PDE — Homework 5

Problem 1.

设$\Omega = B_R(Q)$，$u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$.证明：

1. (i)$u(Q) = \frac{1}{4\pi R^2} \int_{\partial B_R} u \, dS_p + \frac{1}{4\pi} \int_{B_R} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{r} \right) \Delta u \, dx$

2. (ii) 若$\Delta u \geq 0$，则$u(Q) \leq \frac{1}{4\pi R^2} \int_{\partial B_R} u \, dS_p$.

我们先回顾我们在求Laplace方程基本解过程中用到的公式：

Lemma 1.

证明.

，我们取$v = \frac{1}{r}$。但$v = \frac{1}{r}$在原点处有奇点，不满足Green公式的条件。

是基本解的主项。为处理奇点，设$B_\varepsilon(0)$是以原点为球心、$\varepsilon$为半径的小球，定义：

在新的区域$\Omega_\varepsilon$上，$v = \frac{1}{r} \in C^2(\Omega_\varepsilon) \cap C(\overline{\Omega}_\varepsilon)$。

在$\Omega_\varepsilon$上应用Green公式：

由于基本解满足：

边界$\partial\Omega_\varepsilon$由两部分组成：$\partial\Omega$和$\partial B_\varepsilon$。因此：

在球面$\partial B_\varepsilon$上，外法向量指向球心，因此：

应用积分中值定理，存在$Q^*, \hat{Q} \in \partial B_\varepsilon$使得：

当$\varepsilon \to 0$时，$Q^*, \hat{Q} \to Q$，且第二项趋于零。因此：

综合以上结果，得到：

即：

∎

接下来我们来证明问题：

证明.

1. (i) 由上面结论：

由于$\Omega = B_R(Q)$，其中在$\partial\Omega$上我们有$\frac{\partial}{\partial n}(\frac{1}{r})=\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r})=-\frac{1}{r^2}=-\frac{1}{R^2}$.则有

我们在$\Omega$上运用格林公式：

取$v = 1$，则有：

代入上式得：

2. (ii) 我们记$I_1 = \frac{1}{4\pi R^2} \int_{\partial B_R} u \, dS$，$I_2 = \frac{1}{4\pi} \int_{B_R(Q)} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right) \Delta u \, dx$，则$u(Q) = I_1 + I_2$。 当$\Delta u \geq 0$ 时，由于在$B_R(Q)$ 内$\frac{1}{R} - \frac{1}{r} \leq 0$，故$I_2 \leq 0$，从而

故原命题成立！

∎

Problem 2.

若$\Omega$是有界连通开集，$u \in C(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)$，并且$u$在$\Omega$上满足：$\Delta u \geq 0$且$u$不恒为常数， 则$u$必不可在$\Omega$内部达到其上确界。

证明.

我们仿照定理6.1.1的方法，使用反证法。假设$u$在$\Omega$上非常数但在$\Omega$内部达到其上确界。

设$M = \sup_{\Omega} u$，且存在$Q \in \Omega$使得$u(Q) = M$。由于$\Omega$是连通开集，存在$\delta > 0$使得闭球$\overline{B_\delta(Q)} \subset \Omega$。

由$\Delta u \geq 0$，根据问题(1)的(ii)，我们有：

由于$u$是非常值函数且在$Q$处达到最大值$M$，存在点$P_0 \in B_\delta(Q)$使得$u(P_0) < M$。由$u$的连续性，存在$P_0$在球面$\partial B_\delta(Q)$上的投影点$P$（或通过连续路径连接），以及$P$的邻域$V_P \subset \partial B_\delta(Q)$，使得对于所有$x \in V_P$有：

我们考虑球面积分：

在$V_P$上：$u(x) \leq \dfrac{u(P_0) + M}{2} < M$；在$\partial B_\delta(Q) \setminus V_P$上：$u(x) \leq M$

记$S(V_P)$表示区域$V_P$的面积，$S(\partial B_\delta(Q)) = 4\pi\delta^2$为整个球面的面积，则有：

令$\lambda = \dfrac{S(V_P)}{8\pi\delta^2}$，则$0 < \lambda \leq \dfrac{1}{2}$（因为$S(V_P) \leq 4\pi\delta^2$），于是：

但根据平均值不等式，我们有：

这就得到了矛盾：$M < M$。因此，假设不成立，$u$不可能在$\Omega$内部达到其上确界。

∎

Problem 3.

设$\Omega$ 是有界连通开集，$u \in C(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)$ 满足方程

则$u$ 必不可在$\Omega$ 内部达到最大值，除非$u \equiv 0$。

证明.

若$u$ 是常数，则代入方程$\Delta u - u^2 = 0$ ，此时$\Delta u = 0$ ，故$0 - u^2 = 0$ ，解得$u \equiv 0$ 。

若$u$ 不是常数，由方程可知$\Delta u = u^2 \geq 0$ 。

由上题我们可知：$u$必不可在$\Omega$内部达到其上确界，即$u$ 不能在$\Omega$ 内部达到最大值，矛盾。

综上，命题得证。

∎

PDF

Download the original write-up here.