Financial Options — Homework 2

Problem 1.

设$(B_t)_{t \geq 0}$ 是一维标准布朗运动，$(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ 是它的自然过滤。则下列过程是$\mathcal{F}_t$-鞅：

1. $B_t$

   ,

2. $B_t^2 - t$

   ,

3. $M_t^a = \exp\left(aB_t - \frac{a^2}{2}t\right)$

   ,$a \in \mathbb{R}$。

证明.

1. $B_t$ 是鞅 由于$B_t \sim N(0,t)$，故：

令$u = \frac{x^2}{2t}$，则$du = \frac{x}{t} dx$，可得：

对任意$0 \leq s < t$，我们将$B_t$ 分解为：

由布朗运动的独立增量性，$B_t - B_s$ 与$\mathcal{F}_s$ 独立，且$B_t - B_s \sim N(0, t-s)$。因此：

综上，$B_t$ 满足鞅的定义条件。 Remark 1. 若$X$ 关于$\mathcal{G}$ 可测，则$E[X|\mathcal{G}] = X$。一般的，若$Y$ 是$\mathcal{G}$-可测且$XY$ 可积，则$E[XY|\mathcal{G}] = YE[X|\mathcal{G}]$。 故我们有：

• 由$B_s$关于$\mathcal{F}_s$可测，我们可得：$E[B_s | \mathcal{F}_s]=B_s$
• 由布朗运动的独立增量性，$B_t - B_s$ 与$\mathcal{F}_s$ 独立，我们可得：$E[B_t - B_s | \mathcal{F}_s]=E[B_t - B_s]$

2. $B_t^2 - t$ 是鞅 由于$B_t \sim N(0,t)$，故：

对任意$0 \leq s < t$，我们将$B_t$ 表示为：

取条件期望：

Remark 2.

• $E[(B_t-B_s)^2]=Var(B_t-B_s)-(E[B_t-B_s])^2=Var(B_t-B_s)=t-s$因此：

这正是$X_s = B_s^2 - s$，故$B_t^2 - t$ 是鞅。

3. $M_t^a = \exp\left(aB_t - \frac{a^2}{2}t\right)$ 是鞅 由于$B_t \sim N(0,t)$，故：

Remark 3. 利用正态分布的矩母函数公式：若$X \sim N(0,\sigma^2)$，则$E[e^{aX}] = e^{\frac{a^2\sigma^2}{2}}$。这里$B_t \sim N(0,t)$，故：

对任意$0 \leq s < t$，我们将$M_t^a$ 重写为：

取条件期望：

由布朗运动的独立增量性，$B_t - B_s \sim N(0, t-s)$ 且与$\mathcal{F}_s$ 独立，故：

再次利用正态分布的矩母函数公式：

代入得：

因此$M_t^a$ 是鞅。

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Problem 2.

设$X$ 是右连续非负上鞅，则

证明.

令：

其中$\inf \emptyset = \infty$。由于$X$ 是右连续过程，$T$ 是停时(实际上如果我们定义开集$A=\left\{x:x>\lambda\right\}$则有$T$为关于$A$的首中时)。

Remark 4.

课上讲的性质：

1. 若$X_t$是$F_t$-鞅($t\geq0$)，则$EX_t=EX_0,\forall t$；

2. 若$X_t$是$F_t$-下鞅($t\geq0$)，则$EX_t\geq EX_s,\forall s\leq t$。

   实际上如果我们考虑$Y_t=-X_t$($X_t$是$F_t$-下鞅)，则$Y_t$是$F_t$-上鞅($t\geq0$)，那么有$EY_t=-EX_t\leq -EX_s=EY_s,\forall s\leq t$。

那么如果我们考虑停时$T \wedge n$，则对$\forall s\leq T\wedge n$有：

在事件$\{ \sup_{t \leq n} X_t > \lambda \}$ 上，有$T \leq n$，因此$X_{T \wedge n} = X_T > \lambda$。于是：

结合两个不等式得：

令$n \to \infty$，由单调有界收敛定理：

即

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