Example.
用图解法求解：
\left{ \begin{aligned} 2x1+x2+d1^- - d1^+ &= 120,\ x1+3x2+d2^- - d2^+ &= 150,\ 50x1+30x2+d3^- - d3^+ &= 4600,\ x1+d4^- - d4^+ &= 50,\ x2+d5^- - d5^+ &= 80,\ d1^+ + d6^- - d6^+ &= 20,\ x1,x2,di^-,d_i^+ &\ge 0,\ i=1,\dots,6. \end{aligned} \right.
解.
我们按优先级从前往后做。
**1)
P1:\min d3^+** 由
可知要让 d_3^+ 最小，点要落在
这一侧，此时可以做到 d_3^+=0。
2) P2:\min d4^- 由
得到
所以最优就是把 d_4^- 压到 0，即
3) P3:\min(4d1^-+d_2^-) 若想这一层目标值为 0，只能有
对应
4) P4:\min d6^+ 由
可写成
又
所以要让 d_6^+=0，需要
到这里，区域被夹成
5) P5:\min d5^- 由
得
也就是希望 x_2 尽量大。
结合前面的
可得
因此 x2 最大是 40，并且取到 40 时必须有 x1=50。 此时我们得到了唯一点：
6) P6:\min(4d1^+ + d_2^+) 前面已经是唯一点，直接代入：
4d1^+ + d2^+=4\times 20+20=100.
\boxed{x1^*=50, x2^*=40.}
对应偏差变量可写成
d1^-=0,\ d1^+=20,\ d2^-=0,\ d2^+=20,\ d3^+=0,\ d4^-=0,\ d5^-=40,\ d6^+=0.
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