PDE — Homework 7

Problem 1.

设$P$ 为常系数线性偏微分算子，而且有一基本解$E(x)$ 使$\mathrm{sing\,supp}\,E = \{0\}$，则$P$ 必为亚椭圆的.

证明.

设$u \in \mathscr{D}'$，对任意$x \in \mathrm{sing\,supp}\,Pu$，必存在$x$ 的$\varepsilon$ 邻域$B_\varepsilon (x)$，使得$B_\varepsilon (x) \cap \mathrm{sing\,supp}\,Pu = \emptyset$.令$\varphi \in C_0^\infty (B_\varepsilon (x))$，且$\varphi |_{B_{\varepsilon / 2} (x)} = 1$，则$\varphi Pu \in C_0^\infty$，而$P(\varphi u) = \varphi Pu + v$，$v$ 中各项皆含有$\varphi$ 的不低于 1 阶的微商作为因子，故在$B_\varepsilon (x)$ 外及$B_{\varepsilon / 2} (x)$ 内$v = 0$.现在

其中$E * (\varphi Pu)$ 为$C^\infty$ 函数，对第二项有：

因此$E * v$ 在$B_{\varepsilon / 2} (x)$ 上是$C^\infty$ 的，而另一方面

所以$\varphi u$ 在$B_{\varepsilon / 2} (x)$ 上是$C^\infty$ 的，即$x \in \mathrm{sing\,supp}\,u$.于是

故：$P$ 为亚椭圆的.

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Problem 2.

设$K(x,t)$ 是热传导方程的基本解，证明：

1. (i)

2. (ii) 当$\varepsilon \to 0$ 时有$K(x,\varepsilon^2) \to \delta(x)$ (于$\mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)$).

证明.

1. (i) 我们知道热传导方程的基本解为：

而

\annotate[yshift=1em]{above,right}{EH7-1}{=1}

2. (ii) 考虑$K(x,\varepsilon^2) = (4\pi a^2 \varepsilon^2)^{-\frac{n}{2}} \exp\left(-\frac{|x|^2}{4a^2 \varepsilon^2}\right)$. 对任意测试函数$\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$，有：

作变量代换$x = \varepsilon y$，则：

由于$\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$，存在常数$M > 0$ 使得$|\varphi(\varepsilon y)| \leq M$. 同时，$\exp\left(-\frac{|y|^2}{4a^2}\right)$ 是$\mathbb{R}^n$ 上的可积函数：

由控制收敛定理：

而我们熟知：

因此：

故当$\varepsilon \to 0$ 时有$K(x,\varepsilon^2) \to \delta(x)$ (于$\mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)$).

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