Investment — Homework 6

Problem 1.

设投资组合 $p$ 是由 3 个风险证券构成的一个已知投资组合，其组合比例为 $w_p = (w_1, w_2, w_3)^T$ ，收益率为 $r_p$ ，期望收益率为 $E(r_p)$ 。

考虑如下单因素模型： $r_i = \alpha_i + \beta_i r_p + \varepsilon_i$ ， $i = 1, 2, 3$ ，

\operatorname{cov}(r_p, \varepsilon_i) = 0, E(\varepsilon_i) = 0, \operatorname{cov}(\varepsilon_j, \varepsilon_i) = 0, i \neq j

若记 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^T$ ， $\beta = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)^T$ ， $\varepsilon = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)^T$ ，求 $\alpha^T V^{-1} \beta$ 。（三证券收益率的协方差矩阵 $V$ 为正定矩阵）

证明.

我们把单因素模型

r_i = \alpha_i + \beta_i r_p + \varepsilon_i, i=1,2,3,

写成向量形式 $r = \alpha + \beta r_p + \varepsilon$ ，其中 $E(\varepsilon)=0$ ， $\operatorname{Cov}(\varepsilon, r_p)=0$ ， $\operatorname{Cov}(\varepsilon)=D= \operatorname{diag}(\sigma_{\varepsilon_1}^2, \sigma_{\varepsilon_2}^2, \sigma_{\varepsilon_3}^2)$ 为对角矩阵。

由于 $r_p = w_p^T r$ ，有

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(r, w_p^T r) &= \mathbb{E}\bigl[ (r - \mathbb{E}[r])(w_p^T r - \mathbb{E}[w_p^T r])^T \bigr] \\ &= \mathbb{E}\bigl[ (r - \mathbb{E}[r])(r - \mathbb{E}[r])^T w_p \bigr] \\ &= \mathbb{E}\bigl[ (r - \mathbb{E}[r])(r - \mathbb{E}[r])^T \bigr] w_p \\ &= \operatorname{Cov}(r) \, w_p \\ &= V w_p. \end{aligned}

另一方面

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(r, r_p) &= \operatorname{Cov}(\alpha + \beta r_p + \varepsilon, r_p) \\ &= \operatorname{Cov}(\beta r_p, r_p) + \operatorname{Cov}(\varepsilon, r_p) \\ &= \beta \operatorname{Cov}(r_p, r_p) \\ &= \beta \operatorname{Var}(r_p) \\ &= \beta \sigma_p^2. \end{aligned}

因此

V w_p = \beta \sigma_p^2

即

w_p^T V = \sigma_p^2 \beta^T

将上述右乘 $V^{-1}$

w_p^T V V^{-1} = \sigma_p^2 \beta^T V^{-1}\Rightarrow w_p^T = \sigma_p^2 \beta^T V^{-1}

对上述取转置：

w_p = \sigma_p^2 (V^{-1})^T \beta = \sigma_p^2 V^{-1} \beta

将 $r_p = w_p^T r$ 代入模型得

r_p = w_p^T \alpha + (w_p^T \beta) r_p + w_p^T \varepsilon.

Remark 1.

这个 $\varepsilon$ 的那个系数消去影响好像不大好说明，要说明的话只能说取期望来说明.

比较严谨的方法应该是要用李上课讲的那个直接套求 $\beta$ 的公式来处理比较方便一点.

比较系数可得

w_p^T \beta = 1, w_p^T \alpha = 0.

现在，将 $w_p$ 的表达式代入 $w_p^T \alpha = 0$ ：

(\sigma_p^2 V^{-1} \beta)^T \alpha = 0\iff \sigma_p^2 \beta^T (V^{-1})^T \alpha = 0\iff \sigma_p^2 \beta^T V^{-1} \alpha = 0

因为 $\sigma_p^2 = \mathrm{Var}(r_p) = w_p^T V w_p > 0$ ，所以：

\beta^T V^{-1} \alpha = 0

由于 $\alpha^T V^{-1} \beta$ 是一个标量，且 $V^{-1}$ 是对称矩阵，所以 $(\alpha^T V^{-1} \beta)^T = \beta^T (V^{-1})^T \alpha = \beta^T V^{-1} \alpha$ 。

\alpha^T V^{-1} \beta = \beta^T V^{-1} \alpha = 0

∎

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Problem 1.

设投资组合 $p$ 是由 3 个风险证券构成的一个已知投资组合，其组合比例为 $w_p = (w_1, w_2, w_3)^T$ ，收益率为 $r_p$ ，期望收益率为 $E(r_p)$ 。

考虑如下单因素模型： $r_i = \alpha_i + \beta_i r_p + \varepsilon_i$ ， $i = 1, 2, 3$ ，

\operatorname{cov}(r_p, \varepsilon_i) = 0, E(\varepsilon_i) = 0, \operatorname{cov}(\varepsilon_j, \varepsilon_i) = 0, i \neq j

证明.

我们把单因素模型

r_i = \alpha_i + \beta_i r_p + \varepsilon_i, i=1,2,3,

由于 $r_p = w_p^T r$ ，有

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(r, w_p^T r) &= \mathbb{E}\bigl[ (r - \mathbb{E}[r])(w_p^T r - \mathbb{E}[w_p^T r])^T \bigr] \\ &= \mathbb{E}\bigl[ (r - \mathbb{E}[r])(r - \mathbb{E}[r])^T w_p \bigr] \\ &= \mathbb{E}\bigl[ (r - \mathbb{E}[r])(r - \mathbb{E}[r])^T \bigr] w_p \\ &= \operatorname{Cov}(r) \, w_p \\ &= V w_p. \end{aligned}

另一方面

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(r, r_p) &= \operatorname{Cov}(\alpha + \beta r_p + \varepsilon, r_p) \\ &= \operatorname{Cov}(\beta r_p, r_p) + \operatorname{Cov}(\varepsilon, r_p) \\ &= \beta \operatorname{Cov}(r_p, r_p) \\ &= \beta \operatorname{Var}(r_p) \\ &= \beta \sigma_p^2. \end{aligned}

因此

V w_p = \beta \sigma_p^2

即

w_p^T V = \sigma_p^2 \beta^T

将上述右乘 $V^{-1}$

w_p^T V V^{-1} = \sigma_p^2 \beta^T V^{-1}\Rightarrow w_p^T = \sigma_p^2 \beta^T V^{-1}

对上述取转置：

w_p = \sigma_p^2 (V^{-1})^T \beta = \sigma_p^2 V^{-1} \beta

将 $r_p = w_p^T r$ 代入模型得

r_p = w_p^T \alpha + (w_p^T \beta) r_p + w_p^T \varepsilon.

Remark 1.

这个 $\varepsilon$ 的那个系数消去影响好像不大好说明，要说明的话只能说取期望来说明.

比较严谨的方法应该是要用李上课讲的那个直接套求 $\beta$ 的公式来处理比较方便一点.

比较系数可得

w_p^T \beta = 1, w_p^T \alpha = 0.

现在，将 $w_p$ 的表达式代入 $w_p^T \alpha = 0$ ：

(\sigma_p^2 V^{-1} \beta)^T \alpha = 0\iff \sigma_p^2 \beta^T (V^{-1})^T \alpha = 0\iff \sigma_p^2 \beta^T V^{-1} \alpha = 0

因为 $\sigma_p^2 = \mathrm{Var}(r_p) = w_p^T V w_p > 0$ ，所以：

\beta^T V^{-1} \alpha = 0

由于 $\alpha^T V^{-1} \beta$ 是一个标量，且 $V^{-1}$ 是对称矩阵，所以 $(\alpha^T V^{-1} \beta)^T = \beta^T (V^{-1})^T \alpha = \beta^T V^{-1} \alpha$ 。

\alpha^T V^{-1} \beta = \beta^T V^{-1} \alpha = 0

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