缓增分布的 Fourier 变换

这是 傅里叶分析笔记 的一节。 上一篇是 分布与缓增分布。

缓增分布的 Fourier 变换

### 卷积

对 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则 $u*\varphi\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，具体定义为 \[ (u*\varphi)(\psi)=u(\widetilde{\varphi}*\psi),\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \]

定理. 设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则 $u*\varphi$ 是一个函数，具体为对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$， \[ (u*\varphi)(x)=u(T_x\widetilde{\varphi}). \] 如记 $f(x)=u(T_x\widetilde{\varphi})$，那么 $f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，且 $f$ 及各阶导数均为缓增分布.

*证明.* (1) 先证明 $f(x)=u(T_x\widetilde{\varphi})\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$. 设 $h=(0,\dots,0,h_k,0,\dots,0)\in\mathbb{R}^n$，则 \[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h_k} =\frac{u(T_{x+h}\widetilde{\varphi})-u(T_x\widetilde{\varphi})}{h_k} =u\Biggl(\frac{T_{x+h}\widetilde{\varphi}-T_x\widetilde{\varphi}}{h_k}\Biggr). \] 由 4.1 节，对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ \frac{\varphi-T_h\varphi}{h_k}\xrightarrow{\mathcal{S}}\frac{\partial\varphi}{\partial x_k},\lvert h\rvert\to0. \] 因此 \[ \frac{T_h\widetilde{\varphi}-\widetilde{\varphi}}{h_k}\xrightarrow{\mathcal{S}}-\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k},\lvert h\rvert\to0, \] 以及对任意 $x\in\mathbb{R}^n$， \[ \frac{T_{x+h}\widetilde{\varphi}-T_x\widetilde{\varphi}}{h_k}\xrightarrow{\mathcal{S}}-T_x\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k},\lvert h\rvert\to0. \] 从而

$$ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_k}(x) &=\lim_{\lvert h\rvert\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h_k} =\lim_{\lvert h\rvert\to0}u\Biggl(\frac{T_{x+h}\widetilde{\varphi}-T_x\widetilde{\varphi}}{h_k}\Biggr)\\ &=u\Biggl(-T_x\Biggl(\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\Biggr)\Biggr) =-u\Biggl(T_x\Biggl(\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\Biggr)\Biggr). \end{aligned} $$

下证 $\dfrac{\partial f}{\partial x_k}\in C(\mathbb{R}^n)$. 对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，

$$ \begin{aligned} \Biggl\lvert\frac{\partial f}{\partial x_k}(x+h)-\frac{\partial f}{\partial x_k}(x)\Biggr\rvert &=\Biggl\lvert u\Biggl(T_{x+h}\Biggl(\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\Biggr)\Biggr) -u\Biggl(T_x\Biggl(\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\Biggr)\Biggr)\Biggr\rvert\\ &=\Biggl\lvert u\Biggl(T_{x+h}\Biggl(\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\Biggr) -T_x\Biggl(\frac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\Biggr)\Biggr)\Biggr\rvert\to0, \lvert h\rvert\to0. \end{aligned} $$

故 $\dfrac{\partial f}{\partial x_k}\in C(\mathbb{R}^n)$.

这里收敛性的原因：利用 $\dfrac{\partial\widetilde{\varphi}}{\partial x_k}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，$u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，以及对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有 \[ T_h(\varphi)\xrightarrow{\mathcal{S}}\varphi,\lvert h\rvert\to0. \] 重复此过程我们可得对任意 $\beta\in\Z_+^n$，$D^\beta f$ 存在并连续，且 \[ (D^\beta f)(x)=(-1)^{\lvert \beta\rvert}u(T_x(D^\beta\widetilde{\varphi})). \]

(2) 再证明 $f(x)=u(T_x\widetilde{\varphi})\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$. 因为 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，则存在常数 $C>0$，非负整数 $m,k$，使得 \[ \lvert u(T_x\widetilde{\varphi})\rvert\le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le k, \lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(T_x\widetilde{\varphi}). \] 计算对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$，

$$ \begin{aligned} \rho_{\alpha,\beta}(T_x\widetilde{\varphi}) &=\sup_{t\in\mathbb{R}^n}\lvert t^\alpha D^\beta\widetilde{\varphi}(t-x)\rvert =\sup_{t\in\mathbb{R}^n}\lvert (x+t)^\alpha D^\beta\widetilde{\varphi}(t)\rvert\\ &=\sup_{t\in\mathbb{R}^n}\Biggl\lvert\sum_{\alpha'+\beta'=\alpha}C_{\alpha',\beta'}x^{\alpha'}t^{\beta'}\Biggr\rvert\lvert D^\beta\widetilde{\varphi}(t)\rvert\\ &\le C\sup_{t\in\mathbb{R}^n}\Biggl(\sum_{\substack{\lvert \alpha'\rvert\le\lvert \alpha\rvert\\ \lvert \beta'\rvert\le\lvert \alpha\rvert}}\lvert x\rvert^{\lvert \alpha'\rvert}\lvert t\rvert^{\lvert \beta'\rvert}\lvert D^\beta\widetilde{\varphi}(t)\rvert\Biggr). \end{aligned} $$

因为 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，所以存在 $M>0$， \[ \sup_{t\in\mathbb{R}^n}\Biggl(\sum_{\lvert \beta'\rvert\le\lvert \alpha\rvert}\lvert t\rvert^{\lvert \beta'\rvert}\lvert D^\beta\widetilde{\varphi}(t)\rvert\Biggr)\le M. \] 故 \[ \rho_{\alpha,\beta}(T_x\widetilde{\varphi})\le C\sum_{\lvert \alpha'\rvert\le\lvert \alpha\rvert}\lvert x\rvert^{\lvert \alpha'\rvert}M. \] 进而存在 $k\in\Z_+$，

$$ \begin{aligned} \lvert f(x)\rvert &=\lvert u(T_x\widetilde{\varphi})\rvert \le C\sum_{\lvert \alpha\rvert\le k, \lvert \beta\rvert\le m}\rho_{\alpha,\beta}(T_x\widetilde{\varphi})\\ &\le C\sum_{\lvert \alpha'\rvert\le k}\lvert x\rvert^{\lvert \alpha'\rvert} \le C(1+\lvert x\rvert)^k. \end{aligned} $$

这表明 $f$ 是缓增 $L^\infty$ 函数，故 $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

(3) 最后证明 $u*\varphi$ 是一个函数，即证对任意 $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，都有 \[ (u*\varphi)(\psi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\psi(t) \mathrm{d}t. \] 由卷积定义 \[ (u*\varphi)(\psi)=u(\widetilde{\varphi}*\psi)=u\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\widetilde{\varphi}(x-t)\psi(t) \mathrm{d}t\Biggr) =u\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}T_t\widetilde{\varphi}(x)\psi(t) \mathrm{d}t\Biggr). \] 另一方面，

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}T_t\widetilde{\varphi}(x)\psi(t) \mathrm{d}t &=\lim_{k\to\infty}\int_{\lvert t\rvert\le k}T_t\widetilde{\varphi}(x)\psi(t) \mathrm{d}t\\ &=\lim_{k\to\infty}\lim_{\lvert \Delta\rvert\to0}\sum_j T_{t_j}\widetilde{\varphi}(x)\psi(t_j)\Delta t_j. \end{aligned} $$

由 $u$ 的连续性

$$ \begin{aligned} u\Biggl(\int_{\mathbb{R}^n}T_t\widetilde{\varphi}(x)f(t) \mathrm{d}t\Biggr) &=\lim_{k\to\infty}\lim_{\lvert \Delta\rvert\to0}\sum_j u(T_{t_j}\widetilde{\varphi}(x))\psi(t_j)\Delta t_j\\ &=\lim_{k\to\infty}\int_{\lvert t\rvert\le k}u(T_t\widetilde{\varphi}(x))\psi(t) \mathrm{d}t =\int_{\mathbb{R}^n}f(t)\psi(t) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

注. 这里用到了黎曼和在 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 中收敛到黎曼积分. 将 $[-N,N]^n$ 分成 $(2N^2)^n$ 个方体 $\{Q_m\}_{m=1}^{(2N^2)^n}$，其中每个方体边长为 $N^{-1}$，$y_m$ 是 $Q_m$ 的中心. 需要证明当 $N\to\infty$， \[ \sum_{m=1}^{(2N^2)^n}\widetilde{\varphi}(x-y_m)\psi(y_m)\lvert Q_m\rvert\xrightarrow{\mathcal{S}}\int_{\mathbb{R}^n}\widetilde{\varphi}(x-y)\psi(y) \mathrm{d}y. \] 只需说明对任意 $\alpha,\beta\in\Z_+^n$， \[ \sum_{m=1}^{(2N^2)^n}x^\alpha D^\beta\widetilde{\varphi}(x-y_m)\psi(y_m)\lvert Q_m\rvert\xrightarrow{L^\infty}\int_{\mathbb{R}^n}x^\alpha D^\beta\widetilde{\varphi}(x-y)\psi(y) \mathrm{d}y. \]

例. Dirac 测度 $\delta_a\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，则对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ (\delta_a*f)(\varphi)=\delta_a(\widetilde{f}*\varphi)=(\widetilde{f}*\varphi)(a)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-a)\varphi(x) \mathrm{d}x. \] 可见 $\delta_a*f$ 是一个函数，具体为 \[ (\delta_a*f)(x)=T_af(x)=f(x-a). \]

回顾. 在 3.4 节，$f$ 与 Dirac 测度 $\delta_a$ 的卷积为 \[ (\delta_a*f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-t) d\delta_a(t)=f(x-a),\forall x\in\mathbb{R}^n. \] 可见 $\delta_a$ 作为缓增分布的卷积运算与作为 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^n)$ 上的卷积运算是一致的.

例（Heaviside 函数）. $\mathbb{R}$ 上的 Heaviside 函数 $H$ 定义为 \[ H(x)=\begin{cases} 1,&x>0,\\ 0,&x\le0. \end{cases} \] 设 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$，由定理 1，

$$ \begin{aligned} (H*f)(x) &=H(T_x\widetilde{f})=\int_0^\infty T_x\widetilde{f}(y) \mathrm{d}y\\ &=\int_0^\infty\widetilde{f}(y-x) \mathrm{d}y=\int_0^\infty f(x-y) \mathrm{d}y\\ &=\int_{-\infty}^x f(y) \mathrm{d}y. \end{aligned} $$

### 微分

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$\beta\in\Z_+^n$ 为多重指标，则 $u$ 的偏导数 $D^\beta u$ 定义为 \[ (D^\beta u)(\varphi)=(-1)^{\lvert \beta\rvert}u(D^\beta\varphi),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 因此，缓增分布 $u$ 的偏导数 $D^\beta u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

例. $\mathbb{R}$ 上的 Heaviside 函数 \[ H(x)=\begin{cases} 1,&x>0,\\ 0,&x\le0 \end{cases} \] 则 $H'=\delta$. 因为对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$， \[ H'(\varphi)=-H(\varphi')=-\int_0^\infty\varphi'(x) \mathrm{d}x=\varphi(0)=\delta(\varphi). \]

### 平移

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$h\in\mathbb{R}^n$，则 $u$ 的平移 $T_hu$ 定义为 \[ (T_hu)(\varphi)=u(T_{-h}\varphi),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 因此，缓增分布 $u$ 的平移 $T_hu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$.

### 线性变换

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$T$ 为 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的可逆线性变换，则 $T$ 对 $u$ 的作用定义为 \[ (Tu)(\varphi)=\lvert \det(T)\rvert^{-1}u(T^{-1}\varphi),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 这里 $T$ 作用于函数 $\varphi$ 指的是 $(T^{-1}\varphi)(x)=\varphi(T^{-1}x)$.

### 伸缩

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$a\neq0$，则 $u$ 的伸缩 $\eta_au$ 定义为 \[ (\eta_au)(\varphi)=\lvert a\rvert^{-n}u(\eta_{a^{-1}}\varphi),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 伸缩变换是特殊的线性变换 $T:x\mapsto ax$，对应的矩阵 $T=aI$.

### 反射

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，则 $u$ 的反射 $\widetilde{u}$ 定义为 \[ \widetilde{u}(\varphi)=u(\widetilde{\varphi}),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 反射变换是特殊的线性变换 $T:x\mapsto -x$，对应的矩阵 $T=-I$.

### 乘积

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，则 $u$ 与 Schwartz 函数 $\varphi$ 的乘积定义为 \[ (u\varphi)(\psi)=u(\varphi\psi),\forall\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \]

### Fourier 变换

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，则 $u$ 的 Fourier 变换 $\widehat{u}$ 定义为 \[ \widehat{u}(\varphi)=u(\widehat{\varphi}),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \]

定理. 1. Fourier 变换 $\mathcal{F}:\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)\longrightarrow\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 是连续的双射，所以 Fourier 变换是可逆的，对任意 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，记 $\check{u}=\mathcal{F}^{-1}(u)$. 则 \[ \check{u}(\varphi)=u(\check{\varphi}),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 可见 $\mathcal{F}^{-1}$ 亦连续. 2. 对任意的 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1\le p\le2$，其作为缓增分布的 Fourier 变换和其作为 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中函数的 Fourier 变换是一致的.

*证明.* (i) 首先证明 $\mathcal{F}$ 在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 上是连续的.

设 $\{u_k\}\subset\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 且 $u_k\to0$，$k\to\infty$（缓增分布意义下）. 于是，对任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，有 $u_k(\varphi)\to0$. 从而 \[ \widehat{u}_k(\varphi)=u_k(\widehat{\varphi})\to0,\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 因此 $\widehat{u}_k\to0$，$k\to\infty$. 故 $\mathcal{F}$ 在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 上连续.

再证明 $\mathcal{F}$ 在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 上是单射. 若 $u_1,u_2\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 且 $\widehat{u}_1=\widehat{u}_2$. 那么对任意的 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ u_1(\varphi)=u_1((\check{\varphi})^\wedge)=\widehat{u}_1(\check{\varphi})=\widehat{u}_2(\check{\varphi})=u_2((\check{\varphi})^\wedge)=u_2(\varphi). \] 这表明 $u_1=u_2$. 故 $\mathcal{F}$ 在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 上是单射.

最后证明 $\mathcal{F}$ 是满射. 令 \[ \check{u}(\varphi)=u(\check{\varphi}),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 显然 $\check{u}\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$. 对任意的 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，$\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ u(\varphi)=u(\check{\widehat{\varphi}})=\check{u}(\widehat{\varphi})=(\check{u})^\wedge(\varphi). \] 这表明 $(\check{u})^\wedge=u$. 可见 $u$ 是 $\check{u}$ 的 Fourier 变换，故 $\mathcal{F}$ 是满射. 类似于 $\mathcal{F}$ 的连续性证明，可得 $\mathcal{F}^{-1}$ 也是连续的.

(ii) 假设 $p=1$ 或 $p=2$，视 $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，由定义 \[ \langle\widehat{f},\varphi\rangle=\langle f,\widehat{\varphi}\rangle,\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 从而 \[ \langle\widehat{f},\varphi\rangle=\langle f,\widehat{\varphi}\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{\varphi}(x) \mathrm{d}x. \] 利用第三章乘法公式 \[ \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\widehat{\varphi}(x) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\varphi(x) \mathrm{d}x. \] 因此对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$， \[ \langle\widehat{f},\varphi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\widehat{f}(x)\varphi(x) \mathrm{d}x. \] 可见 $L^1(\mathbb{R}^n)$，$L^2(\mathbb{R}^n)$ 中函数的 Fourier 变换和在缓增分布意义下的 Fourier 变换是一致的.

利用 Fourier 变换的线性性，对任意 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$，$1

\subsection*{$\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 缓增分布的 Fourier 变换公式表}

设 $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$，

$$ \begin{aligned} (\widehat{u})^\wedge&=\widetilde{u},& (\widetilde{u})^\wedge&=\widetilde{\widehat{u}},\\ (T_hu)^\wedge&=e^{-2\pi i\xi\cdot h}\widehat{u},\\ (e^{2\pi ix\cdot h}u)^\wedge&=T_h\widehat{u},\\ (\eta_au)^\wedge&=\lvert a\rvert^{-n}\eta_{a^{-1}}\widehat{u},\\ (P(D)u)^\wedge&=P(2\pi i\xi)\widehat{u},\\ (P(x)u)^\wedge&=P(\frac{i}{2\pi}D)\widehat{u},\\ (u*\varphi)^\wedge&=\widehat{u}\widehat{\varphi},&\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\\ (u\varphi)^\wedge&=\widehat{u}*\widehat{\varphi},&\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \end{aligned} $$

例. Dirac 测度 $\delta_a\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$. 则对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，

$$ \begin{aligned} \widehat{\delta}_a(\varphi)&=\delta_a(\widehat{\varphi})=\widehat{\varphi}(a)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)e^{-2\pi ix\cdot a} \mathrm{d}x=\langle e^{-2\pi ix\cdot a},\varphi\rangle,\\ \widehat{\delta}(\varphi)&=\delta(\widehat{\varphi})=\widehat{\varphi}(0)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x) \mathrm{d}x=\langle1,\varphi\rangle. \end{aligned} $$

故在缓增分布意义下 \[ \widehat{\delta}_a=e^{-2\pi ix\cdot a},\widehat{\delta}=1. \]

回顾. 在 3.4 节，Dirac 测度 $\delta_a$ 的 Fourier 变换为 \[ \widehat{\delta}_a(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi ix\cdot t} d\delta_a(t)=e^{-2\pi ix\cdot a}, \widehat{\delta}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi ix\cdot t} d\delta(t)=1. \] 所以 Dirac 测度的 Fourier 变换与作为缓增分布的 Fourier 变换是一致的.

另一方面，将 $e^{2\pi ix\cdot a}$ 视为缓增分布，其 Fourier 变换为 \[ (e^{2\pi ix\cdot a})^\wedge(\varphi)=e^{2\pi ix\cdot a}(\widehat{\varphi})=\int_{\mathbb{R}^n}e^{2\pi ix\cdot a}\widehat{\varphi}(x) \mathrm{d}x. \] 运用反演公式， \[ (e^{2\pi ix\cdot a})^\wedge(\varphi)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{2\pi ix\cdot a}\widehat{\varphi}(x) \mathrm{d}x=\varphi(a)=\delta_a(\varphi). \] 这表明 \[ (e^{2\pi ix\cdot a})^\wedge=\delta_a,\widehat{1}=\delta. \]

例. Dirac 测度 $\delta\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 的微分 \[ (D^\beta\delta)(\varphi)=(-1)^{\lvert \beta\rvert}\delta(D^\beta\varphi),\forall\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n). \] 则

$$ \begin{aligned} (D^\beta\delta)^\wedge(\varphi) &=(D^\beta\delta)(\widehat{\varphi})=(-1)^{\lvert \beta\rvert}\delta(D^\beta\widehat{\varphi})\\ &=(-1)^{\lvert \beta\rvert}\delta([(-2\pi ix)^\beta\varphi]^\wedge)\\ &=(-1)^{\lvert \beta\rvert}[(-2\pi ix)^\beta\varphi]^\wedge(0)\\ &=(-1)^{\lvert \beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^n}(-2\pi ix)^\beta\varphi(x) \mathrm{d}x\\ &=\int_{\mathbb{R}^n}(2\pi ix)^\beta\varphi(x) \mathrm{d}x. \end{aligned} $$

故在缓增分布意义下 \[ (D^\beta\delta)^\wedge=(2\pi ix)^\beta. \]

同理可证 \[ (D^\beta\delta_a)^\wedge(x)=(2\pi ix)^\beta e^{-2\pi ix\cdot a}. \] 对照公式 \[ (P(D)u)^\wedge=P(2\pi i\xi)\widehat{u}, u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n). \]

例. 设 $x\in\mathbb{R}$，$k\in\mathbb{N}$，证明：在缓增分布的意义下 \[ (x^k)^\wedge=(\frac{i}{2\pi})^k D^k\delta. \]

*证明.* 由定义，对任意 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，

$$ \begin{aligned} (x^k)^\wedge(\varphi) &=\langle x^k,\widehat{\varphi}\rangle =\int_{\mathbb{R}}x^k\widehat{\varphi}(x) \mathrm{d}x =\frac{1}{(2\pi i)^k}\int_{\mathbb{R}}(2\pi ix)^k\widehat{\varphi}(x) \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{(2\pi i)^k}\int_{\mathbb{R}}(D^k\varphi)^\wedge(x) \mathrm{d}x =\frac{1}{(2\pi i)^k}(D^k\varphi)(0). \end{aligned} $$

从而

$$ \begin{aligned} (x^k)^\wedge(\varphi) &=\frac{1}{(2\pi i)^k}(D^k\varphi)(0) =\frac{1}{(2\pi i)^k}\delta(D^k\varphi)\\ &=\frac{1}{(-2\pi i)^k}(D^k\delta)(\varphi) =\Biggl\langle(\frac{i}{2\pi})^k D^k\delta,\varphi\Biggr\rangle. \end{aligned} $$

对照公式 \[ (P(x)u)^\wedge=P(\frac{i}{2\pi}D)\widehat{u}, u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n). \]

例. 计算 $(\sin ax)^\wedge$，$(\cos ax)^\wedge$（$a,x\in\mathbb{R}$）.

*证明.* 结合例 4， \[ (\sin ax)^\wedge=\frac{1}{2i}[e^{iax}-e^{-iax}]^\wedge=\frac{1}{2i}[\delta_{\frac{a}{2\pi}}-\delta_{-\frac{a}{2\pi}}]. \] 同样， \[ (\cos ax)^\wedge=\frac{1}{2}[e^{iax}+e^{-iax}]^\wedge=\frac{1}{2}[\delta_{\frac{a}{2\pi}}+\delta_{-\frac{a}{2\pi}}]. \]

例. 设 $x\in\mathbb{R}$，计算 $\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ 的 Fourier 变换.

*证明.* 因为 \[ \operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert x\rvert>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x} \mathrm{d}x,\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}). \] 由缓增分布 Fourier 变换定义

$$ \begin{aligned} \Biggl[\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}\Biggr]^\wedge(\varphi) &=\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(\widehat{\varphi}) =\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert \xi\rvert>\varepsilon}\frac{1}{\xi}\widehat{\varphi}(\xi) \mathrm{d}\xi\\ &=\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\ N\to\infty}}\int_{\varepsilon<\lvert \xi\rvert\le N}\frac{1}{\xi}\Biggl(\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)e^{-2\pi i\xi t} \mathrm{d}t\Biggr) \mathrm{d}\xi\\ &=\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\ N\to\infty}}\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)\Biggl(\int_{\varepsilon<\lvert \xi\rvert\le N}\frac{1}{\xi}e^{-2\pi i\xi t} \mathrm{d}\xi\Biggr) \mathrm{d}t\\ &=-i\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\ N\to\infty}}\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)\Biggl(\int_{\varepsilon<\lvert \xi\rvert\le N}\frac{\sin(2\pi\xi t)}{\xi} \mathrm{d}\xi\Biggr) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

因为 \[ \int_0^\infty\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}, \] 则 \[ \lim_{\substack{\varepsilon\to0\\ N\to\infty}}\int_{\varepsilon<\lvert \xi\rvert\le N}\frac{\sin(2\pi\xi t)}{\xi} \mathrm{d}\xi=\pi\operatorname{sgn}t. \] 又因为 \[ \Biggl\lvert\int_a^b\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t\Biggr\rvert\le4,\forall 0

$$ \begin{aligned} \Biggl[\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}\Biggr]^\wedge(\varphi) &=-i\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\ N\to\infty}}\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)\Biggl(\int_{\varepsilon<\lvert \xi\rvert\le N}\frac{\sin(2\pi\xi t)}{\xi} \mathrm{d}\xi\Biggr) \mathrm{d}t\\ &=\int_{\mathbb{R}}\varphi(t)(-i\pi\operatorname{sgn}t) \mathrm{d}t. \end{aligned} $$

对任意的 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$，计算

$$ \begin{aligned} \Biggl(\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}*f\Biggr)(x) &=\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}(T_x\widetilde{f}) =\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert y\rvert>\varepsilon}\frac{f(x-y)}{y} \mathrm{d}y\\ &=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert x-y\rvert>\varepsilon}\frac{f(y)}{x-y} \mathrm{d}y. \end{aligned} $$

对任意的 $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$，定义算子 \[ Hf=\frac{1}{\pi}\Biggl(\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}*f\Biggr)(x)=\frac{1}{\pi}\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\lvert y\rvert>\varepsilon}\frac{f(x-y)}{y} \mathrm{d}y, \] 称算子 $H$ 为 Hilbert 变换. 由上面的计算过程可见 \[ (Hf)^\wedge(\xi)=\frac1\pi\Biggl(\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}*f\Biggr)^\wedge(\xi)=(-i\operatorname{sgn}\xi)\widehat{f}(\xi). \]

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