analysis
这是 流形笔记 的第 2 篇。上一篇是 流形的概念，下一篇是 局部紧、仿紧、可度量化。
流形的例子
### 球面 $S^n$
定义（球面）. \[ S^n=\{ (x^1,\ldots,x^{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1} \Bigm| \sum_{i=1}^{n+1}(x^i)^2=1 \}, \] 赋予 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的子空间拓扑。
$T_2$ 和 $A_2$ 都有遗传性，所以 $S^n$ 继承 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的 Hausdorff 性与第二可数性。剩下只需给出局部欧氏的图册，并检查转换映射光滑。
取开覆盖 \[ U_1=S^n\setminus\{(0,\ldots,0,-1)\}, U_2=S^n\setminus\{(0,\ldots,0,1)\}, \] 即挖去南极 $S$ 与北极 $N$。球极投影 $\varphi_1\colon U_1\to\mathbb{R}^n$、$\varphi_2\colon U_2\to\mathbb{R}^n$ 定义为
$$ \begin{aligned} \varphi_1(x^1,\ldots,x^{n+1}) &=( \frac{x^1}{1+x^{n+1}},\ldots, \frac{x^n}{1+x^{n+1}} ), \\ \varphi_2(x^1,\ldots,x^{n+1}) &=( \frac{x^1}{1-x^{n+1}},\ldots, \frac{x^n}{1-x^{n+1}} ). \end{aligned} $$
逆映射为
$$ \begin{aligned} \varphi_1^{-1}(y) &=( \frac{2y^1}{1+|y|^2},\ldots, \frac{2y^n}{1+|y|^2}, \frac{1-|y|^2}{1+|y|^2} ), \\ \varphi_2^{-1}(y) &=( \frac{2y^1}{1+|y|^2},\ldots, \frac{2y^n}{1+|y|^2}, \frac{|y|^2-1}{1+|y|^2} ). \end{aligned} $$
$\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 都是一一映射。
*从南极、北极分别做球极投影。*
引理. $\varphi_1$、$\varphi_2$ 都是同胚。
*证明.* $\varphi_1$ 是 \[ \widetilde{\varphi}_1\colon \mathbb{R}^{n+1}\setminus\{x^{n+1}=-1\} \to\mathbb{R}^n, x\mapsto ( \frac{x^1}{1+x^{n+1}},\ldots, \frac{x^n}{1+x^{n+1}} ) \] 在 $U_1$ 上的限制，故连续。把 $\varphi_1^{-1}$ 看成 $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n+1}$ 显然连续，且像落在球面上，因此作为到 $S^n$ 的映射也连续。$\varphi_2$ 同理。两者都是一一映射，从而是同胚。
命题. 转换映射 \[ \varphi_2\circ\varphi_1^{-1}\colon \mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^n\setminus\{0\} \] 由 \[ \varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(y)=\frac{y}{|y|^2} \] 给出，因而是实解析的。特别地 $S^n$ 是光滑流形（实际上是实解析流形）。
*证明.* 令 $x=\varphi_1^{-1}(y)$，则 \[ x'=\frac{2y}{1+|y|^2}, x^{n+1}=\frac{1-|y|^2}{1+|y|^2}. \] 于是 \[ \varphi_2(x) =\frac{x'}{1-x^{n+1}} =\frac{2y/(1+|y|^2)}{2|y|^2/(1+|y|^2)} =\frac{y}{|y|^2}. \] 在 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上这是分式有理映射，故解析。
习题. 映射 $y\mapsto y/|y|^2$ 就是反演。它是否保定向？分式线性变换呢？
解答. 写 $f(y)=|y|^{-2}y$。Jacobian 为 \[ Df(y)=|y|^{-2}(I-2\hat y\hat y^{\mathsf T}),
\hat y=y/|y|. \] Householder 矩阵 $I-2uu^{\mathsf T}$（$|u|=1$）的行列式为 $-1$，因而 \[ \det Df(y)=|y|^{-2n}\cdot(-1)=-|y|^{-2n}<0, \] 其中 $|y|^{-2n}$ 来自 $\det(cA)=c^n\det A$，$-1$ 来自反射。所以球极投影的转换映射不保定向。若要得到 $S^n$ 的定向图册，需要把其中一个坐标映射再复合一个反射。
在 $\mathbb{R}^2\cong\mathbb{C}$ 上，$z\mapsto 1/z=\overline z/|z|^2$ 是反演再复合复共轭。两次都反转定向，于是分式线性变换保定向；这与它是全纯映射（$f'\neq 0$）相一致。
\subsection{实射影空间 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$}
定义（实射影空间）. 在 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ 上令 $x\sim y$ 当且仅当存在 $\lambda\in\mathbb{R}$ 使 $x=\lambda y$。商空间 \[ \mathbb{R}\mathrm{P}^n=(\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})/\sim \] 称为 $n$ 维实射影空间。等价地，在 $S^n$ 上令 $x\sim y$ 当且仅当 $x=-y$，则 \[ \mathbb{R}\mathrm{P}^n=S^n/\sim. \]
第二种看法更便于验证拓扑条件：对径点粘合。记 \[ \pi\colon S^n\to\mathbb{R}\mathrm{P}^n, x\mapsto[x], \] 并赋予商拓扑：$V\subset\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 开当且仅当 $\pi^{-1}(V)$ 在 $S^n$ 中开。映射 $f\colon\mathbb{R}\mathrm{P}^n\to Y$ 连续，当且仅当 $f\circ\pi\colon S^n\to Y$ 连续。
引理. $\pi$ 是开映射。
*证明.* 设 $V\subset S^n$ 开。则 \[ \pi^{-1}(\pi(V))=V\cup(-\operatorname{id})(V). \] $-\operatorname{id}$ 是同胚，故 $(-\operatorname{id})(V)$ 也开。由商拓扑定义，$\pi(V)$ 开。
命题. $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 是 $T_2$ 且 $A_2$ 的。
*证明.* 先证 $T_2$。设 $[x]\neq[y]$，则 $\pi^{-1}([x])=\{x,-x\}$，$\pi^{-1}([y])=\{y,-y\}$，且这四点互异。因为 $S^n$ 是 $T_2$ 的，可取 $x,-x,y,-y$ 的开邻域 $U_x$、$(-\operatorname{id})(U_x)$、$U_y$、$(-\operatorname{id})(U_y)$，使它们两两不交。$\pi$ 是开映射，故 $\pi(U_x)$、$\pi(U_y)$ 分别是 $[x]$、$[y]$ 的开邻域。由四邻域两两不交知 $\pi(U_x)\cap\pi(U_y)=\emptyset$。
再证 $A_2$。设 $\{U_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 是 $S^n$ 的可数拓扑基。因为 $\pi$ 开，$\{\pi(U_i)\}$ 都是开集。对 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 中任一开集 $\widetilde V$，$\pi^{-1}(\widetilde V)$ 是 $S^n$ 中开集，故等于若干 $U_{k_i}$ 的并，从而 \[ \widetilde V=\pi(\bigcup_i U_{k_i})=\bigcup_i\pi(U_{k_i}). \] 因此 $\{\pi(U_i)\}$ 是 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 的可数拓扑基。
对 $k=1,\ldots,n+1$，令 \[ U_k=\{[x]\in\mathbb{R}\mathrm{P}^n \bigm| x=(x^1,\ldots,x^{n+1})\in S^n,\; x^k\neq 0\}. \] 显然 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n=\bigcup_{k=1}^{n+1}U_k$。定义 $\varphi_k\colon U_k\to\mathbb{R}^n$ 为 \[ \varphi_k([x]) =( \frac{x^1}{x^k},\ldots, \frac{x^{k-1}}{x^k}, \frac{x^{k+1}}{x^k},\ldots, \frac{x^{n+1}}{x^k} ). \] 这与齐次坐标的代表选取无关，因而是良定义的，并且是单射。逆映射为 \[ \varphi_k^{-1}(y^1,\ldots,y^n) =[y^1,\ldots,y^{k-1},1,y^k,\ldots,y^n]. \] 若要求代表落在球面上，也可以写成 \[ \varphi_k^{-1}(y) =\Biggl[ \frac{y^1}{\sqrt{1+|y|^2}},\ldots, \frac{1}{\sqrt{1+|y|^2}},\ldots, \frac{y^n}{\sqrt{1+|y|^2}} \Biggr]. \]
引理. 每个 $\varphi_k$ 都是同胚。
*证明.* 令 \[ \widehat U_k=\{x\in S^n \bigm| x^k\neq 0\}. \] 则 $\varphi_k\circ\pi\colon\widehat U_k\to\mathbb{R}^n$ 连续。由商映射的性质，$\varphi_k$ 连续。$\varphi_k^{-1}$ 可视为 $\mathbb{R}^n\to S^n$ 再商到 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 的复合，故也连续。
命题. 当 $k\neq\ell$ 时，转换映射是解析的。因而 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 是光滑流形。
*证明.* 为书写简便取 $k=1$、$\ell=2$。若 $[x]\in U_1\cap U_2$，则 \[ \varphi_1([x])=(\frac{x^2}{x^1},\frac{x^3}{x^1},\ldots,\frac{x^{n+1}}{x^1}), \varphi_2([x])=(\frac{x^1}{x^2},\frac{x^3}{x^2},\ldots,\frac{x^{n+1}}{x^2}). \] 因此 \[ \varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(y^1,\ldots,y^n) =(\frac{1}{y^1},\frac{y^2}{y^1},\ldots,\frac{y^n}{y^1}), \] 定义域是 $\{y^1\neq 0\}$。这是有理映射，故解析。其余转换映射同理。
注. 更一般的观点：$G=\{\operatorname{id},-\operatorname{id}\}$ 光滑、自由、纯不连续地作用于 $S^n$，而 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n=S^n/G$。后面把这件事推广成商流形定理。
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