Investment — Homework 1

Problem 1.

两种面值1000元的债券在相同时期之末按票面偿还，票息每年末支付一次，剩余期限为整周期，现在购买它们都可得到2%的年收益率。第一种债券的票息率为2.5%，目前售价为1136.78元，第二种债券的票息率为1.25%，求第二种债券的价格。(按复利计算)

证明.

(i) 确定剩余期限 $n$ 第一种债券：面值 $F=1000$ ，年收益率为 $r=0.02$ ，票息 $C_1 = F \times 0.025 = 25$ ，现价 $P_1 = 1136.78$ 。由债券现值公式我们可知：

P_1 = \sum_{t=1}^{n} \frac{C_1}{(1+r)^t} + \frac{F}{(1+r)^n}

代入可得：

1136.78 = C_1 \times \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} + F \times (1+r)^{-n}

1136.78 = 25 \times \frac{1 - (1.02)^{-n}}{0.02} + 1000 \times (1.02)^{-n}

1136.78 = 1250 \times (1 - (1.02)^{-n}) + 1000 \times (1.02)^{-n}

令 $X = (1.02)^{-n}$ ，则：

1136.78 = 1250 - 1250X + 1000X

250X = 1250 - 1136.78

250X = 113.22

X = (1.02)^{-n} = \frac{113.22}{250} = 0.45288

则

n=-\log_{1.02}(0.45288)=-\frac{\ln 0.45288}{\ln 1.02} \approx 40.00499

即我们可得剩余期限为 $n \approx 40$ 年。

(ii) 第二种债券的价格 $P_2$ 第二种债券：面值 $F=1000$ ，票面利率 $c_2 = 0.0125$ ，年收益率 $r=0.02$ ，期限 $n=40$ ，票息 $C_2 = F \times c_2 = 1000 \times 0.0125 = 12.5$ 元。第二种债券的价格 $P_2$ 为：

P_2 = \sum_{t=1}^{40} \frac{C_2}{(1.02)^t} + \frac{F}{(1.02)^{40}}

P_2 = C_2 \times \frac{1 - (1.02)^{-40}}{0.02} + F \times (1.02)^{-40}

代入已知值 $(1.02)^{-40} = 0.45288$ ：

P_2 = 12.5 \times \frac{1 - 0.45288}{0.02} + 1000 \times 0.45288

P_2 = 12.5 \times \frac{0.54712}{0.02} + 452.88

P_2 = 12.5 \times 27.356 + 452.88

P_2 = 341.95 + 452.88

P_2 = 794.83 \text{ 元}

综上我们可得第二种债券的价格为 $P_2 \approx 794.83$ 元。

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