PDE — Homework 4

Problem 1.

Laplace算子的基本解为：

E(r) = \begin{cases} C_n r^{2-n}, & n \geq 3 \\ C_2 \ln \dfrac{1}{r}, & n = 2 \end{cases}

我们现在要证明：

C_n = \frac{1}{(2-n)S_{n}} (n \geq 3), C_2 = \frac{1}{2\pi}

这里 $S_{n}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中单位球的表面积.

不同于我们熟知的三维球体的球体体积公式以及球体与球表面积之间的关系，在解决问题之前，我们先推导一下 $n(n\geq3)$ 维球体体积与表面积的关系以及球体体积公式：

Theorem 1 ( $n$ 维球体体积与表面积的关系).

设 $n$ 维球体半径为 $R$ ，体积为 $V_n(R)$ ，表面积为 $S_n(R)$ ，则成立：

V_n(R) = \frac{R}{n} S_n(R)

若记 $S_n(R) = S_n R^{n-1}$ ，其中 $S_n$ 为常数，则：

V_n(R) = \frac{S_n}{n} R^n = v_n R^n

Remark 1.

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证明.

体积可通过表面积的积分得到：

V_n(R) = \int_0^R S_n(r) dr = S_n \int_0^R r^{n-1} dr = \frac{1}{n} S_n R^n = \frac{R}{n} S_n(R)

∎

Theorem 2 ( $n$ 维球体体积公式).

n

维球体体积为：

V_n(R) = v_n R^n, \text{其中} v_n = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}

证明.

我们采用数学归纳法证明：

当 $n = 3$ 时， $V_3(R) = \frac{4}{3}\pi R^3$ ， $v_3 = \frac{4}{3}\pi$ ，公式成立：

v_3=\frac{2^3}{3!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^1 = \frac{4}{3}\pi

假设对 $n-1$ 维情形公式成立，考虑 $n$ 维球体 $B_n(R)$ ：

\begin{aligned} V_n(R) &= \int_{B_n(R)} dx_1 dx_2 \cdots dx_n \\ &= \int_{-R}^R dx_1 \int_{\sum_{i=2}^n x_i^2 \leq R^2 - x_1^2} dx_2 \cdots dx_n \\ &= \int_{-R}^R v_{n-1} (R^2 - x_1^2)^{\frac{n-1}{2}} dx_1 \end{aligned}

作变量代换 $x_1 = R\cos\theta$ ，则 $dx_1 = -R\sin\theta d\theta$ ，当 $x_1$ 从 $-R$ 到 $R$ 时， $\theta$ 从 $\pi$ 到 $0$ ：

\begin{aligned} V_n(R) &= v_{n-1} R^n \int_{\pi}^0 (1 - \cos^2\theta)^{\frac{n-1}{2}} (-\sin\theta) d\theta \\ &= v_{n-1} R^n \int_0^{\pi} \sin^n\theta d\theta \\ &= 2v_{n-1} R^n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n\theta d\theta \end{aligned}

记 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n\theta d\theta$ ，利用我们在数学分析中学到的Wallis积分公式：

I_n = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为偶数} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{为奇数} \end{cases}

因此：

v_n = 2v_{n-1} I_n

分两种情况计算：

当 $n$ 为偶数时，设 $n = 2k$ ：

\begin{aligned} v_{2k} &= 2v_{2k-1} I_{2k} = 2 \cdot \frac{2^{2k-1}}{(2k-1)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{k-1} \cdot \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{2^{2k}}{(2k)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^k = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\frac{n}{2}} \end{aligned}

当 $n$ 为奇数时，设 $n = 2k+1$ ：

\begin{aligned} v_{2k+1} &= 2v_{2k} I_{2k+1} = 2 \cdot \frac{2^{2k}}{(2k)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^k \cdot \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} \\ &= \frac{2^{2k+1}}{(2k+1)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^k = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\frac{n-1}{2}} \end{aligned}

我们可以统一写为：

v_n = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}

故我们由数学归纳法，公式得证.

∎

因此，我们有：

S_n(R) = S_n R^{n-1}, \text{其中} S_n = n v_n = \frac{2^n}{(n-2)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}

Theorem 3.

对于球对称函数 $E(r)$ ，有：

\Delta E(r) = \frac{d^2E}{dr^2} + \frac{n-1}{r} \cdot \frac{dE}{dr}

证明.

由链式法则：

\frac{\partial}{\partial x_j} E(r) = \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{\partial r}{\partial x_j} = \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{x_j}{r}

计算二阶导数：

\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} E(r) &= \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{x_j}{r} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} \cdot \left( \frac{x_j}{r} \right)^2 + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{x_j}{r} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} \cdot \frac{x_j^2}{r^2} + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \left( \frac{1}{r} - \frac{x_j^2}{r^3} \right) \end{aligned}

对 $j=1,\ldots,n$ 求和：

\begin{aligned} \Delta E(r) &= \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} E(r) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} \cdot \frac{\sum_{j=1}^n x_j^2}{r^2} + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \sum_{j=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{x_j^2}{r^3} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \left( \frac{n}{r} - \frac{1}{r} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} + \frac{n-1}{r} \cdot \frac{dE(r)}{dr} \end{aligned}

∎

下面我们来正式求解 $C_n$ ( $n \geq 3$ )：

解.

设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为连通开集， $Q \in \Omega$ ， $u, v \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ 。

使用Green公式：

\int_{\Omega} (u \Delta v - v \Delta u) dx = \int_{\partial \Omega} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds

其中 $n$ 是 $\partial \Omega$ 的单位外法向量。

取 $v = \frac{1}{r^{n-2}}$ ，其中 $r = d(x,Q)$ 。为处理奇点，我们设 $B_\epsilon(Q)$ 是以 $Q$ 为球心、 $\epsilon$ 为半径的球，定义新的积分区域：

\Omega_\epsilon = \Omega \setminus B_\epsilon(Q)

此时 $v = r^{2-n} \in C^2(\Omega_\epsilon) \cap C(\overline{\Omega}_\epsilon)$ 。

在 $\Omega_\epsilon$ 上应用Green公式：

\begin{aligned} I &= \int_{\Omega_\epsilon} (u \Delta v - v \Delta u) dx \\ &= \int_{\partial \Omega_\epsilon} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds \\ &= \int_{\partial \Omega} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds \\ & + \int_{\partial B_\epsilon(Q)} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds \\ &= I_1 + I_2 \end{aligned}

在球面 $\partial B_\epsilon(Q)$ 上，外法向量指向球心，因此：

\begin{aligned} I_2 &= \int_{\partial B_\epsilon(Q)} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds\\ &= -\int_{\partial B_\epsilon(Q)} \left( u \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial r} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right) ds \\ &= (n-2) \int_{\partial B_\epsilon(Q)} u \cdot \frac{1}{r^{n-1}} ds + \int_{\partial B_\epsilon(Q)} \frac{\partial u}{\partial r} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} ds (r = \epsilon) \end{aligned}

应用积分中值定理，存在 $Q^*, \hat{Q} \in \partial B_\epsilon(Q)$ 使得：

\begin{aligned} I_2 &= \frac{n-2}{\epsilon^{n-1}} \cdot S_n \epsilon^{n-1} \cdot u(Q^*) + \frac{1}{\epsilon^{n-2}} \cdot S_n \epsilon^{n-1} \cdot \frac{\partial u}{\partial r}(\hat{Q}) \\ &= (n-2)S_n \cdot u(Q^*) + S_n \cdot \frac{\partial u}{\partial r}(\hat{Q}) \cdot \epsilon \end{aligned}

当 $\epsilon \to 0^+$ 时， $Q^*, \hat{Q} \to Q$ ，且第二项趋于零：

\lim_{\epsilon \to 0^+} I_2 = (n-2)S_n \cdot u(Q)

因此：

I = I_1 + (n-2)S_n \cdot u(Q)

另一方面，在 $\Omega_\epsilon$ 上考虑函数 $v = \dfrac{1}{r^{n-2}} = r^{2-n}$

\begin{aligned} v'(r) &= (2-n) r^{1-n} \\ v''(r) &= (2-n)(1-n) r^{-n} \end{aligned}

代入式((ht4-1))：

\begin{aligned} \Delta v &= v''(r) + \frac{n-1}{r} v'(r) \\ &= (2-n)(1-n) r^{-n} + \frac{n-1}{r} \cdot (2-n) r^{1-n} \\ &= (2-n)(1-n) r^{-n} + (n-1)(2-n) r^{-n}\\ &= (2-n)r^{-n} \big[(1-n) + (n-1)\big] = 0 \end{aligned}

所以：

I = \int_{\Omega_\epsilon} (u \cdot 0 - v \Delta u) dx = -\int_{\Omega_\epsilon} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u dx

令 $\epsilon \to 0^+$ ，得到：

I = -\int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u dx

联立((h4-1))((h4-2))式：

-\int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u dx = \int_{\partial \Omega} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds + (n-2)S_n \cdot u(Q)

整理得：

u(Q) = \frac{1}{(n-2)S_n} \left[ \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} ds - \int_{\partial \Omega} u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) ds - \int_{\Omega} \Delta u \cdot \frac{1}{r^{n-2}} dx \right]

现在考虑分布意义下的基本解。设 $v = C_n \frac{1}{r^{n-2}}$ ，对任意测试函数 $u \in C_0^\infty(\Omega)$ ，有：

\begin{aligned} u(Q) &= \int_{\mathbb{R}^n}\delta(x-Q)u(x)dx\\ &=\langle \delta(x - Q), u(x) \rangle \\ &=\langle E(r),u(x)\rangle\\ &= \langle \Delta \left( C_n \frac{1}{r^{n-2}} \right), u(x) \rangle \\ &= C_n \left\langle \frac{1}{r^{n-2}}, \Delta u(x) \right\rangle \\ &= C_n \int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u(x) dx \end{aligned}

比较((h4-3))((h4-4))两式，对 $u \in C_0^\infty(\Omega)$ ，在 $\partial \Omega$ 上： $u(x) = 0$ ， $\nabla u(x) = 0\Rightarrow\frac{\partial u}{\partial n} = 0$ ，因此：

u(Q) = -\frac{1}{(n-2)S_n} \int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u(x) dx = C_n \int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u(x) dx

由此得到：

C_n = -\frac{1}{(n-2)S_n}

其中 $S_n = n v_n = \dfrac{2^n}{(n-2)!!} \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}$ 是 $n$ 维单位球的表面积。

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Problem 1.

Laplace算子的基本解为：

E(r) = \begin{cases} C_n r^{2-n}, & n \geq 3 \\ C_2 \ln \dfrac{1}{r}, & n = 2 \end{cases}

我们现在要证明：

C_n = \frac{1}{(2-n)S_{n}} (n \geq 3), C_2 = \frac{1}{2\pi}

这里 $S_{n}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中单位球的表面积.

Theorem 1 ( $n$ 维球体体积与表面积的关系).

设 $n$ 维球体半径为 $R$ ，体积为 $V_n(R)$ ，表面积为 $S_n(R)$ ，则成立：

V_n(R) = \frac{R}{n} S_n(R)

若记 $S_n(R) = S_n R^{n-1}$ ，其中 $S_n$ 为常数，则：

V_n(R) = \frac{S_n}{n} R^n = v_n R^n

Remark 1.

对于<span data-mx-katex="n"></span>维球体，体积的最高次应该是<span data-mx-katex="n"></span>，而表面积的最高次应该是<span data-mx-katex="n-1"></span>，即<span data-mx-katex="%5Cdeg(S_n(R))%3Dn-1%2C%5Cdeg(V_n(R))%3Dn"></span>.

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证明.

体积可通过表面积的积分得到：

V_n(R) = \int_0^R S_n(r) dr = S_n \int_0^R r^{n-1} dr = \frac{1}{n} S_n R^n = \frac{R}{n} S_n(R)

∎

Theorem 2 ( $n$ 维球体体积公式).

n

维球体体积为：

V_n(R) = v_n R^n, \text{其中} v_n = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}

证明.

我们采用数学归纳法证明：

当 $n = 3$ 时， $V_3(R) = \frac{4}{3}\pi R^3$ ， $v_3 = \frac{4}{3}\pi$ ，公式成立：

v_3=\frac{2^3}{3!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^1 = \frac{4}{3}\pi

假设对 $n-1$ 维情形公式成立，考虑 $n$ 维球体 $B_n(R)$ ：

\begin{aligned} V_n(R) &= \int_{B_n(R)} dx_1 dx_2 \cdots dx_n \\ &= \int_{-R}^R dx_1 \int_{\sum_{i=2}^n x_i^2 \leq R^2 - x_1^2} dx_2 \cdots dx_n \\ &= \int_{-R}^R v_{n-1} (R^2 - x_1^2)^{\frac{n-1}{2}} dx_1 \end{aligned}

作变量代换 $x_1 = R\cos\theta$ ，则 $dx_1 = -R\sin\theta d\theta$ ，当 $x_1$ 从 $-R$ 到 $R$ 时， $\theta$ 从 $\pi$ 到 $0$ ：

\begin{aligned} V_n(R) &= v_{n-1} R^n \int_{\pi}^0 (1 - \cos^2\theta)^{\frac{n-1}{2}} (-\sin\theta) d\theta \\ &= v_{n-1} R^n \int_0^{\pi} \sin^n\theta d\theta \\ &= 2v_{n-1} R^n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n\theta d\theta \end{aligned}

记 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n\theta d\theta$ ，利用我们在数学分析中学到的Wallis积分公式：

I_n = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为偶数} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{为奇数} \end{cases}

因此：

v_n = 2v_{n-1} I_n

分两种情况计算：

当 $n$ 为偶数时，设 $n = 2k$ ：

\begin{aligned} v_{2k} &= 2v_{2k-1} I_{2k} = 2 \cdot \frac{2^{2k-1}}{(2k-1)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{k-1} \cdot \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{2^{2k}}{(2k)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^k = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\frac{n}{2}} \end{aligned}

当 $n$ 为奇数时，设 $n = 2k+1$ ：

\begin{aligned} v_{2k+1} &= 2v_{2k} I_{2k+1} = 2 \cdot \frac{2^{2k}}{(2k)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^k \cdot \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} \\ &= \frac{2^{2k+1}}{(2k+1)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^k = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\frac{n-1}{2}} \end{aligned}

我们可以统一写为：

v_n = \frac{2^n}{n!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}

故我们由数学归纳法，公式得证.

∎

因此，我们有：

S_n(R) = S_n R^{n-1}, \text{其中} S_n = n v_n = \frac{2^n}{(n-2)!!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}

Theorem 3.

对于球对称函数 $E(r)$ ，有：

\Delta E(r) = \frac{d^2E}{dr^2} + \frac{n-1}{r} \cdot \frac{dE}{dr}

证明.

由链式法则：

\frac{\partial}{\partial x_j} E(r) = \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{\partial r}{\partial x_j} = \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{x_j}{r}

计算二阶导数：

\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} E(r) &= \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{x_j}{r} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} \cdot \left( \frac{x_j}{r} \right)^2 + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{x_j}{r} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} \cdot \frac{x_j^2}{r^2} + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \left( \frac{1}{r} - \frac{x_j^2}{r^3} \right) \end{aligned}

对 $j=1,\ldots,n$ 求和：

\begin{aligned} \Delta E(r) &= \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} E(r) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} \cdot \frac{\sum_{j=1}^n x_j^2}{r^2} + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \sum_{j=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{x_j^2}{r^3} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} + \frac{dE(r)}{dr} \cdot \left( \frac{n}{r} - \frac{1}{r} \right) \\ &= \frac{d^2E(r)}{dr^2} + \frac{n-1}{r} \cdot \frac{dE(r)}{dr} \end{aligned}

∎

下面我们来正式求解 $C_n$ ( $n \geq 3$ )：

解.

设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为连通开集， $Q \in \Omega$ ， $u, v \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ 。

使用Green公式：

\int_{\Omega} (u \Delta v - v \Delta u) dx = \int_{\partial \Omega} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds

其中 $n$ 是 $\partial \Omega$ 的单位外法向量。

取 $v = \frac{1}{r^{n-2}}$ ，其中 $r = d(x,Q)$ 。为处理奇点，我们设 $B_\epsilon(Q)$ 是以 $Q$ 为球心、 $\epsilon$ 为半径的球，定义新的积分区域：

\Omega_\epsilon = \Omega \setminus B_\epsilon(Q)

此时 $v = r^{2-n} \in C^2(\Omega_\epsilon) \cap C(\overline{\Omega}_\epsilon)$ 。

在 $\Omega_\epsilon$ 上应用Green公式：

\begin{aligned} I &= \int_{\Omega_\epsilon} (u \Delta v - v \Delta u) dx \\ &= \int_{\partial \Omega_\epsilon} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds \\ &= \int_{\partial \Omega} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds \\ & + \int_{\partial B_\epsilon(Q)} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds \\ &= I_1 + I_2 \end{aligned}

在球面 $\partial B_\epsilon(Q)$ 上，外法向量指向球心，因此：

\begin{aligned} I_2 &= \int_{\partial B_\epsilon(Q)} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds\\ &= -\int_{\partial B_\epsilon(Q)} \left( u \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial r} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right) ds \\ &= (n-2) \int_{\partial B_\epsilon(Q)} u \cdot \frac{1}{r^{n-1}} ds + \int_{\partial B_\epsilon(Q)} \frac{\partial u}{\partial r} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} ds (r = \epsilon) \end{aligned}

应用积分中值定理，存在 $Q^*, \hat{Q} \in \partial B_\epsilon(Q)$ 使得：

\begin{aligned} I_2 &= \frac{n-2}{\epsilon^{n-1}} \cdot S_n \epsilon^{n-1} \cdot u(Q^*) + \frac{1}{\epsilon^{n-2}} \cdot S_n \epsilon^{n-1} \cdot \frac{\partial u}{\partial r}(\hat{Q}) \\ &= (n-2)S_n \cdot u(Q^*) + S_n \cdot \frac{\partial u}{\partial r}(\hat{Q}) \cdot \epsilon \end{aligned}

当 $\epsilon \to 0^+$ 时， $Q^*, \hat{Q} \to Q$ ，且第二项趋于零：

\lim_{\epsilon \to 0^+} I_2 = (n-2)S_n \cdot u(Q)

因此：

I = I_1 + (n-2)S_n \cdot u(Q)

另一方面，在 $\Omega_\epsilon$ 上考虑函数 $v = \dfrac{1}{r^{n-2}} = r^{2-n}$

\begin{aligned} v'(r) &= (2-n) r^{1-n} \\ v''(r) &= (2-n)(1-n) r^{-n} \end{aligned}

代入式((ht4-1))：

\begin{aligned} \Delta v &= v''(r) + \frac{n-1}{r} v'(r) \\ &= (2-n)(1-n) r^{-n} + \frac{n-1}{r} \cdot (2-n) r^{1-n} \\ &= (2-n)(1-n) r^{-n} + (n-1)(2-n) r^{-n}\\ &= (2-n)r^{-n} \big[(1-n) + (n-1)\big] = 0 \end{aligned}

所以：

I = \int_{\Omega_\epsilon} (u \cdot 0 - v \Delta u) dx = -\int_{\Omega_\epsilon} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u dx

令 $\epsilon \to 0^+$ ，得到：

I = -\int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u dx

联立((h4-1))((h4-2))式：

-\int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u dx = \int_{\partial \Omega} \left[ u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) - \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} \right] ds + (n-2)S_n \cdot u(Q)

整理得：

u(Q) = \frac{1}{(n-2)S_n} \left[ \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \cdot \frac{1}{r^{n-2}} ds - \int_{\partial \Omega} u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{1}{r^{n-2}} \right) ds - \int_{\Omega} \Delta u \cdot \frac{1}{r^{n-2}} dx \right]

现在考虑分布意义下的基本解。设 $v = C_n \frac{1}{r^{n-2}}$ ，对任意测试函数 $u \in C_0^\infty(\Omega)$ ，有：

\begin{aligned} u(Q) &= \int_{\mathbb{R}^n}\delta(x-Q)u(x)dx\\ &=\langle \delta(x - Q), u(x) \rangle \\ &=\langle E(r),u(x)\rangle\\ &= \langle \Delta \left( C_n \frac{1}{r^{n-2}} \right), u(x) \rangle \\ &= C_n \left\langle \frac{1}{r^{n-2}}, \Delta u(x) \right\rangle \\ &= C_n \int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u(x) dx \end{aligned}

比较((h4-3))((h4-4))两式，对 $u \in C_0^\infty(\Omega)$ ，在 $\partial \Omega$ 上： $u(x) = 0$ ， $\nabla u(x) = 0\Rightarrow\frac{\partial u}{\partial n} = 0$ ，因此：

u(Q) = -\frac{1}{(n-2)S_n} \int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u(x) dx = C_n \int_{\Omega} \frac{1}{r^{n-2}} \Delta u(x) dx

由此得到：

C_n = -\frac{1}{(n-2)S_n}

其中 $S_n = n v_n = \dfrac{2^n}{(n-2)!!} \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}$ 是 $n$ 维单位球的表面积。

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PDE — Homework 4

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