Financial Options — Homework 4

Theorem 1 (关于布朗运动的 Itô 公式).

设$f(t, x)$ 是二元函数，满足$\frac{\partial f}{\partial t}$,$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ 均存在且连续，并且$\frac{\partial f}{\partial x} \in L^2$，则

或者，写成微分形式：

Proposition 1.

设$H, H^{(1)}$ 和$H^{(2)}$ 是简单过程，$\alpha, \beta$ 是任意实数，则

1. $(\alpha H^{(1)} + \beta H^{(2)}) \cdot B = \alpha (H^{(1)} \cdot B) + \beta (H^{(2)} \cdot B)$

   ;

2. $H \cdot B$

   是连续鞅，且若$\int_0^\infty H_s^2 ds < \infty$，则$H \cdot B$ 是$L^2$-有界的；

3. $(H \cdot B)_t^2 - \int_0^t H_s^2 ds$

   是鞅。

4. $E[(H \cdot B)_t] = 0$

   ;

5. $E[(H \cdot B)_t^2] = E\left[\int_0^t H_s^2 ds\right]$

   。

Problem 1.

利用Itô 公式证明：$B_t^2-t$是$\mathcal{F}_t$鞅.

证明.

定义：

考虑函数：

其偏导数为：

由\eqref{eq:itobrowniandifferential}，我们可得：

由于$(dB_t)^2 = dt$，代入得：

因此：

其中$M_0 = B_0^2 - 0 = 0$。

由 命题(ii)，对适应过程$H_s,\forall T$若：

则Itô 积分$\int_0^t H_s \, dB_s$ 是连续平方可积鞅。

取$H_s = 2B_s$，则：

故：

是$(\mathcal{F}_t)$ - 鞅。

而$M_t = I_t$，所以$M_t$ 也是鞅。

接下来我们来验证一下$M_t$ 确实是鞅.

• 对有限的$t$：

• 对任意$0 \le s \le t$：

由 命题(iv)可知： Itô 积分的期望为$0$，即上式第二项为零，故：

故$M_t=B_t^2-t$是鞅.

∎

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