PDE — Homework 2

Theorem 1 ($\spadesuit$).

设有$C^\infty(\mathbb{R})$ 函数序列$\{f_n(x)\}$ 适合：

1. (i) 对任意$M > 0$，当$|a| < M$，$|b| < M$ 时

只与$M$ 有关；

2. (ii) 固定$a$ 和$b$ 有

则必有

Proof.

令

由条件(i)，在任一有界区间内$F_n(x)$ 对$n$ 一致有界，而且

对$\forall\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$：

\annotate[yshift=-3em]{below,left}{EH2-1}{Lebesgue控制收敛定理}

∎

Problem 1.

验证：

Proof.

对于$a,b$，我们有：

1. (i)

2. (ii) 若$a,b$同号，当$n\rightarrow\infty$时有$\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan nb=\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan na=\frac{\pi}{2}$，则有((TF2-1))$=0$； 若$a,b$异号，不妨设$a<0<b$，当$n\rightarrow\infty$时有$\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan nb=\frac{\pi}{2},\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan na=-\frac{\pi}{2}$，则有((TF2-1))$=1$。 即有：

故由定理($\spadesuit$)，我们可知

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Problem 2.

验证：

Proof.

这里我们令$n=\frac{1}{t}$，则定理($\spadesuit$)仍然适用：

1. (i)

注：$f_t(x)$ 为正态分布$N(0,2t)$ 的概率密度函数，故其在$\mathbb{R}$ 上的积分值为$1$。

2. (ii) 结合

故我们可知：

故由定理($\spadesuit$)，我们可知

∎

Problem 3.

设$f\in\mathscr{E}'(\mathbb{R}^n)$，$g$是一个$m$次多项式，证明$f\ast g$是一个至多$m$次多项式.\$f\ast1$等于什么？

Proof.

1. (i) 设$g=\sum_{k=0}^{m}a_k x^k$，其中$a_n\neq0$，则：

记

而$P_j(x)=\sum_{k=j}^{m}c_k\binom{k}{j}(-1)^j x^{k-j}$为至多$m$次多项式，$\langle f(y),y^j\rangle$为常数$\in\mathbb{C}$，故我们可知$f\ast g$是一个至多$m$次多项式.

2. (ii) 我们令(i)中的$g(x)=1$，则由(i)的结论可知$f\ast 1$为一个至多$0$次多项式，即为常数$\langle f(y),1\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)dy$，故：

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