Financial Options — Homework 3

Proposition 1.

设$H, H^{(1)}$ 和$H^{(2)}$ 是简单过程，$\alpha, \beta$ 是任意实数，则

1. $(\alpha H^{(1)} + \beta H^{(2)}) \cdot B = \alpha (H^{(1)} \cdot B) + \beta (H^{(2)} \cdot B)$

   ;

2. $H \cdot B$

   是连续鞅，且若$\int_0^\infty H_s^2 ds < \infty$，则$H \cdot B$ 是$L^2$-有界的；

3. $(H \cdot B)_t^2 - \int_0^t H_s^2 ds$

   是鞅。

4. $E[(H \cdot B)_t] = 0$

   ;

5. $E[(H \cdot B)_t^2] = E\left[\int_0^t H_s^2 ds\right]$

   。

证明.

作业是证明(iii)：

1. (iii) 设$H$ 是简单过程：

其中$H_{-1} \in \mathcal{F}_0$，$H_i \in \mathcal{F}_{t_i}$，且一致有界。 我们需要证明过程$M_t := (H \cdot B)_t^2 - \int_0^t H_s^2 ds$ 是鞅，即：

1. (1)$M_t$ 是适应过程；
2. (2)$E[|M_t|] < \infty$ 对任意$t \geq 0$；
3. (3) 对任意$0 \leq s < t$，有$E[M_t | \mathcal{F}_s] = M_s$ a.s.
   • 适应性： 由(ii)，$(H \cdot B)_t$ 是适应过程，故$(H \cdot B)_t^2$ 是适应过程。另外，

也是适应过程

• 可积性： 由于$H_i$ 有界，存在$M > 0$ 使得$|H_i| \leq M$ a.s.，则

E[|(H \cdot B)t^2|] = E[(H \cdot B)t^2] = E\left[\int0^t Hs^2 ds\right] \leq M^2 t < \infty. $$

因此$E[|M_t|] \leq 2M^2 t < \infty$。

• 鞅性证明： 设$0 \leq s < t$，记

则

因此

现在计算条件期望$E[M_t - M_s | \mathcal{F}_s]$：

1. 第一项：由(ii)，$H \cdot B$ 是鞅，故$E[\Delta | \mathcal{F}_s] = E[(H \cdot B)_t - (H \cdot B)_s | \mathcal{F}_s] = 0$。
2. 第二项：需要证明$E\left[\Delta^2 - \int_s^t H_u^2 du \,\middle|\, \mathcal{F}_s\right] = 0$。 由于$H$ 是简单过程，设$s = t_m < t_{m+1} < \cdots < t_n = t$，则

Delta = \sum{i=m}^{n-1} Hi (B{t{i+1}} - B{ti}). $$

取条件期望：

对于交叉项（$i < j$）：

Remark 2.

Remark 3.

因此，

于是

综上：$E[M_t - M_s | \mathcal{F}_s] = 0$，即$E[M_t | \mathcal{F}_s] = M_s$ a.s.，故$M_t$ 是鞅，得证.

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