x)=\lvert a\rvert^{-n}\widehat{f}(a^{-1}x),\\ (P(D)f)^\wedge(x)&=P(2\pi ix)\widehat{f}(x),\\ (P(\cdot)f(\cdot))^\wedge(x)&=P(\frac{i}{2\pi}D)\widehat{f}(x),\\ (f*g)^\wedge(x)&=\widehat{f}(x)\widehat{g}(x),\\ (fg)^\wedge(x)&=(\widehat{f}*\widehat{g})(x). \end{aligned} $$