PDE — Homework 8

Problem 1.

考虑热传导方程的初值问题：

条件：存在常数$B > 0$，对$\forall t \geq 0$，$-\infty < x < +\infty$，满足$|u(x,t)| < B$.

证明 稳定性.

稳定性的证明.

并且$|\varphi_1 (x) - \varphi_2 (x)| < \eta$，只需证明$|u_1 - u_2| < \eta$.

令$w = u_1 - u_2$，则$w$满足方程：

且$w$有界：$|w| \leq |u_1| + |u_2| \leq 2B$.

取任意给定点$(x_0, t_0)$，$t_0 > 0$，考虑区域$R_0 = \{(x,t) \mid |x - x_0| \leq L,\ 0 \leq t \leq t_0\}$.

构造辅助函数：

则：

在抛物边界$\Gamma_T$上：

• 底边$t=0$：$v(x,0) = \frac{2B^2}{L^2}(x-x_0)^2 + \eta \geq \eta > |\varphi_1(x) - \varphi_2(x)| = w(x,0)$，因为$|\varphi_1 - \varphi_2| < \eta$且$(x-x_0)^2 \geq 0$.

• 侧边$x = x_0 \pm L$：$v(x_0 \pm L, t) = 2B^2 + \dfrac{4B^2 a^2}{L^2}t + \eta \geq 2B^2 + \eta \geq 2B \geq |w(x_0 \pm L, t)|$，因为$|w| \leq 2B$且$2B^2 + \eta \geq 2B$（取$B \geq 1$时成立）.

因此$v(x,t)\big|_{\Gamma_T} \geq w(x,t)\big|_{\Gamma_T}$成立.此时我们令$h=v-u$，则有$h\big|_{\Gamma_T}\geq0$.又由极值原理，$h$的最大最小值在抛物边界上取到，而$h\big|_{\Gamma_T}\geq0$，故在$R_0$上成立：

即

同理可证：

因此：

在点$(x_0, t_0)$处：

令$L \to \infty$，则$|w(x_0, t_0)| \leq \eta$.由$(x_0, t_0)$的任意性，$|u_1 - u_2| \leq \eta$.

这样我们便完成了稳定性的证明.

∎

Problem 2.

用傅立叶方法求解以下初边值问题：

解.

设解具有变量分离形式$u(x,t) = X(x)T(t)$，代入齐次方程可得：

分离变量得：

由边界条件：

我们得到对应的SL问题：

1. 当$\lambda < 0$时，特征方程为$\mu^2 + \lambda = 0$，即$\mu = \pm\sqrt{-\lambda}$，通解为：

代入边界条件：

则$X(x) \equiv 0$，此时$u(x,t) = 0$，不符合初值条件，舍去。

2. 当$\lambda = 0$时，$X(x) = C_1x + C_2$，代入边界条件：

仍然只有零解，不符合要求。

3. 当$\lambda > 0$时，通解为：

代入边界条件：

当$\lambda_k = k^2$，$k \in \mathbb{N}^*$时，$C_2$可以不为0。 得到特征函数：

我们设 \eqref{HW8-2} 的解可表示为：

其中$A_n(t)$ 为我们要求的待定函数。

由初始条件$u(x,0) = \sin x$ 得：

利用正交性，两边乘以$\sin(mx)$ 并在$[0,\pi]$ 上积分：

而

因此：

我们将$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_n(t) \sin(nx)$ 代入方程$\dfrac{\partial u}{\partial t} - \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$：

代入方程得：

即：

由于$\{\sin(nx)\}_{n=1}^\infty$ 是线性无关函数族，故各项系数为零：

对于一阶线性常微分方程：

其通解为：

结合初始条件$A_n(0) = C_n$ ，我们可得：

于是：

综上：原问题的解为：

∎

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