Financial Options — Homework 1

Problem 1.

设$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 为一个概率空间 ,$X$ 为可积随机变量（$\mathbb{E}[|X|] < \infty$） , 且$\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2$ 是$\mathcal{F}$ 的子$\sigma$-代数 , 满足$\mathcal{G}_1 \subset \mathcal{G}_2$. 证明：

证明.

我们从条件期望的定义出发 , 回忆任意子$\sigma$-代数$\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 及可积随机变量$X$ 的条件期望$\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]$ 的定义 , 对于$\mathcal{G}$-可测随机变量$Y$ , 满足

我们记

由定义 ,$Y_2$ 是$\mathcal{G}_2$-可测的 , 且对任意$B \in \mathcal{G}_2$ ,

再定义

是$\mathcal{G}_1$-可测的 , 且对任意$A \in \mathcal{G}_1$ ,

我们的目标是证明$Z = \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}_1]$（a.s.）.为此 , 只需验证$Z$ 满足$\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}_1]$ 的定义方程 , 即：

任取$A \in \mathcal{G}_1$.由于$\mathcal{G}_1 \subset \mathcal{G}_2$ , 有$A \in \mathcal{G}_2$.于是由 \eqref{eq:Y2} 得

再由 \eqref{eq:Z} ,

联立 \eqref{eq:step4} 与 \eqref{eq:Z} , 得

故 \eqref{eq:target} 对任意$A \in \mathcal{G}_1$ 成立.又因$\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}_1]$ 是$\mathcal{G}_1$-可测的 , 且唯一（a.s.）满足上述积分等式 \cite[Theorem 34.4]{billingsley1995} , \cite[Proposition 6.5]{kallenberg2002} , 而$Z$ 也是$\mathcal{G}_1$-可测且满足相同方程 , 故

即

此结论即条件期望为tower property \cite[Section 4.1.4]{durrett2019}.

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