analysis
流形的概念
流形思想可以追溯到 Euler、Lagrange、Grassmann、Plücker、Cauchy、Gauss。“Manifold” 来自德文 *Mannigfaltigkeit*，这个词最早出现在 Riemann 1851 年的博士论文里。Poincaré 在创立代数拓扑时已经研究了大量具体例子。1912 年 Weyl 在 Riemann 曲面的著作中给出了二维流形的定义；1936 年 Whitney 提出了现在广泛采用的微分流形定义。
中文“流形”是拓扑学家江泽涵先生（南开校友）把 “manifold” 译成的。出典有两处：文天祥《正气歌》里的诗句“天地有正气，杂然赋流形”，以及《易经》里“云行雨施，品物流形”。四川大学罗懋康教授为北京大学国际数学研究中心全斋所作对联是
> 天道几何，万品流形先自守；变分无限，孤心测度有同伦。
### 拓扑预备
定义（拓扑空间）. 设 $X$ 是非空集合，$\tau$ 是 $X$ 的一个子集族。称 $\tau$ 为 $X$ 的一个拓扑，如果
1. $X\in\tau$，$\emptyset\in\tau$； 2. $\tau$ 对任意并封闭； 3. $\tau$ 对有限交封闭。
称 $(X,\tau)$ 为拓扑空间，$\tau$ 中的元素为开集。
定义（拓扑基）. 设 $\mathcal{B}$ 是 $X$ 的一个子集族。称 $\mathcal{B}$ 是 $X$ 的一个拓扑基，如果
1. 任意 $x\in X$，存在 $B\in\mathcal{B}$ 使得 $x\in B$； 2. 对任意 $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ 以及任意 $x\in B_1\cap B_2$，存在 $B_3\in\mathcal{B}$ 使得 $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$。
拓扑基 $\mathcal{B}$ 以下面方式生成 $X$ 上的一个拓扑 \[ \tau=\{U\subset X \bigm| \text{若 }x\in U\text{，则存在 }B\in\mathcal{B}\text{ 使 }x\in B\subset U\}. \] 更直观地说：$\mathcal{B}$ 是 $X$ 上某个拓扑 $\tau$ 的拓扑基，当且仅当 $\tau$ 中开集可以写成 $\mathcal{B}$ 中元素的任意并或者有限交。
定义（$A_2$（$C_2$）空间）. 具有可数拓扑基的拓扑空间称为$A_2$ 空间（亦称 $C_2$ 空间、第二可数空间）。
性质（$A_2$）. $A_2$ 空间具有 Lindelöf 性质：任一开覆盖都有可数子覆盖。$A_2$ 空间还是可分的。
定义（$T_2$ 空间）. 称拓扑空间 $X$ 是 $T_2$ 的或Hausdorff 的，若对任意 $x_1\neq x_2$，存在开集 $U_1,U_2$ 使得 $x_1\in U_1$、$x_2\in U_2$ 且 $U_1\cap U_2=\emptyset$。
性质（$T_2$）. 在 $T_2$ 空间中，有限点集是闭集；序列的极限点若存在则唯一。
### 拓扑流形与微分流形
定义（拓扑流形）. 设 $M$ 是一个拓扑空间。称 $M$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，若
1. $M$ 是 $T_2$ 的； 2. $M$ 是 $A_2$ 的； 3. $M$ 是局部 $n$-欧氏的：对任意 $x\in M$，存在 $x$ 的一个邻域同胚于 $\mathbb{R}^n$ 的某个开集。
注. 以上任意两个条件都不蕴含第三个。反例见 Lee *Introduction to Smooth Manifolds* (2nd ed.) 第 29–30 页，Problem 1-1、1-2。三个条件各有用途：$T_2$ 保证极限唯一、商空间不太病态；$A_2$ 保证单位分解、仿紧和可度量化；局部欧氏才是“看起来像欧氏空间”。
定义（$C^r$ 微分流形）. 设 $M$ 是一个 $n$ 维拓扑流形。称 $M$ 是一个 $C^r$（$r\ge 1$）微分流形，若存在 $M$ 的开覆盖 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 及相应的连续映射族 $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$，满足
1. $\varphi_\alpha$ 是从 $U_\alpha$ 到 $\varphi_\alpha(U_\alpha)\subset\mathbb{R}^n$ 的同胚； 2. 当 $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ 时，转换映射 \[ \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) \] 是 $C^r$ 映射。
当 $r=\infty$ 时也称 $M$ 为光滑流形。称 $U_\alpha$ 为局部坐标邻域，$\varphi_\alpha$ 为局部坐标映射，$(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 为局部坐标系，$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$ 为局部坐标覆盖（或图册）。
*两个局部坐标系之间的转换映射。阴影区域对应 $U\cap V$。*
转换映射把“在 $U$ 里怎么写坐标”翻译成“在 $V$ 里怎么写坐标”。微分流形要求这种翻译足够光滑，于是微积分运算不依赖于坐标系的选取。
定义（$C^k$ 映射）. 设 $f\colon M\to N$ 是两个 $C^r$ 流形之间的连续映射。若对任意 $p\in M$，以及 $q=f(p)$ 附近的任一局部坐标系 $(V,\psi)$，都存在 $p$ 附近的局部坐标系 $(U,\varphi)$，使得 $f(U)\subset V$，并且局部表示 \[ \psi\circ f\circ\varphi^{-1} \] 是 $C^k$ 映射（$k\le r$），则称 $f$ 为 $M$、$N$ 之间的 $C^k$ 映射。全体 $C^k$ 映射记作 $C^k(M,N)$；$C^k(M,\mathbb{R})$ 简记为 $C^k(M)$。
定义（微分同胚）. 设 $M$、$N$ 为 $C^r$ 微分流形，$f\colon M\to N$ 为同胚。若 $f$ 和 $f^{-1}$ 均为 $C^r$ 映射，则称 $f$ 为 $C^r$微分同胚。
注. “两个微分流形是否一样”，指的是是否存在微分同胚，而不是仅仅同胚。后面会看到：同胚的流形也可以带有互不等价的微分结构。
定义（微分结构）. 对拓扑流形 $M$ 的任何一个 $C^r$（$r\ge 1$）局部坐标覆盖 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$，存在一个包含它的“最大”局部坐标覆盖 $\mathcal{D}$，使得任何与 $\mathcal{D}$ 为 $C^r$ 相容的局部坐标系 $(U,\varphi)$ 都已经在 $\mathcal{D}$ 里。称这样的 $\mathcal{D}$ 为 $M$ 的一个 $C^r$微分结构。
> 给定一个 $C^r$（$r\ge 1$）微分结构，一定存在一个相容的 $C^\infty$ 微分结构。同一个拓扑流形上，若两个微分结构给出的微分流形是微分同胚的，则称这两个微分结构等价；通常不区分等价的微分结构。
事实. 存在不容许任何微分结构的拓扑流形。另一方面，$S^7$ 上有 $28$ 种互不等价的微分结构（Milnor）；$\mathbb{R}^4$ 上有不可数多个互不等价的微分结构（Freedman–Donaldson）。$S^4$ 上微分结构是否唯一（光滑 Poincaré 猜想），以及 $S^2\times S^2$ 上微分结构是否唯一，都仍是未解决问题。
定义（复流形）. 设 $M$ 是一个 $2n$ 维拓扑流形。称 $M$ 是一个复流形，若存在开覆盖 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ 及连续映射族 $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{C}^n$，使得
1. $\varphi_\alpha$ 是到像集的同胚； 2. 当 $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ 时，转换映射 \[ \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) \] 是复解析的。
作为实流形，$M$ 自动是 $2n$ 维光滑流形；额外的复结构要求转换映射不只是光滑，还是全纯的。
同一类对象，加上不同的附加结构，就进入不同的学科：
| {@{}ll@{}}
学科 | 研究对象 | | — | — | | 代数拓扑 | 拓扑流形 | | 微分拓扑 | 微分流形 | | 微分几何 | 带有特殊结构的微分流形 | | Riemann 几何 | 带有 Riemann 度量的微分流形 | | Lorentz 几何 | 带有 Lorentz 度量的微分流形 | | 复几何 | 带有复结构的微分流形 | | 辛几何 | 带有辛结构的微分流形 | | 切触几何 | 带有切触结构的微分流形 | | Kähler 几何 | 带有相容 Riemann 度量与复结构的微分流形 | | Lie 群 | 带有相容群结构的微分流形 |
有限维线性空间里，两组基底之间过渡矩阵的行列式要么为正、要么为负，于是所有有序基底分成两类，每一类称为一个定向。对 $\mathbb{R}^3$，通常取右手系为正定向。流形上的定向就是要求各切空间的定向能协调地选出来。
定义（可定向）. 设 $M$ 为微分流形。若存在局部坐标覆盖 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$，使得当 $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ 时 \[ \det J(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})>0, \] 则称 $M$ 是可定向的，该覆盖为一个定向坐标覆盖。若不存在定向坐标覆盖，则称 $M$ 不可定向。
性质. 1. 拓扑流形也可以谈定向性，此时用同调定义。可否定向与微分结构无关，是拓扑性质。 2. 设 $M$ 可定向，$\mathcal{D}$ 是一个定向坐标覆盖。若任何与 $\mathcal{D}$ 中局部坐标系都同向的局部坐标系都已经在 $\mathcal{D}$ 里，则称 $\mathcal{D}$ 为 $M$ 的一个定向。 3. 连通的可定向微分流形恰好有两个定向。 4. 后面可以用微分形式来研究定向。
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