Investment — Homework 3

Problem 1.

已知两个风险证券 A、B 的相关数据如下：

| B |$r_B$ |$13\%$ |$20\%$ |$1-x$ |

证券 A、证券 B 收益率的相关系数为$\rho = 0.25$。现将证券 A 和证券 B 构造投资组合$p$，其组合比例为$x$、$1-x$。无风险证券的收益率为$r_f = 5\%$，投资组合$p$ 的收益率、期望收益率、标准差分别记为$r_p$、$E(r_p)$、$\sigma_p$。

试求$\max \dfrac{E(r_p) - r_f}{\sigma_p}$ 时投资组合$p$ 中证券 A、证券 B 的组合比例及$E(r_p)$、$\sigma_p^2$。

解.

由题意：$E(r_A)=0.08,E(r_B)=0.13$，故组合$p$的期望收益率为：

由题意：$\sigma_A=0.12,\sigma_B=0.2$组合$p$方差为：

则：

我们只需求$y=\dfrac{0.08-0.05x}{\sqrt{0.0424x^2-0.068x+0.04}}$的最大值即可：

我们利用上述关于$x$方程的$\Delta\geq0$可得：

令$t = y^2 \geq 0$，代入得：

第一项：

第二项：

乘以 4：

两式相减：

故我们只需解不等式：

因$t \ge 0$，故：

即$y^2 \le 0.184$，所以：

这表明

下面我们求$\dfrac{E(r_p) - r_f}{\sigma_p}$最大时$x$的值：我们将$y^2 = 0.184$ 代入方程：

可将方程化为：

其中：

故：

则

综上：

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