Financial Engineering — Homework 2
作业题
Problem 1.
假设现在 6 个月即期年利率为
10%（连续复利，下同），1 年期即期利率为 12%，6 个月到 1 年的远期利率为 11%。问应如何进行套利？
解.
设现在时刻为 t=0，T=0.5，T^=1， T 时刻到期的即期利率为 r=10%，T^ 时刻到期的即期利率为 r^=12%， T 到 T^ 期间的远期利率记为 \bar r。则
e^{r^T^}=e^{rT},e^{\bar r(T^*-T)},
\bar r=\frac{r^T^-rT}{T^*-T} =\frac{0.12\times 1-0.10\times 0.5}{1-0.5} =14%.
而市场给出的 6 个月到 1 年远期利率为 11%<14%，说明 远期借款利率偏低， 因此应作为远期借款方进行套利。
我们构造的套利组合具体如下：
在 t=0 借入 6 个月资金 1，并将其用于买入 e^{0.07} 份 1 年零息债券；
同时签订一份从 T=0.5 到 T^*=1 的远期借款协议，锁定借款利率 11%、名义本金 1。
- t=0：
+P(0,0.5)-e^{0.07}P(0,1)=e^{-0.05}-e^{0.07}e^{-0.12}=0,
t=0.5： 偿还(1)中的 6 个月借款 1；同时按远期协议借入 1，净现金流为 0。
t=1： 1 年零息债券到期收入 e^{0.07}；偿还远期借款本息 e^{0.11(1-0.5)}=e^{0.055}，
\Pi_{t=1}=e^{0.07}-e^{0.055}>0.
因此可获得确定性正收益，存在套利机会。每单位名义本金在 t=1 的无风险利润为
{e^{0.07}-e^{0.055}\approx 0.0159}.
∎
Download the original write-up here.