分布与缓增分布

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 Schwartz 函数，下一篇是 缓增分布的 Fourier 变换。

分布和缓增分布

定义（测试函数空间中的收敛）. 设 $f\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$（具有紧支集的光滑函数），对任意多重指标 $\alpha\in\Z_+^n$，记 \[ \rho_\alpha(f):=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert D^\alpha f(x)\rvert. \] 设 $f_j,f\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$，$j\ge1$，如果满足以下条件：

1. 存在紧集 $K$，使得 $f_j$ 和 $f$ 的支集都包含在 $K$ 中，即 \[ \operatorname{supp}(f)\subset K,\operatorname{supp}(f_j)\subset K, j=1,2,\dots \] 2. 对任意的 $\alpha\in\Z_+^n$，都有 \[ \rho_\alpha(f_j-f)\to0, j\to\infty, \]

就称 $\{f_j\}_{j\ge1}$ 收敛于 $f$.

$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 是一个线性空间，给定了收敛性后称它为测试函数空间，将此空间记为 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$. 上述的 $\{f_j\}$ 收敛于 $f$ 可记为 \[ f_j\xrightarrow{\mathcal{D}}f, j\to\infty. \]

$\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 中基本列. 设 $f_j\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，若存在紧集 $K$，使得 \[ \operatorname{supp}(f_j)\subset K, j=1,2,\dots \] 且对任意的 $\alpha\in\Z_+^n$，都有 \[ \rho_\alpha(f_j-f_k)\to0, j,k\to\infty, \] 就称 $\{f_j\}$ 是 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 中的基本列.

性质. $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 中基本列必是收敛列，从而 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 是完备的.

性质. $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 中的收敛列必是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中的收敛列.

*证明.* 设 $f_j\xrightarrow{\mathcal{D}}f$，$j\to\infty$，则存在紧集 $K$，使得 $\operatorname{supp}(f_j)\subset K$，$\operatorname{supp}(f)\subset K$. 于是对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，

$$ \begin{aligned} \rho_{\alpha,\beta}(f_j) &=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta f_j\rvert =\sup_{x\in K}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta f_j(x)\rvert\\ &\le C\sup_{x\in K}\lvert D^\beta f_j(x)\rvert\to0. \end{aligned} $$

故 \[ f_j\xrightarrow{\mathcal{S}}f, j\to\infty. \]

性质. $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 在 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中稠密.

*证明.* 选取辅助函数 $\psi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 满足 $0\le\psi(x)\le1$，$x\in\mathbb{R}^n$，且 $\psi(x)=1$，$\lvert x\rvert\le1$. 对任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，构造函数 \[ f_r(x)=\varphi(x)\psi(rx), x\in\mathbb{R}^n,\ r>0. \] 则 $f_r\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$. 下证 $f_r\xrightarrow{\mathcal{S}}\varphi$，$r\to0$. 因为 \[ \varphi(x)-f_r(x)=\varphi(x)(1-\psi(rx)). \] 由 $\psi$ 的性质，$\psi(rx)=1$，对任意 $\lvert x\rvert<1/r$. 所以当 $\lvert x\rvert<1/r$， \[ D^\beta[1-\psi(rx)]=0,\forall\beta\in\Z_+^n. \] 设 $r<1$，对于任意的多重指标 $\alpha,\beta$，计算

$$ \begin{aligned} &\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta[f_r(x)-\varphi(x)]\rvert\\ &=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta[\varphi(x)(1-\psi(rx))]\rvert\\ &\le\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}C_{\gamma,\beta}\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\lvert D^{\beta-\gamma}(1-\psi(rx))\rvert\\ &=\sup_{\lvert x\rvert\ge1/r}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}C_{\gamma,\beta}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\lvert D^{\beta-\gamma}(1-\psi(rx))\rvert\\ &\le C\sup_{\lvert x\rvert\ge1/r}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\Biggl[\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert D^{\beta-\gamma}\psi(rx)\rvert r^{\lvert \beta-\gamma\rvert}\Biggr]\\ &\le C\sup_{\lvert x\rvert\ge1/r}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\Biggl[\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert D^{\beta-\gamma}\psi(rx)\rvert\Biggr]. \end{aligned} $$

因此

$$ \begin{aligned} &\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta[f_r(x)-\varphi(x)]\rvert\\ &\le C\sup_{\lvert x\rvert\ge1/r}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\Biggl[\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert D^{\beta-\gamma}\psi(rx)\rvert\Biggr]\\ &\le C\sup_{\lvert x\rvert\ge1/r}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\frac{\lvert x\rvert^{\lvert \alpha\rvert+1}}{\lvert x\rvert}\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\Biggl[\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\lvert D^{\beta-\gamma}\psi(rx)\rvert\Biggr]\\ &\le rC\Biggl[\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\sup_{\lvert x\rvert\ge1/r}\lvert x\rvert^{\lvert \alpha\rvert+1}\lvert D^\gamma\varphi(x)\rvert\Biggr] \Biggl[\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert D^{\beta-\gamma}\psi(rx)\rvert\Biggr]\\ &\le rC'\Biggl[\sum_{\lvert \delta\rvert\le\lvert \beta\rvert}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert D^\delta\psi(x)\rvert\Biggr]\to0, r\to0. \end{aligned} $$

定义（分布）. $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上的连续线性泛函称为分布（广义函数），记为 $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$.

若 $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$，则 $u$ 需要满足

1. 线性：对任意 $f_1,f_2\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，有 \[ u(\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2)=\lambda_1 u(f_1)+\lambda_2 u(f_2). \] 2. 连续性：若 $f_j,f\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 满足 $f_j\xrightarrow{\mathcal{D}}f$，$j\to\infty$，则有 \[ \lim_{j\to\infty}u(f_j)=u(f). \]

$\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 中的收敛性. 设 $u,u_j\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$，若对每个 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，都有 \[ \lim_{j\to\infty}u_j(\varphi)=u(\varphi), \] 就称分布列 $\{u_j\}$ 收敛到 $u$，记为 \[ u_j\xrightarrow{\mathcal{D}'}u, j\to\infty. \]

例. 若 $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的局部可积函数，定义 \[ u_f(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x) \mathrm{d}x,\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n). \] 可以验证 $u_f\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$.

*证明.* 对任意 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，存在紧集 $K$， \[ \lvert u_f(\varphi)\rvert=\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x) \mathrm{d}x\Biggr\rvert \le\sup_{x\in K}\lvert \varphi(x)\rvert\int_K\lvert f(x)\rvert \mathrm{d}x<\infty. \] 关于连续性，若 $\varphi_j\xrightarrow{\mathcal{D}}0$，$j\to\infty$，存在紧集 $K$，$\operatorname{supp}(\varphi_j)\subset K$， \[ \lvert u_f(\varphi_j)\rvert\le\sup_{x\in K}\lvert \varphi_j(x)\rvert\int_K\lvert f(x)\rvert \mathrm{d}x\to0. \] 故 $u_f$ 连续，即 $u_f\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$.

例. 对任意 $x_0\in\mathbb{R}^n$，Dirac 测度 $\delta_{x_0}\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$.

*证明.* 对任意 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，$\delta_{x_0}(\varphi)=\varphi(x_0)$. 显然它是 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上的连续线性泛函.

若 $\varphi_j\xrightarrow{\mathcal{D}}0$，$j\to\infty$，存在紧集 $K$，$\operatorname{supp}(\varphi_j)\subset K$， \[ \lvert \delta_{x_0}(\varphi_j)\rvert=\lvert \varphi_j(x_0)\rvert\le\sup_{x\in K}\lvert \varphi_j(x)\rvert\to0, j\to\infty. \] 故 $\delta_{x_0}$ 连续，即 $\delta_{x_0}\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$.

例. 设 \[ f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2+x^2}, x\in\mathbb{R},\ \varepsilon>0. \] 令 \[ u_{f_\varepsilon}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}}f_\varepsilon(x)\varphi(x) \mathrm{d}x,\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}). \] 则 $u_{f_\varepsilon}\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$，且 \[ u_{f_\varepsilon}\xrightarrow{\mathcal{D}'}\delta,\varepsilon\to0^+. \] 这是因为取 \[ K(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}, K_\varepsilon(x)=\frac{1}{\varepsilon}K(\frac{x}{\varepsilon})=f_\varepsilon(x). \] 由恒等逼近核的性质，对任意 $x\in\mathbb{R}$， \[ (\varphi*K_\varepsilon)(x)\to\varphi(x),\varepsilon\to0^+. \] 因此，当 $x=0$， \[ \lim_{\varepsilon\to0^+}(\varphi*K_\varepsilon)(0)=\varphi(0), \] 即对任意 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$， \[ \lim_{\varepsilon\to0^+}u_{f_\varepsilon}(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\mathbb{R}}f_\varepsilon(x)\varphi(x) \mathrm{d}x=\varphi(0)=\delta(\varphi). \]

关于 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上的线性泛函是否连续，我们给出等价刻画.

定理. 设 $u$ 是 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上的线性泛函，则 $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 当且仅当对于 $\mathbb{R}^n$ 上的任意紧集 $K$，存在常数 $C>0$ 和非负整数 $N$，使得任意满足条件 $\operatorname{supp}(\varphi)\subset K$ 的 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，都有 \[ \lvert u(\varphi)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le N}\sup_{x\in K}\lvert D^\alpha\varphi(x)\rvert. \] （这里的常数 $C$ 和 $N$ 依赖于紧集 $K$.）

*证明.* (1) 若对任意紧集 $K$，存在 $C>0$ 和非负整数 $N$，有 \[ \lvert u(\varphi)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le N}\sup_{x\in K}\lvert D^\alpha\varphi(x)\rvert, \] 其中 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 且 $\operatorname{supp}(\varphi)\subset K$.

不妨设 $\operatorname{supp}(\varphi_j)\subset K$ 且 $\varphi_j\xrightarrow{\mathcal{D}}0$，$j\to\infty$. 则由 \[ \lvert u(\varphi_j)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le N}\sup_{x\in K}\lvert D^\alpha\varphi_j(x)\rvert\to0, \] 可见 $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$.

(2) 反证法. 若 $u$ 连续，但对某个紧集 $K$，不存在 $C,N$，使得 \[ \lvert u(\varphi)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le N}\sup_{x\in K}\lvert D^\alpha\varphi(x)\rvert \] 成立. 那么对任意自然数 $j$，存在 $\varphi_j\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，$\operatorname{supp}(\varphi_j)\subset K$，有 \[ \lvert u(\varphi_j)\rvert>j\sum_{\lvert \alpha\rvert\le j}\sup_{x\in K}\lvert D^\alpha\varphi_j(x)\rvert. \] 令 $\psi_j(x)=\dfrac{\varphi_j(x)}{u(\varphi_j)}$，则 $\psi_j\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$，$\operatorname{supp}(\psi_j)\subset K$，$u(\psi_j)=1$. 易见 \[ \sup_{x\in K}\lvert D^\alpha\psi_j(x)\rvert<\frac{1}{j},\forall\lvert \alpha\rvert\le j. \] 因此 $\psi_j\xrightarrow{\mathcal{D}}0$，$j\to\infty$. 进而 $\lim_{j\to\infty}u(\psi_j)=0$. 矛盾!

定义（缓增分布）. $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的连续线性泛函称为缓增分布（缓增广义函数），记为 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

若 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，则 $u$ 需要满足

1. 线性：对任意 $f_1,f_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有 \[ u(\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2)=\lambda_1 u(f_1)+\lambda_2 u(f_2). \] 2. 连续性：若 $f_j,f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 满足 $f_j\xrightarrow{\mathcal{S}}f$，$j\to\infty$，则有 \[ \lim_{j\to\infty}u(f_j)=u(f). \]

$\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 中的收敛性. 设 $u,u_j\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，若对每个 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，都有 \[ \lim_{j\to\infty}u_j(\varphi)=u(\varphi), \] 则称缓增分布列 $\{u_j\}$ 收敛到 $u$，记为 \[ u_j\xrightarrow{\mathcal{S}'}u, j\to\infty. \]

定义（缓增 $L^p$ 函数）. 设 $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，若存在非负整数 $k$，使得 \[ \frac{1}{(1+\lvert x\rvert)^k}f(x)\in L^p(\mathbb{R}^n), 1\le p\le\infty, \] 那么称 $f$ 为缓增 $L^p$ 函数.

注. 1. 对任意 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$f$ 都是缓增 $L^p$ 函数. 2. 任意的多项式函数都是缓增 $L^p$ 函数.

*证明.* 设多项式函数为 $P(x)=\sum_{\lvert \alpha\rvert\le m}a_\alpha x^\alpha$. 则 \[ \frac{1}{(1+\lvert x\rvert)^{m+n+2}}P(x)\in L^p(\mathbb{R}^n). \]

例. 设 $f$ 为缓增 $L^p$ 函数，那么 $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

*证明.* 对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，记 \[ u_f(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x) \mathrm{d}x. \] 则

$$ \begin{aligned} \lvert u_f(\varphi)\rvert &=\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x) \mathrm{d}x\Biggr\rvert =\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}^n}\frac{f(x)}{(1+\lvert x\rvert)^t}(1+\lvert x\rvert)^t\varphi(x) \mathrm{d}x\Biggr\rvert\\ &\le\lVert \frac{f}{(1+\lvert \cdot \rvert)^t}\rVert_p\lVert (1+\lvert \cdot \rvert)^t\varphi\rVert_{p'}<\infty. \end{aligned} $$

可见 $u_f$ 是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的线性泛函.

下证其连续性：对任意 $\varphi_k\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0, k\to\infty. \] 则 \[ \lvert u_f(\varphi_k)\rvert=\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi_k(x) \mathrm{d}x\Biggr\rvert \le\lVert \frac{f}{(1+\lvert \cdot \rvert)^t}\rVert_p\lVert (1+\lvert \cdot \rvert)^t\varphi_k\rVert_{p'}. \] 存在多项式函数 $P$，使得 \[ \lVert (1+\lvert \cdot \rvert)^t\varphi_k\rVert_{p'}\le C_{n,t,p'}\lVert P\varphi_k\rVert_{p'}. \] 又因为 $P\varphi_k\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，所以 $\lVert P\varphi_k\rVert_{p'}\le C\sum_{\alpha}\rho_{\alpha,0}(\varphi_k)$，故 \[ \lVert (1+\lvert \cdot \rvert)^t\varphi_k\rVert_{p'}\le C'\sum_{\alpha}\rho_{\alpha,0}(\varphi_k)\to0. \] 于是 $u_f(\varphi_k)\to0$，$k\to\infty$，从而说明 $u_f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

例. 设 $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$，那么 $\mu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

*证明.* 对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，令 \[ L_\mu(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}\mu(x). \] 则 \[ \lvert L_\mu(\varphi)\rvert=\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}\mu(x)\Biggr\rvert\le\lVert \varphi\rVert_\infty\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}<\infty. \] 可见 $L_\mu$ 是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的线性泛函. 下证其连续性：对任意 $\varphi_k\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，且 $\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$，$k\to\infty$. 则

$$ \begin{aligned} \lvert L_\mu(\varphi_k)\rvert &=\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_k(x) \mathrm{d}\mu(x)\Biggr\rvert \le\lVert \varphi_k\rVert_\infty\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\\ &\le\rho_{0,0}(\varphi_k)\lVert \mu\rVert_{\mathcal{M}}\to0. \end{aligned} $$

特别地，当 $\mu=\delta_a$（Dirac 测度） \[ \delta_a(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\delta_a(x)=\varphi(a),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 而且 $\delta_a\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

例. 设 $x\in\mathbb{R}$，则 $\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$. \[ \operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert x\rvert>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x} \mathrm{d}x,\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}). \]

*证明.* 对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$，有

$$ \begin{aligned} \Biggl\lvert\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(\varphi)\Biggr\rvert &=\Biggl\lvert\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert x\rvert>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x} \mathrm{d}x\Biggr\rvert\\ &\le\Biggl\lvert\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\varepsilon<\lvert x\rvert\le1}\frac{\varphi(x)}{x} \mathrm{d}x+\int_{\lvert x\rvert>1}\frac{\varphi(x)}{x} \mathrm{d}x\Biggr\rvert\\ &\le\Biggl\lvert\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\varepsilon<\lvert x\rvert\le1}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} \mathrm{d}x+\int_{\lvert x\rvert>1}\frac{\varphi(x)}{x} \mathrm{d}x\Biggr\rvert\\ &\le\Biggl\lvert\int_{\lvert x\rvert\le1}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} \mathrm{d}x\Biggr\rvert +\Biggl\lvert\int_{\lvert x\rvert>1}\frac{x\varphi(x)}{x^2} \mathrm{d}x\Biggr\rvert. \end{aligned} $$

因此，

$$ \begin{aligned} \Biggl\lvert\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(\varphi)\Biggr\rvert &\le\Biggl\lvert\int_{\lvert x\rvert\le1}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} \mathrm{d}x\Biggr\rvert +\Biggl\lvert\int_{\lvert x\rvert>1}\frac{x\varphi(x)}{x^2} \mathrm{d}x\Biggr\rvert\\ &\le 2\lVert \varphi'\rVert_\infty+2\sup_{x\in\mathbb{R}}\lvert x\varphi(x)\rvert\\ &\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert,\lvert \beta\rvert\le1}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi)<\infty. \end{aligned} $$

若 $\varphi_k\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，且 $\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$，$k\to\infty$. 则 \[ \Biggl\lvert\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(\varphi_k)\Biggr\rvert \le C\sum_{\lvert \alpha\rvert,\lvert \beta\rvert\le1}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi_k)\to0, k\to\infty. \]

定理. $L^p(\mathbb{R}^n)$，$\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 均可连续嵌入到 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 内，$1\le p\le\infty$. 这里的连续嵌入指的是若 $f_k\xrightarrow{L^p}f$，则在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 中有 $L_{f_k}\to L_f$；若 $\mu_k\xrightarrow{\mathcal{M}}\mu$，则在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 中有 $\mu_k\to\mu$.

*证明.* (1) 对于任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ L_{f_k}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f_k(x) \mathrm{d}x. \] 因为 \[ \int_{\mathbb{R}^n}\lvert f_k(x)-f(x)\rvert\lvert \varphi(x)\rvert \mathrm{d}x\le\lVert f_k-f\rVert_p\lVert \varphi\rVert_{p'}\to0, k\to\infty, \] 所以 \[ L_{f_k}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f_k(x) \mathrm{d}x\to\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)f(x) \mathrm{d}x=L_f(\varphi). \]

(2) 对于任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ L_{\mu_k}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu_k(x). \] 因为 $\lVert \mu_k-\mu\rVert_{\mathcal{M}}\to0$，结合 Riesz 表示定理可得对任意 $\varphi\in C_0(\mathbb{R}^n)$， \[ \lvert \langle\mu_k,\varphi\rangle-\langle\mu,\varphi\rangle\rvert=\lvert \langle\mu_k-\mu,\varphi\rangle\rvert\le\lVert \mu_k-\mu\rVert_{\mathcal{M}}\lVert \varphi\rVert_\infty\to0. \] 由 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\subset C_0(\mathbb{R}^n)$，可见 \[ L_{\mu_k}(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu_k(x)\to\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) d\mu(x)=L_\mu(\varphi). \]

定理. $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上的线性泛函 $u$ 是连续的当且仅当存在常数 $C>0$，非负整数 $m,k$，使得对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ \lvert u(\varphi)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le k, \lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi). \]

*证明.* (1) “$\Longleftarrow$” 若 $\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0$，$k\to\infty$，则 \[ \lvert u(\varphi_k)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le k, \lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi_k)\to0, k\to\infty. \] 故 $u$ 是连续的线性泛函.

(2) “$\Longrightarrow$” 反证法. 设 $u$ 连续，但不存在 $C,k,m$，使得 \[ \lvert u(\varphi)\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le k, \lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi) \] 成立. 那么对任意 $m\in\mathbb{N}$，存在 $\varphi_m\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，使得 \[ \lvert u(\varphi_m)\rvert>m\sum_{\lvert \alpha\rvert,\lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi_m). \] 令 $\psi_m(x)=\dfrac{\varphi_m(x)}{u(\varphi_m)}$，则 $\psi_m\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，且 \[ \sum_{\lvert \alpha\rvert,\lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(\psi_m) =\frac{1}{\lvert u(\varphi_m)\rvert}\sum_{\lvert \alpha\rvert,\lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(\varphi_m)<\frac{1}{m}. \] 因此，对于 $\alpha,\beta$ 满足 $\lvert \alpha\rvert\le m$，$\lvert \beta\rvert\le m$，有 \[ \rho_{\alpha,\beta}(\psi_m)<\frac{1}{m}. \] 故对任意的多重指标 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$， \[ \rho_{\alpha,\beta}(\psi_m)\to0, m\to\infty. \] 这表明 $\psi_m\xrightarrow{\mathcal{S}}0$. 由 $u$ 的连续性，$\lim_{m\to\infty}u(\psi_m)=0$. 但是 \[ \lvert u(\psi_m)\rvert=\frac{1}{\lvert u(\varphi_m)\rvert}\lvert u(\varphi_m)\rvert=1. \] 矛盾!

定义（慢增 $C^\infty$ 函数）. 设 $f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，且对每个多重指标 $\alpha\in\Z_+^n$，都存在常数 $C_\alpha>0$ 和非负整数 $k$，使得 \[ \lvert D^\alpha f(x)\rvert\le C_\alpha(1+\lvert x\rvert)^k,\forall x\in\mathbb{R}^n, \] 则称 $f$ 是慢增的 $C^\infty$ 函数. 慢增的 $C^\infty$ 函数全体记为 $\mathcal{D}_M(\mathbb{R}^n)$.

显然，若 $f\in\mathcal{D}_M(\mathbb{R}^n)$，则 $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

性质. 若 $f\in\mathcal{D}_M(\mathbb{R}^n)$，则映射 \[ \varphi\mapsto f\varphi \] 是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 到 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中的连续线性映射.

*证明.* 这是因为对任意的多重指标 $\alpha,\beta$，

$$ \begin{aligned} \sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\lvert D^\beta(f\varphi)(x)\rvert &=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\lvert x^\alpha\rvert\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}C_{\gamma,\beta}\lvert D^\gamma f(x)\rvert\lvert D^{\beta-\gamma}\varphi(x)\rvert\\ &\le\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}C_{\alpha,\gamma,\beta}\lvert x\rvert^{\lvert \alpha\rvert}(1+\lvert x\rvert)^{k_\gamma}\lvert D^{\beta-\gamma}\varphi(x)\rvert\\ &\le\sup_{x\in\mathbb{R}^n}\sum_{\lvert \gamma\rvert\le\lvert \beta\rvert}C_{\alpha,\gamma,\beta}(1+\lvert x\rvert)^N\lvert D^{\beta-\gamma}\varphi(x)\rvert \text{（存在正整数 $N$）}\\ &\le C\sum_{\lvert \delta\rvert\le N, \lvert \xi\rvert\le\lvert \beta\rvert}\rho_{\delta,\xi}(\varphi)<\infty. \end{aligned} $$

因此可以定义 $\mathcal{D}_M(\mathbb{R}^n)$ 中函数 $f$ 与缓增分布 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 的乘法运算如下： \[ (fu)(\varphi)=u(f\varphi),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 可以验证这样定义的 $fu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

*证明.* 由上述性质，对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有 $f\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$. 若 \[ \varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0, k\to\infty, \] 则 \[ f\varphi_k\xrightarrow{\mathcal{S}}0, k\to\infty. \] 故 \[ (fu)(\varphi_k)=u(f\varphi_k)\to0, k\to\infty. \] 即 $fu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

例. 设 $f(x)=(\cos e^x)'=-e^x\sin e^x$，$x\in\mathbb{R}$. 则 $f\notin\mathcal{D}_M(\mathbb{R})$，但是 $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$. 这是因为对任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$， \[ \langle f,\varphi\rangle=\int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}}\varphi(x) d(\cos e^x)=-\int_{\mathbb{R}}\cos e^x \varphi'(x) \mathrm{d}x. \] 从而

$$ \begin{aligned} \lvert \langle f,\varphi\rangle\rvert &=\Biggl\lvert\int_{\mathbb{R}}\cos e^x \varphi'(x) \mathrm{d}x\Biggr\rvert \le\int_{\mathbb{R}}\lvert \varphi'(x)\rvert \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert)^2}(1+\lvert x\rvert)^2\lvert \varphi'(x)\rvert \mathrm{d}x\\ &\le\sup_{x\in\mathbb{R}}[(1+\lvert x\rvert)^2\lvert \varphi'(x)\rvert]\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+\lvert x\rvert)^2} \mathrm{d}x\\ &\le C\sum_{0\le\alpha\le2}\rho_{\alpha,1}(\varphi). \end{aligned} $$

例. 设 $u(x)=\sum_{m=1}^\infty\delta_m$：对任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$， \[ \langle u,\varphi\rangle=\sum_{m=1}^\infty\delta_m(\varphi)=\sum_{m=1}^\infty\varphi(m). \] 则 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$. 这是因为 \[ \lvert \langle u,\varphi\rangle\rvert=\Biggl\lvert\sum_{m=1}^\infty\varphi(m)\Biggr\rvert \le\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m^2}\lvert m^2\varphi(m)\rvert \le\rho_{2,0}(\varphi)\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m^2}. \]

函数 $e^{x^2}\in C^\infty(\mathbb{R})$，但是 $e^{x^2}u(x)\notin\mathcal{S}'(\mathbb{R})$. 取 $\varphi(x)=e^{-x^2}\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$，则 \[ \langle e^{x^2}u,\varphi\rangle=\langle u,e^{x^2}\varphi\rangle=\langle u,1\rangle=1+1+\cdots+1+\cdots \] 但是若 $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$，则有 $e^{x^2}u(x)\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. 这是因为对任意的 $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$， \[ \langle e^{x^2}u,\varphi\rangle=\langle u,e^{x^2}\varphi\rangle=\sum_{m=1}^\infty e^{m^2}\varphi(m). \] 注意到上式和只有有限多个非零项.

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