Investment — Homework 5

设 $n$ 个风险证券的相关数据或相关符号等如下：它们的收益率为 $r_i$ ，期望收益率为 $E(r_i)$ ； $i = 1,2,\cdots,n$ ，收益率的协方差矩阵 $V = (\sigma_{ij})_{n \times n}$ 为正定矩阵。

记 $e = (1,1,\cdots,1)^T$ ， $r = (r_1,r_2,\cdots,r_n)^T$ ， $R = (R_1,R_2,\cdots,R_n)^T$ ， $R_i = E(r_i)$ ， $i = 1,2,\cdots,n$ ； $R_i$ 不全相同。 $\theta = \{ x \mid x^T e = 1 \}$ 。

Problem 1.

设投资组合 $p$ 是由上述 $n$ 个风险证券构成的一个已知投资组合，其组合比例为 $x_p$ （ $x_p^T e = 1$ ），收益率为 $r_p$ ，期望收益率为 $E(r_p)$ ，收益率标准差为 $\sigma_p$ 。

试求投资组合 $Q$ 的组合比例 $x_q$ ，其中 $x_q$ 为满足下述模型的解。

\begin{aligned}

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试求在 $(\sigma^2, E(r))$ 坐标下，通过坐标原点及全局最小方差组合 (MVP) 的射线与上述 $n$ 个风险证券构成的投资组合边界曲线的交点 $M$ （非全局最小方差组合）所对应的边界组合的方差 $\sigma_M^2$ 、期望收益 $E(r_M)$ 和组合比例 $x_M$ 。
证明在 (i) 得出的解中， $(x_q - x_p)$ 为 $(x_M - x_{MVP})$ 的倍数， $\left\{ (x_q - x_p)^T V(x_q - x_p) \right\}$ 为 $(\sigma_M^2 - \sigma_{MVP}^2)$ 的倍数。

解.

求 $x_q$ ：
令 $y = x_q - x_p$ ，则 $x_q = x_p + y$ 。此时约束条件化为

\mu=(x_q-x_p)^TR=y^TR, 0=1-1=x_q^Te-x_p^Te=(x_q-x_p)^Te=y^Te.

即

y^T R = \mu, y^T e = 0.

我们构造拉格朗日函数：

\mathcal{L}(y,\lambda_1,\lambda_2) = y^T V y + \lambda_1 (y^T R - \mu) + \lambda_2 (y^T e).

对 $y$ 求梯度

\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T V y \bigr) + \lambda_1 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T R \bigr) + \lambda_2 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T e \bigr) \\ &= 2V y + \lambda_1 R + \lambda_2 e. \end{aligned}

Remark 1.

\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T V y \bigr) + \lambda_1 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T R \bigr) + \lambda_2 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T e \bigr) \end{aligned}

$\frac{\partial}{\partial y} (y^T V y)$ ：设 $V = (V_{ij})_{n \times n}$ 对称， $y = (y_1, \dots, y_n)^T$ ，则

y^T V y = \sum{i=1}^n \sum{j=1}^n V{ij} yi y_j. $$

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\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y_k} \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n V_{ij} y_i y_j \right) &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n V_{ij} \frac{\partial}{\partial y_k} (y_i y_j) \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n V_{ij} \left( \delta_{ik} y_j + y_i \delta_{jk} \right) (\text{其中 }\delta_{ik} \text{ 为 Kronecker 符号}) \\ &= \sum_{j=1}^n V_{kj} y_j + \sum_{i=1}^n V_{ik} y_i. \end{aligned}

利用 $V$ 的对称性 $V_{ik} = V_{ki}$ ，得

\frac{\partial}{\partial y_k} (y^T V y) = \sum_{j=1}^n V_{kj} y_j + \sum_{i=1}^n V_{ki} y_i = 2 \sum_{j=1}^n V_{kj} y_j.

所以

\frac{\partial}{\partial y} (y^T V y) = \begin{pmatrix} 2 \sum_{j=1}^n V_{1j} y_j \\ 2 \sum_{j=1}^n V_{2j} y_j \\ \vdots \\ 2 \sum_{j=1}^n V_{nj} y_j \end{pmatrix} = 2V y.

$\frac{\partial}{\partial y} (y^T R)$ ： $R = (R_1, \dots, R_n)^T$ ，则

y^T R = \sum{i=1}^n Ri y_i. $$

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\frac{\partial}{\partial y_k} \left( \sum_{i=1}^n R_i y_i \right) = R_k.

所以

\frac{\partial}{\partial y} (y^T R) = \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_n \end{pmatrix} = R.

$\frac{\partial}{\partial y} (y^T e)$ ：由于 $e = (1, 1, \dots, 1)^T$ ，有

y^T e = \sum{i=1}^n yi. $$

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\frac{\partial}{\partial y_k} \left( \sum_{i=1}^n y_i \right) = 1.

所以

\frac{\partial}{\partial y} (y^T e) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = e.

将以上三项的梯度代入，得

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2V y + \lambda_1 R + \lambda_2 e.

令梯度为 $0$

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2 V y + \lambda_1 R + \lambda_2 e = 0.

于是

V y = -\frac12 (\lambda_1 R + \lambda_2 e) \Longrightarrow y = -\frac12 V^{-1}(\lambda_1 R + \lambda_2 e).

Remark 2. $V$ 为正定矩阵，故可逆。

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代入约束条件 $y^T e = 0$ 得

-\frac12 (\lambda_1 e^T V^{-1} R + \lambda_2 e^T V^{-1} e) = -\frac12 (\lambda_1 B + \lambda_2 A) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_2 = -\frac{B}{A}\lambda_1.

代入约束 $y^T R = \mu$ 得

-\frac12 (\lambda_1 R^T V^{-1} R + \lambda_2 R^T V^{-1} e) = -\frac12 (\lambda_1 C + \lambda_2 B) = \mu.

将 $\lambda_2 = -B\lambda_1/A$ 代入：

-\frac12 \left( \lambda_1 C - \frac{B^2}{A}\lambda_1 \right) = \mu \;\Longrightarrow\; -\frac{\lambda_1}{2} \cdot \frac{AC - B^2}{A} = \mu.

解得

\lambda_1 = -\frac{2A\mu}{AC - B^2} = -\frac{2A\mu}{\Delta}, \lambda_2 = -\frac{B}{A}\lambda_1 = \frac{2B\mu}{\Delta}.

代入 ((eq:y))：

y = -\frac12 V^{-1} \left[ -\frac{2A\mu}{\Delta} R + \frac{2B\mu}{\Delta} e \right] = \frac{\mu}{\Delta} V^{-1} (A R - B e).

因此

x_q = x_p + \frac{\mu}{\Delta} V^{-1}(A R - B e)=x_p + \mu \cdot \frac{V^{-1}\big[ (e^T V^{-1} e) R - (e^T V^{-1} R) e \big]}{(e^T V^{-1} e)(R^T V^{-1} R) - (e^T V^{-1} R)^2}.

求交点 $M$ 所对应的边界组合的方差 $\sigma_M^2$ 、期望收益 $E(r_M)$ 和组合比例 $x_M$ ：
Definition 1 (全局最小方差组合). 全局最小方差组合（MVP）的组合比例、期望收益率、方差为：

x_{\mathrm{MVP}} = \frac{V^{-1} e}{A}, E_{\mathrm{MVP}} = \frac{B}{A}, \sigma_{\mathrm{MVP}}^2 = \frac{1}{A}.

Remark 3. 第五章课件第41页（我这里的 $A$ 和 $C$ 和课件上是反着来的）. 由(i)我们可知在 $(\sigma^2, E)$ 平面上满足方程

\sigma^2 = \min \left\{ (x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) \right\} = \min \left\{ y^T V y \right\}=\frac{A E^2 - 2B E + C}{\Delta}.

Remark 4. 这里直接拿课件上的公式，具体可见第五章课件第47面的定理4.1 过原点 $(0,0)$ 与点 $(\sigma_{\mathrm{MVP}}^2, E_{\mathrm{MVP}})$ 的射线方程为

\frac{E}{\sigma^2} = \frac{E_{\mathrm{MVP}}}{\sigma_{\mathrm{MVP}}^2} = \frac{B/A}{1/A} = B \;\Longrightarrow\; E = B\sigma^2.

将 ((eq:ray)) 代入 ((eq:frontier))：

\sigma^2 = \frac{A (B\sigma^2)^2 - 2B (B\sigma^2) + C}{\Delta} = \frac{A B^2 \sigma^4 - 2B^2 \sigma^2 + C}{\Delta}.

整理得

A B^2 \sigma^4 - (AC + B^2) \sigma^2 + C = 0.

因为 $\sigma^2 = 1/A$ 对应 MVP 点，故 $(\sigma^2 - 1/A)$ 是 ((eq:quartic)) 的一个因子。解得另一根为

\sigma_M^2 = \frac{C}{B^2}.

代入 $E = B\sigma^2$ 得

E_M = B \cdot \frac{C}{B^2} = \frac{C}{B}.

Remark 5. 由第五章课件第38面我们可知， $M-V$ 组合最优解的组合比例一般形式为 $x = g + h E$ ，其中

g = \frac{C V^{-1} e - B V^{-1} R}{\Delta}, h = \frac{A V^{-1} R - B V^{-1} e}{\Delta}.

代入 $E_M = C/B$ ：

\begin{aligned} x_M &= g + h \cdot \frac{C}{B} \\ &= \frac{C V^{-1} e - B V^{-1} R}{\Delta} + \frac{A V^{-1} R - B V^{-1} e}{\Delta} \cdot \frac{C}{B} \\ &= \frac{1}{\Delta} \left[ C V^{-1} e - B V^{-1} R + \frac{AC}{B} V^{-1} R - C V^{-1} e \right] \\ &= \frac{1}{\Delta} \left[ \left( \frac{AC}{B} - B \right) V^{-1} R \right] \\ &= \frac{1}{\Delta} \cdot \frac{AC - B^2}{B} V^{-1} R \\ &= \frac{V^{-1} R}{B}. \end{aligned}

综上，

\sigma_M^2 = \frac{C}{B^2}, E_M = \frac{C}{B}, x_M = \frac{V^{-1} R}{B}.

证明倍数关系：
由 ((eq:xq)) 知 $y = x_q - x_p = \frac{\mu}{\Delta} V^{-1}(A R - B e)$ ，由 ((eq:M)) 及 $x_{\mathrm{MVP}} = V^{-1} e / A$ 得

x_M - x_{\mathrm{MVP}} = \frac{V^{-1} R}{B} - \frac{V^{-1} e}{A} = \frac{1}{AB} V^{-1} (A R - B e).

比较两式可得

x_q - x_p = \frac{\mu AB}{\Delta} (x_M - x_{\mathrm{MVP}}).

因此 $(x_q - x_p)$ 是 $(x_M - x_{\mathrm{MVP}})$ 的倍数。进一步，我们有：

\begin{aligned} (x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) &= y^T V y \\ &= \left( \frac{\mu AB}{\Delta} \right)^2 (x_M - x_{\mathrm{MVP}})^T V (x_M - x_{\mathrm{MVP}}). \end{aligned}

因此

\begin{aligned} (x_M - x_{\mathrm{MVP}})^T V (x_M - x_{\mathrm{MVP}}) &= x_M^T V x_M + x_{\mathrm{MVP}}^T V x_{\mathrm{MVP}} - 2 x_M^T V x_{\mathrm{MVP}} \\ &= \frac{C}{B^2} + \frac{1}{A} - \frac{2}{A} \\ &= \frac{C}{B^2} - \frac{1}{A} = \sigma_M^2 - \sigma_{\mathrm{MVP}}^2. \end{aligned}

Remark 6. $\sigma_M^2=\frac{C}{B^2},\sigma_{\mathrm{MVP}}^2=\frac{1}{A}$ 于是

(x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) = \frac{\mu^2 A^2 B^2}{\Delta^2} (\sigma_M^2 - \sigma_{\mathrm{MVP}}^2).

故 $(x_q - x_p)$ 为 $(x_M - x_{MVP})$ 的倍数， $\left\{ (x_q - x_p)^T V(x_q - x_p) \right\}$ 为 $(\sigma_M^2 - \sigma_{MVP}^2)$ 的倍数。

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记 $e = (1,1,\cdots,1)^T$ ， $r = (r_1,r_2,\cdots,r_n)^T$ ， $R = (R_1,R_2,\cdots,R_n)^T$ ， $R_i = E(r_i)$ ， $i = 1,2,\cdots,n$ ； $R_i$ 不全相同。 $\theta = \{ x \mid x^T e = 1 \}$ 。

Problem 1.

试求投资组合 $Q$ 的组合比例 $x_q$ ，其中 $x_q$ 为满足下述模型的解。

\begin{aligned}

& \min \left{ (x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) \right} \
& \text{s.t.} \
& (x_q - x_p)^T R = \mu   \text{(其中 <span data-mx-katex="%5Cmu"></span> 为非零常数)} \
& x_q^T e = 1
\end{aligned}

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试求在 $(\sigma^2, E(r))$ 坐标下，通过坐标原点及全局最小方差组合 (MVP) 的射线与上述 $n$ 个风险证券构成的投资组合边界曲线的交点 $M$ （非全局最小方差组合）所对应的边界组合的方差 $\sigma_M^2$ 、期望收益 $E(r_M)$ 和组合比例 $x_M$ 。
证明在 (i) 得出的解中， $(x_q - x_p)$ 为 $(x_M - x_{MVP})$ 的倍数， $\left\{ (x_q - x_p)^T V(x_q - x_p) \right\}$ 为 $(\sigma_M^2 - \sigma_{MVP}^2)$ 的倍数。

解.

求 $x_q$ ：
令 $y = x_q - x_p$ ，则 $x_q = x_p + y$ 。此时约束条件化为

\mu=(x_q-x_p)^TR=y^TR, 0=1-1=x_q^Te-x_p^Te=(x_q-x_p)^Te=y^Te.

即

y^T R = \mu, y^T e = 0.

我们构造拉格朗日函数：

\mathcal{L}(y,\lambda_1,\lambda_2) = y^T V y + \lambda_1 (y^T R - \mu) + \lambda_2 (y^T e).

对 $y$ 求梯度

\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T V y \bigr) + \lambda_1 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T R \bigr) + \lambda_2 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T e \bigr) \\ &= 2V y + \lambda_1 R + \lambda_2 e. \end{aligned}

Remark 1.

\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T V y \bigr) + \lambda_1 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T R \bigr) + \lambda_2 \frac{\partial}{\partial y} \bigl( y^T e \bigr) \end{aligned}

$\frac{\partial}{\partial y} (y^T V y)$ ：设 $V = (V_{ij})_{n \times n}$ 对称， $y = (y_1, \dots, y_n)^T$ ，则

y^T V y = \sum{i=1}^n \sum{j=1}^n V{ij} yi y_j. $$

对 <span data-mx-katex="y_k"></span> 求偏导（<span data-mx-katex="k%20%3D%201%2C%20%5Cdots%2C%20n"></span>）：

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\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y_k} \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n V_{ij} y_i y_j \right) &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n V_{ij} \frac{\partial}{\partial y_k} (y_i y_j) \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n V_{ij} \left( \delta_{ik} y_j + y_i \delta_{jk} \right) (\text{其中 }\delta_{ik} \text{ 为 Kronecker 符号}) \\ &= \sum_{j=1}^n V_{kj} y_j + \sum_{i=1}^n V_{ik} y_i. \end{aligned}

利用 $V$ 的对称性 $V_{ik} = V_{ki}$ ，得

\frac{\partial}{\partial y_k} (y^T V y) = \sum_{j=1}^n V_{kj} y_j + \sum_{i=1}^n V_{ki} y_i = 2 \sum_{j=1}^n V_{kj} y_j.

所以

\frac{\partial}{\partial y} (y^T V y) = \begin{pmatrix} 2 \sum_{j=1}^n V_{1j} y_j \\ 2 \sum_{j=1}^n V_{2j} y_j \\ \vdots \\ 2 \sum_{j=1}^n V_{nj} y_j \end{pmatrix} = 2V y.

$\frac{\partial}{\partial y} (y^T R)$ ： $R = (R_1, \dots, R_n)^T$ ，则

y^T R = \sum{i=1}^n Ri y_i. $$

对 <span data-mx-katex="y_k"></span> 求偏导：

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\frac{\partial}{\partial y_k} \left( \sum_{i=1}^n R_i y_i \right) = R_k.

所以

\frac{\partial}{\partial y} (y^T R) = \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_n \end{pmatrix} = R.

$\frac{\partial}{\partial y} (y^T e)$ ：由于 $e = (1, 1, \dots, 1)^T$ ，有

y^T e = \sum{i=1}^n yi. $$

对 <span data-mx-katex="y_k"></span> 求偏导：

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\frac{\partial}{\partial y_k} \left( \sum_{i=1}^n y_i \right) = 1.

所以

\frac{\partial}{\partial y} (y^T e) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = e.

将以上三项的梯度代入，得

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2V y + \lambda_1 R + \lambda_2 e.

令梯度为 $0$

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2 V y + \lambda_1 R + \lambda_2 e = 0.

于是

V y = -\frac12 (\lambda_1 R + \lambda_2 e) \Longrightarrow y = -\frac12 V^{-1}(\lambda_1 R + \lambda_2 e).

Remark 2. $V$ 为正定矩阵，故可逆。

我们记：<span data-mx-katex="A%3De%5ET%20V%5E%7B-1%7D%20e%2C%20%20B%3De%5ET%20V%5E%7B-1%7D%20R%3DR%5ETV%5E%7B-1%7De%2C%20%20C%3DR%5ET%20V%5E%7B-1%7D%20R%2C%20%20%5CDelta%3DAC%20-%20B%5E2"></span>

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代入约束条件 $y^T e = 0$ 得

-\frac12 (\lambda_1 e^T V^{-1} R + \lambda_2 e^T V^{-1} e) = -\frac12 (\lambda_1 B + \lambda_2 A) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_2 = -\frac{B}{A}\lambda_1.

代入约束 $y^T R = \mu$ 得

-\frac12 (\lambda_1 R^T V^{-1} R + \lambda_2 R^T V^{-1} e) = -\frac12 (\lambda_1 C + \lambda_2 B) = \mu.

将 $\lambda_2 = -B\lambda_1/A$ 代入：

-\frac12 \left( \lambda_1 C - \frac{B^2}{A}\lambda_1 \right) = \mu \;\Longrightarrow\; -\frac{\lambda_1}{2} \cdot \frac{AC - B^2}{A} = \mu.

解得

\lambda_1 = -\frac{2A\mu}{AC - B^2} = -\frac{2A\mu}{\Delta}, \lambda_2 = -\frac{B}{A}\lambda_1 = \frac{2B\mu}{\Delta}.

代入 ((eq:y))：

y = -\frac12 V^{-1} \left[ -\frac{2A\mu}{\Delta} R + \frac{2B\mu}{\Delta} e \right] = \frac{\mu}{\Delta} V^{-1} (A R - B e).

因此

x_q = x_p + \frac{\mu}{\Delta} V^{-1}(A R - B e)=x_p + \mu \cdot \frac{V^{-1}\big[ (e^T V^{-1} e) R - (e^T V^{-1} R) e \big]}{(e^T V^{-1} e)(R^T V^{-1} R) - (e^T V^{-1} R)^2}.

求交点 $M$ 所对应的边界组合的方差 $\sigma_M^2$ 、期望收益 $E(r_M)$ 和组合比例 $x_M$ ：
Definition 1 (全局最小方差组合). 全局最小方差组合（MVP）的组合比例、期望收益率、方差为：

x_{\mathrm{MVP}} = \frac{V^{-1} e}{A}, E_{\mathrm{MVP}} = \frac{B}{A}, \sigma_{\mathrm{MVP}}^2 = \frac{1}{A}.

Remark 3. 第五章课件第41页（我这里的 $A$ 和 $C$ 和课件上是反着来的）. 由(i)我们可知在 $(\sigma^2, E)$ 平面上满足方程

\sigma^2 = \min \left\{ (x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) \right\} = \min \left\{ y^T V y \right\}=\frac{A E^2 - 2B E + C}{\Delta}.

Remark 4. 这里直接拿课件上的公式，具体可见第五章课件第47面的定理4.1 过原点 $(0,0)$ 与点 $(\sigma_{\mathrm{MVP}}^2, E_{\mathrm{MVP}})$ 的射线方程为

\frac{E}{\sigma^2} = \frac{E_{\mathrm{MVP}}}{\sigma_{\mathrm{MVP}}^2} = \frac{B/A}{1/A} = B \;\Longrightarrow\; E = B\sigma^2.

将 ((eq:ray)) 代入 ((eq:frontier))：

\sigma^2 = \frac{A (B\sigma^2)^2 - 2B (B\sigma^2) + C}{\Delta} = \frac{A B^2 \sigma^4 - 2B^2 \sigma^2 + C}{\Delta}.

整理得

A B^2 \sigma^4 - (AC + B^2) \sigma^2 + C = 0.

因为 $\sigma^2 = 1/A$ 对应 MVP 点，故 $(\sigma^2 - 1/A)$ 是 ((eq:quartic)) 的一个因子。解得另一根为

\sigma_M^2 = \frac{C}{B^2}.

代入 $E = B\sigma^2$ 得

E_M = B \cdot \frac{C}{B^2} = \frac{C}{B}.

Remark 5. 由第五章课件第38面我们可知， $M-V$ 组合最优解的组合比例一般形式为 $x = g + h E$ ，其中

g = \frac{C V^{-1} e - B V^{-1} R}{\Delta}, h = \frac{A V^{-1} R - B V^{-1} e}{\Delta}.

代入 $E_M = C/B$ ：

\begin{aligned} x_M &= g + h \cdot \frac{C}{B} \\ &= \frac{C V^{-1} e - B V^{-1} R}{\Delta} + \frac{A V^{-1} R - B V^{-1} e}{\Delta} \cdot \frac{C}{B} \\ &= \frac{1}{\Delta} \left[ C V^{-1} e - B V^{-1} R + \frac{AC}{B} V^{-1} R - C V^{-1} e \right] \\ &= \frac{1}{\Delta} \left[ \left( \frac{AC}{B} - B \right) V^{-1} R \right] \\ &= \frac{1}{\Delta} \cdot \frac{AC - B^2}{B} V^{-1} R \\ &= \frac{V^{-1} R}{B}. \end{aligned}

综上，

\sigma_M^2 = \frac{C}{B^2}, E_M = \frac{C}{B}, x_M = \frac{V^{-1} R}{B}.

证明倍数关系：
由 ((eq:xq)) 知 $y = x_q - x_p = \frac{\mu}{\Delta} V^{-1}(A R - B e)$ ，由 ((eq:M)) 及 $x_{\mathrm{MVP}} = V^{-1} e / A$ 得

x_M - x_{\mathrm{MVP}} = \frac{V^{-1} R}{B} - \frac{V^{-1} e}{A} = \frac{1}{AB} V^{-1} (A R - B e).

比较两式可得

x_q - x_p = \frac{\mu AB}{\Delta} (x_M - x_{\mathrm{MVP}}).

因此 $(x_q - x_p)$ 是 $(x_M - x_{\mathrm{MVP}})$ 的倍数。进一步，我们有：

\begin{aligned} (x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) &= y^T V y \\ &= \left( \frac{\mu AB}{\Delta} \right)^2 (x_M - x_{\mathrm{MVP}})^T V (x_M - x_{\mathrm{MVP}}). \end{aligned}

因此

\begin{aligned} (x_M - x_{\mathrm{MVP}})^T V (x_M - x_{\mathrm{MVP}}) &= x_M^T V x_M + x_{\mathrm{MVP}}^T V x_{\mathrm{MVP}} - 2 x_M^T V x_{\mathrm{MVP}} \\ &= \frac{C}{B^2} + \frac{1}{A} - \frac{2}{A} \\ &= \frac{C}{B^2} - \frac{1}{A} = \sigma_M^2 - \sigma_{\mathrm{MVP}}^2. \end{aligned}

Remark 6. $\sigma_M^2=\frac{C}{B^2},\sigma_{\mathrm{MVP}}^2=\frac{1}{A}$ 于是

(x_q - x_p)^T V (x_q - x_p) = \frac{\mu^2 A^2 B^2}{\Delta^2} (\sigma_M^2 - \sigma_{\mathrm{MVP}}^2).

故 $(x_q - x_p)$ 为 $(x_M - x_{MVP})$ 的倍数， $\left\{ (x_q - x_p)^T V(x_q - x_p) \right\}$ 为 $(\sigma_M^2 - \sigma_{MVP}^2)$ 的倍数。

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