Investment — Homework 4

Problem 1.

利用夏普比率求切点坐标对应的投资组合比例：

解.

利用约束条件$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{e} = 1$，我们可将夏普比率改写为：

Remark 1.

实际上我们将原约束优化问题转化为无约束问题。

记$\boldsymbol{R}_f = \boldsymbol{R} - r_f \boldsymbol{e}$，则问题等价于：

我们令$g(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})^2$，即：

那么：

令$\nabla g(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$，由于$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{x} > 0$（$\boldsymbol{V}$ 正定），且$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{R}_f \neq 0$，可得：

Remark 2.

若$\boldsymbol{x}^*$ 是$g(\boldsymbol{x})$ 的一个局部极大值点，且$g$ 在$\boldsymbol{x}^*$ 处可微，则必有$\nabla g(\boldsymbol{x}^*) = \boldsymbol{0}$。

令$\lambda = \dfrac{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{R}_f}$，则上式化为：

由于$\boldsymbol{V}$ 可逆，解得：

将$\boldsymbol{x}^*$ 代入约束条件$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{e} = 1$：

因此此时投资组合比例$\boldsymbol{x}^*$为：

将$\boldsymbol{x}^*$ 代入式((HW5-1))计算最大夏普比率$S_p^*$：

故最大夏普比率$S_p^*$为：

此时的期望收益率$\mu_p^*$为：

方差$(\sigma_p^*)^2$为：

Remark 3.

好像还有一点不大严谨的是：我们需要说明利用梯度为$0$求出来的$\boldsymbol{x}^*$为最大值的点(梯度为$0$是$g$极值点的必要条件，还需要确定到底是极小值点还是极大值点)，还需要进一步说明：

考虑函数$g(\boldsymbol{x}) = \dfrac{(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{R}_f)^2}{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{x}}$，其中$\boldsymbol{R}_f = \boldsymbol{R} - r_f \boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{V}$ 是正定对称矩阵。

我们已经通过梯度为零求得驻点$\boldsymbol{x}^* = \dfrac{\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f}{\boldsymbol{e}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f}$。现在我们需要验证该点对应的是最大值而不是最小值，我们可以通过计算$g(\boldsymbol{x})$ 在$\boldsymbol{x}^*$ 处的黑塞矩阵并证明其在约束切空间上的负定性则可说明选取的$\boldsymbol{x}^*$是最大值条件。

首先我们先来计算黑塞矩阵。记$\alpha = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{R}_f$，$\beta = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{x}$，则$g(\boldsymbol{x}) = \alpha^2 / \beta$。

此时我们对梯度再求导得到黑塞矩阵$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}) = \nabla^2 g(\boldsymbol{x})$：

其中：

代入得：

在驻点$\boldsymbol{x}^*$ 处，由一阶条件有$\beta^* \boldsymbol{R}_f = \alpha^* \boldsymbol{V} \boldsymbol{x}^*$，其中$\alpha^* = (\boldsymbol{x}^*)^T \boldsymbol{R}_f$，$\beta^* = (\boldsymbol{x}^*)^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{x}^*$。代入上式，前两项均为零，只剩第三项：

利用关系$\boldsymbol{R}_f = \dfrac{\alpha^*}{\beta^*} \boldsymbol{V} \boldsymbol{x}^*$，可得：

由一阶条件有：

将$\boldsymbol{x}^*$ 代入$\boldsymbol{V} \boldsymbol{x}^* (\boldsymbol{x}^*)^T \boldsymbol{V}$：

故：

将$\boldsymbol{x}^*$ 的表达式代入$\alpha^*$ 的定义式：

故：

令$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{V} - \dfrac{\boldsymbol{R}_f \boldsymbol{R}_f^T}{\boldsymbol{R}_f^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f}$，则$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}^*) = -\frac{2(\alpha^*)^2}{(\beta^*)^2} \boldsymbol{A}$。

现在我们只需要证明$\boldsymbol{A}$ 在约束切空间$\mathcal{T} = \{\boldsymbol{z} : \boldsymbol{z}^T \boldsymbol{e} = 0\}$ 上是正定的。对任意非零$\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^n$：

由 Cauchy-Schwarz 不等式$(\boldsymbol{z}^T \boldsymbol{R}_f)^2 \leq (\boldsymbol{z}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{z})(\boldsymbol{R}_f^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f)$，可知$\boldsymbol{z}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{z} \geq 0$。等号成立当且仅当$\boldsymbol{z}$ 与$\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f$ 共线，即$\boldsymbol{z} = k \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f$。由于$\boldsymbol{e}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f > 0$，故$\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f$ 不在切空间$\mathcal{T}$ 中，因此对任意非零$\boldsymbol{z} \in \mathcal{T}$，$\boldsymbol{z}$ 不与$\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{R}_f$ 共线，从而$\boldsymbol{z}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{z} > 0$。这表明$\boldsymbol{A}$ 在$\mathcal{T}$ 上是正定的。

于是$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}^*) = -\frac{2(\alpha^*)^2}{(\beta^*)^2} \boldsymbol{A}$ 在$\mathcal{T}$ 上是负定的。根据约束优化问题的二阶充分条件，在满足一阶条件的驻点处，若拉格朗日函数关于变量的黑塞矩阵在约束切空间上负定，则该点是局部极大值点。

而这样的点只有一个，故我们能说明这个极大值点就是全局最大值点！

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