analysis
这是 流形笔记 的第 3 篇。上一篇是 球面和实射影空间，下一篇是 乘积、连通和、商。
流形的性质
### 局部紧与仿紧
定义（局部紧）. 拓扑空间 $X$ 称为局部紧的，若任意 $x\in X$ 都有一个紧致邻域。
命题. 拓扑流形是局部紧的。局部紧 Hausdorff 空间是 $T_3$ 的。
*证明.* 局部欧氏给出同胚于 $\mathbb{R}^n$ 开集的邻域。$\mathbb{R}^n$ 中一点有任意小的闭球体邻域，闭球体紧致，故流形局部紧。局部紧 Hausdorff 空间中，紧邻域可以取得闭，从而正则，即 $T_3$。
定义（局部有限、加细、仿紧）. 设 $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的覆盖。
1. 称 $\mathcal{U}$ 为局部有限的，若每一点都有邻域只与 $\mathcal{U}$ 中有限个成员相交。 2. 设 $\mathcal{U}'$ 也是覆盖。若 $\mathcal{U}'$ 的每个成员都包含在 $\mathcal{U}$ 的某个成员中，则称 $\mathcal{U}'$ 为 $\mathcal{U}$ 的加细；若还是开覆盖，则称开加细。 3. 称 $X$ 为仿紧的，若每个开覆盖都有局部有限的开加细。
定理. 局部紧、$A_2$ 的 Hausdorff 空间是仿紧的，从而拓扑流形是仿紧的。仿紧 Hausdorff 空间满足 $T_4$，从而拓扑流形是 $T_4$ 的。
注. 仿紧性是流形上存在单位分解的拓扑原因。有了单位分解，才能把局部定义的对象（度量、形式、函数）拼成整体对象。
### 道路连通与可度量化
定义（连通与道路连通）. 拓扑空间 $X$ 称为连通的，若它不能写成两个非空不交开集的并。连续映射 $a\colon I=[0,1]\to X$ 称为一条道路，$a(0)$、$a(1)$ 分别是起点和终点。若任意两点都有道路连接，则称 $X$道路连通。
一般拓扑空间里，道路连通蕴含连通，反过来不真。流形因为局部欧氏，二者重合。
定理. 连通的拓扑流形是道路连通的。
*证明.* 设 $M$ 是连通拓扑流形。对任意 $p\in M$，令 \[ C_p=\{q\in M \bigm| \text{存在道路连接 }p\text{ 与 }q\}. \] 显然 $p\in C_p$，故 $C_p$ 非空。流形局部欧氏，因而局部道路连通，于是 $C_p$ 是开集。
若 $p\neq q$，则要么 $C_p=C_q$，要么 $C_p\cap C_q=\emptyset$：两条道路可以首尾相接。因此各 $C_p$ 构成 $M$ 的分划。若某个 $C_p\neq M$，则 \[ M\setminus C_p=\bigcup_{q\notin C_p}C_q \] 也是开集，与连通性矛盾。故 $C_p=M$。
定理. 拓扑流形是可度量化的。
*证明.* 论证链是标准的分离公理升降：
1. $T_2+$ 局部紧 $\Rightarrow$ $T_3$； 2. $T_3+A_2$ $\Rightarrow$ $T_4$（Lindelöf 定理）； 3. $T_1+T_4+A_2$ $\Rightarrow$ 可度量化（Urysohn 度量化定理）。
拓扑流形满足全部假设。
补充. 对微分流形还有另一条路：先在每点的切空间上取正定二次型，得到黎曼度量，再定义分段 $C^1$ 曲线的长度。由此产生距离和测地线；两点间的距离就是连接它们的最短测地线长度。这条路把度量直接造出来，而不只是抽象地保证存在。