PDE — Homework 9

Problem 1.

证明：对于方程

若$w(x, t, \tau)$ 为如下方程的解：

则((hw9-1))的解为：

Remark 1.

证明.

我们只需要验证由$u(x, t) = \int_0^t w(x, t, \tau) d\tau$ 定义的函数确实满足原方程((hw9-1)).

1. 当$t = 0$ 时，积分区间退化为一点，故：

2. 我们对$u$关于$t$求偏导有：

结合$w$ 的初始条件$w(x, t, \tau)|_{t=\tau} = 0$，特别地当$\tau = t$ 时有$w(x, t, t) = 0$，所以：

再次验证初始条件：

我们对$\frac{\partial u}{\partial t}$ 再次求导：

由$w$ 的初始条件$\frac{\partial w}{\partial t}(x, t, \tau)|_{t=\tau} = f(x, \tau)$，特别地当$\tau = t$ 时有$\frac{\partial w}{\partial t}(x, t, t) = f(x, t)$，所以：

3. 接下来我们计算$u$关于$x$的偏导数：

故：

由于$w(x, t, \tau)$ 在$t > \tau$ 时满足齐次波动方程：

因此：

综上所述，我们有：

因此$u(x, t) = \int_0^t w(x, t, \tau) d\tau$ 确实是方程((hw9-1))的解.

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