Financial Engineering — Homework 5

作业题

Problem 1.

某股票价格为 90 美元，利用三步二叉树计算期权价格：

(a) 9 个月期限、执行价格为 93 美元的美式看涨期权；

(b) 9 个月期限、执行价格为 93 美元的美式看跌期权。

波动率为

28%，无风险利率（所有期限）为 3%（连续复利）。取

\Delta t=3\text{ 个月}=0.25\text{ 年}.

u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}=e^{0.28\sqrt{0.25}}\approx 1.1503, \qquad d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}\approx 0.8694.

Remark 1.

这里没有给出具体的 u 和 d，则按 ud=1 并结合给出的波动率来计算.

风险中性测度为

p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} =\frac{e^{0.03\times 0.25}-0.8694}{1.1503-0.8694} \approx 0.4919,

每一步的贴现因子为

e^{-r\Delta t}=e^{-0.03\times 0.25}\approx 0.9925.

在到期日，看涨期权和看跌期权价值分别为

CT=(ST-K)^+,\qquad PT=(K-ST)^+.

我们利用三步二叉树来从到期日反推各点的美式看涨期权价值 C 和看跌期权价值 P：

C=\max\left{S-K,\ e^{-r\Delta t}\left[pCu+(1-p)Cd\right]\right},

最终我们得到了下图：

Figure: binomial tree (see the PDF for the drawing).

• $S=90.0000$ /$C=8.9114$ /$P=10.0191$
• $S=103.5246$ /$C=15.6631$ /$P=3.7539$
• $S=78.2422$ /$C=2.5082$ /$P=16.2319$
• $S=119.0817$ /$C=26.7766$ /$P=0$
• $S=90.0000$ /$C=5.1379$ /$P=7.4430$
• $S=68.0205$ /$C=0$ /$P=24.9795$
• $S=136.9765$ /$C=43.9765$ /$P=0$
• $S=103.5246$ /$C=10.5246$ /$P=0$
• $S=78.2422$ /$C=0$ /$P=14.7578$
• $S=59.1342$ /$C=0$ /$P=33.8658$

在具体计算中，美式看涨期权在各节点的继续持有价值都不低于立即执行价值，即对于任意节点都有：$C>S-K$。最终我们计算得到的初始价格为

对于美式看跌期权，在$t=0.50$ 且$S=68.0205$ 的节点，立即执行价值为$93-68.0205=24.9795$，而继续持有价值为：

故在该节点应提前执行，取 $P=24.9795$。最终我们倒推到初始节点得到

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