Financial Engineering — Homework 6
作业题
Problem 1.
三明治差价期权组合（Sandwich Spread Portfolio）是由 2 份期权的多头和 2 份期权的空头所组成的四重期权组合。4 份期权的标的股票相同，到期日相同；可以买权组成，也可以由卖权组成，但必须全是看涨期权，或者全是看跌期权。所买入期权的执行价格位于 4 份期权执行价格的两端，所卖出期权的执行价格位于 4 份期权执行价格的中间。
求如下交易策略中的三明治期权组合的期末盈亏损益，并给出损益图：
- 看涨期权多头各 1 份：执行价格分别为
K1,K4，期权价格分别为 c1,c4；
看涨期权空头各 1 份：执行价格分别为 K2,K3，期权价格分别为 p2,p3；
其中 ST 为到期日 T 时刻的股票价格，且 K1<K2\leq K3<K_4。
解.
我们考虑这样的一个组合：
买入一份执行价格为 K1 的看涨期权，买入一份执行价格为 K4 的看涨期权，同时卖出一份执行价格为 K2 的看涨期权和一份执行价格为 K3 的看涨期权。
初始净支出为
I=c1+c4-p2-p3.
到期时，不考虑初始权利金的组合收益为
VT=(ST-K1)^+ +(ST-K4)^+-(ST-K2)^+-(ST-K_3)^+.
由于 K1<K2\leq K3<K4，分区间讨论可得
VT= \begin{cases} 0, & ST\leq K1,\ ST-K1, & K1<ST\leq K2,\ K2-K1, & K2<ST\leq K3,\ K2+K3-K1-ST, & K3<ST\leq K4,\ K2+K3-K1-K4, & ST>K4. \end{cases}
若不考虑权利金的时间价值，期末损益为 V_T-I， 即
\text{损益}= \begin{cases} -I, & ST\leq K1,\ ST-K1-I, & K1<ST\leq K2,\ K2-K1-I, & K2<ST\leq K3,\ K2+K3-K1-ST-I, & K3<ST\leq K4,\ K2+K3-K1-K4-I, & ST>K_4. \end{cases}
若需要考虑资金时间价值，只需将上式中的 I 替换为 Ie^{r(T-t)}。（我们下面画的图就按照不考虑时间价值来画）
所以该组合的损益图形状如下（见下一页）
Figure: binomial tree (see the PDF for the drawing).
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