analysis
这是 流形笔记 的第 4 篇。上一篇是 局部紧、仿紧、可度量化。
流形的构造
### 乘积与连通和
命题（乘积流形）. 若 $M^m$、$N^n$ 分别是 $m$、$n$ 维微分流形，则 $M^m\times N^n$ 是 $m+n$ 维微分流形。
*证明.* 要点就是把原来的结构做成笛卡尔积：
1. 拓扑取乘积拓扑； 2. $T_2$ 具有（有限）可乘性； 3. $A_2$ 具有（有限）可乘性； 4. 局部坐标系取笛卡尔积：若 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ 分别是 $M$、$N$ 的局部坐标系，则 \[ \varphi\times\psi\colon U\times V\to\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\cong\mathbb{R}^{m+n} \] 是乘积流形的局部坐标系。转换映射是原来两个转换映射的笛卡尔积，光滑性不变。
设 $M_1$、$M_2$ 都是可定向 $n$ 维微分流形。取 $p_i\in M_i$，并取 $p_i$ 附近的局部坐标系 $(U_i,\varphi_i)$，使得 $\varphi_i(p_i)=0$ 且 \[ \varphi_1(U_1)=\varphi_2(U_2)=B_2(0). \] 令 \[ V_i=\varphi_i^{-1}(B_2(0)\setminus B_{1/2}(0)), i=1,2, \] 并定义环带上的反演 \[ \eta\colon B_2(0)\setminus B_{1/2}(0)\to B_2(0)\setminus B_{1/2}(0), \eta(x)=\frac{x}{|x|^2}. \] 则 $\varphi_2^{-1}\circ\eta\circ\varphi_1\colon V_1\to V_2$ 是微分同胚。在无交并 \[ (M_1\setminus\varphi_1^{-1}(B_{1/2}(0))) \;\sqcup\; (M_2\setminus\varphi_2^{-1}(B_{1/2}(0))) \] 上令 $x\sim y$ 当且仅当 $x\in V_1$、$y\in V_2$ 且 \[ y=\varphi_2^{-1}\circ\eta\circ\varphi_1(x), \] 所得商空间记作 $M_1\# M_2$。
*连通和：从两个流形上各挖掉一个小球，再沿环带用反演粘合。*
定义（连通和）. 上述商空间是一个新的微分流形，并且在微分同胚意义下不依赖于坐标邻域的选取，记为 $M_1\# M_2$，称为 $M_1$ 与 $M_2$ 的连通和。
性质. 连通和在微分同胚意义下满足
1. 幺元：$M\# S^n\cong S^n\# M\cong M$； 2. 交换律：$M_1\# M_2\cong M_2\# M_1$； 3. 结合律：$(M_1\# M_2)\# M_3\cong M_1\#(M_2\# M_3)$。
注. 反演 $\eta(x)=x/|x|^2$ 把内边界与外边界对调，同时反转定向，这正是把两块“边界球面”沿反向粘起来所需要的。二维时，$T^2\# T^2$ 是亏格 $2$ 曲面；$\mathbb{R}\mathrm{P}^2\#\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ 是 Klein 瓶。
### 群作用与商流形
定义（光滑左作用）. 设 $G$ 是可数群，$M$ 是微分流形。若映射 $F\colon G\times M\to M$ 满足
1. $F(e,x)=x$ 对一切 $x\in M$； 2. $F(g_1,F(g_2,x))=F(g_1\cdot g_2,x)$ 对一切 $g_1,g_2\in G$、$x\in M$； 3. 对每个 $g\in G$，$F(g,\cdot)\colon M\to M$ 是光滑映射；
则称 $G$ 光滑左作用于 $M$。常把 $F(g,x)$ 简记为 $g\cdot x$。若 $g\neq e$ 时对一切 $x$ 都有 $g\cdot x\neq x$，则称作用是自由的。
例（反射、平移、Klein 瓶作用）. 1. 对径映射：$\Z_2\times S^n\to S^n$， \[ 1\cdot x=x, (-1)\cdot x=-x. \] 2. 整数平移：$\mathbb{Z}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$， \[ (k^1,\ldots,k^n)\cdot(x^1,\ldots,x^n)=(k^1+x^1,\ldots,k^n+x^n). \] 3. 设 $G$ 由下面两个元素生成，作用于 $\mathbb{R}^2$： \[ a\cdot(x,y)=(x,y+1), b\cdot(x,y)=(x+\tfrac12, 1-y). \] 直接验证 $aba=b$。
设 $G$ 光滑作用于 $M$。令 $x\sim y$ 当且仅当存在 $g\in G$ 使 $x=g\cdot y$，即 $x$ 的等价类是轨道 \[ \Gamma_x=\{g\cdot x\mid g\in G\}. \] 商空间 $M/G$ 赋予商拓扑，投影 $\pi\colon M\to M/G$。
引理. $\pi$ 是开映射。
*证明.* 设 $V\subset M$ 开。则 \[ \pi^{-1}(\pi(V))=\bigcup_{g\in G}(g\cdot V). \] 每个 $g$ 都是同胚，故 $g\cdot V$ 开，并集开。由商拓扑定义，$\pi(V)$ 开。
定理（商流形）. 设可数群 $G$ 光滑、自由作用于 $M$，并且
1. 任意点 $x$ 都有邻域 $U_x$，使得当 $g\neq e$ 时 $g\cdot U_x\cap U_x=\emptyset$； 2. 若 $[x]\neq[y]$，则存在邻域 $U_x$、$U_y$，使得对任意 $g$ 都有 $U_x\cap(g\cdot U_y)=\emptyset$。
则 $M/G$ 是微分流形。当 $G$ 有限时，这两个条件自动成立。
条件 (1) 说作用是纯不连续的：轨道是离散的，投影在小邻域上是单射。条件 (2) 保证商空间是 Hausdorff 的。
*证明.* 先证 $T_2$。设 $[x]\neq[y]$。由条件 (2)，存在 $U_x$、$U_y$ 使对一切 $g$ 都有 $U_x\cap(g\cdot U_y)=\emptyset$，从而 $\pi(U_x)\cap\pi(U_y)=\emptyset$。$\pi$ 开，故这是一对分离 $[x]$、$[y]$ 的开邻域。
再证 $A_2$。设 $\{U_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 是 $M$ 的可数拓扑基。因为 $\pi$ 开，$\{\pi(U_i)\}$ 是开集。对 $M/G$ 中开集 $\widetilde V$，$\pi^{-1}(\widetilde V)$ 是 $M$ 中开集，等于若干基元素的并，故 \[ \widetilde V=\pi(\bigcup_i U_{k_i})=\bigcup_i\pi(U_{k_i}). \] 因此 $\{\pi(U_i)\}$ 是可数基。
再造局部坐标系。对 $p\in M/G$，取一个原像 $x$。由条件 (1)，$x$ 有邻域 $U$ 使 $g\neq e$ 时 $g\cdot U\cap U=\emptyset$，于是 $\pi\colon U\to\pi(U)$ 是双射。$\pi$ 连续且开，故这是同胚。不妨设 $U$ 已是 $x$ 的坐标邻域，$\varphi$ 是坐标映射。则 $\pi(U)$ 是 $p$ 的坐标邻域， \[ \widetilde\varphi=\varphi\circ(\pi|_U)^{-1}\colon \pi(U)\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n \] 给出局部坐标系。于是 $M/G$ 是 $n$ 维拓扑流形。
最后看转换映射。设 $(\pi(V),\widetilde\psi)$ 是 $p$ 附近另一坐标系，则存在 $g\in G$ 使 $U\cap g\cdot V\neq\emptyset$。不妨设 $g=e$。在 $\varphi(U\cap V)$ 上
$$ \begin{aligned} \widetilde\psi\circ\widetilde\varphi^{-1} &=\psi\circ(\pi|_V)^{-1}\circ\pi|_U\circ\varphi^{-1} =\psi\circ\varphi^{-1}, \end{aligned} $$
是到 $\psi(U\cap V)$ 的光滑映射。故 $M/G$ 是微分流形。
例（实射影空间）. $\Z_2$ 对 $S^n$ 的对径作用是自由的。群有限，定理 的两个条件自动满足。于是 \[ \mathbb{R}\mathrm{P}^n=S^n/\{\operatorname{id},-\operatorname{id}\} \] 是 $n$ 维光滑流形，与上一章用齐次坐标构造的图册一致。
例（环面）. $\mathbb{Z}^n$ 以平移作用于 $\mathbb{R}^n$，显然自由。每点取半径小于 $1/2$ 的球，即得条件 (1)。若 $[x]\neq[y]$，令 \[ r=\frac13\inf_{g\in G}|x-gy|, U_x=B_r(x), U_y=B_r(y), \] 则条件 (2) 成立（这里用到作用保距）。因此 \[ T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n \] 是 $n$ 维光滑流形，即 $n$ 维环面。
例（Klein 瓶，平移–滑动反射）. 设 $G$ 由 \[ a\cdot(x,y)=(x,y+1), b\cdot(x,y)=(x+\tfrac12, 1-y) \] 生成，作用于 $\mathbb{R}^2$。作用自由。每点取半径小于 $1/4$ 的球，得条件 (1)；再用 \[ r=\frac13\inf_{g\in G}|x-gy| \] 取球邻域，得条件 (2)（作用仍保距）。商空间是 Klein 瓶，并且 \[ \mathbb{R}\mathrm{P}^2\#\mathbb{R}\mathrm{P}^2=\mathbb{R}^2/G. \]
例（Klein 瓶，环面的对合）. 把 $T^2$ 写成 \[ T^2=\{(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2}) \bigm| \theta_1,\theta_2\in[0,2\pi)\}. \] 令 $\Z_2$ 作用为
$$ \begin{aligned} 1\cdot(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2}) &=(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2}), \\ (-1)\cdot(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2}) &=(e^{i(\theta_1+\pi)},e^{i(2\pi-\theta_2)}). \end{aligned} $$
则 \[ \mathbb{R}\mathrm{P}^2\#\mathbb{R}\mathrm{P}^2=T^2/\Z_2. \] 这给出 Klein 瓶的另一种商描述。
注. 后两个例子说明：同一个流形可以用不同的群作用实现。Klein 瓶既是 $\mathbb{R}^2$ 模一个无限离散群，也是环面模一个对合，同时又是两份 $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ 的连通和。
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