Financial Engineering — Homework 4
作业题
Problem 1.
对于两个具有相同到期日的欧式看涨期权，当
ct(K2)-ct(K1)\leq K1-K2.
解.
构造两个组合：
组合 A：一份执行价格为 K2 的欧式看涨期权，加上一笔到期价值为 K2 的现金；
组合 B：一份执行价格为 K1 的欧式看涨期权，加上一笔到期价值为 K1 的现金。
到期时，两个组合的价值分别为
VA(T)=(ST-K2)^+ + K2, \qquad VB(T)=(ST-K1)^+ + K1.
下面分情况比较两个组合的到期价值：
\begin{cases} ST\leq K2: & VA(T)=K2<K1=VB(T),\ K2<ST\leq K1: & VA(T)=ST\leq K1=VB(T),\ ST>K1: & VA(T)=ST=VB(T). \end{cases}
所以在任何状态下都有 VA(T)\leq VB(T)。
由无套利原则，组合 A 的当前价值不能高于组合 B 的当前价值，即
ct(K2)+K2e^{-r(T-t)} \leq ct(K1)+K1e^{-r(T-t)}.
ct(K2)-ct(K1) \leq (K1-K2)e^{-r(T-t)}.
若无风险利率非负，则 e^{-r(T-t)}\leq 1，于是
ct(K2)-ct(K1)\leq (K1-K2)e^{-r(T-t)} \leq {K1-K2}.
所以原不等式成立。
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